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1、分析法和综合法分析法和综合法 一. 教学内容： 几何证明的分析法与综合法专题讲座 二. 教学目标： 1. 掌握证明一个命题的一般步骤。 2. 灵活掌握几何证明时常用的两种思考方法：分析法和综合法。 3. 掌握对一些较复杂的几何问题，能够采用“两头凑”的思考方法去寻求证明的途径。 4. 进一步培养学生的逻辑思维和推理论证的能力。 三. 教学重点、难点： 重点：掌握几何证明的分析法和综合法及两头凑的方法。 难点：寻求证明的方法和途径。 四. 几何证明方法指导： 1. 证明一个命题的一般步骤 按题意画出图形。 分清命题的题设和结论，结合图形，在已知一项中写出题设，在求证一项中写出结论。 探求证明途径
2、。 在证明一项中写出证明过程。 2. 证明命题正确的关键在于找出正确的证明方法或途径，这是最困难的，也正是我们力求研究和解决的问题。 3. 介绍两种几何证明时常用的思考方法： 分析法 定义：要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法。 可简单地概括为：“执果索因”。意思就是：“拿着结果去寻找原因”。 思路： 举例说明其证明命题正确的思路：若要证明如下命题：“若A成立，则D成立。”用分析法思考时，其思路可如下图所示：
3、从结论开始，即从D开始往上寻求其成立的条件，假设C、C1、C2都能使D成立，再寻求其成立的条件什么能使C、C1、C2成立，1 设B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知的A，因而就获得了证明的思路：DCBA，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此显然命题得证。 A B2 B1 B B3 B4 C1 C C2 D 综合法： 定义：证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题，逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就
4、叫做综合法。 可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”。 思路： 要证明定理“若A成立，则D成立”，用综合法思考时，其思路可由下图所示：从已知条件开始，故从A开始推演，寻找可以到达D的思路，但由A所得的结果往往不止一个，可能有好多个。设B、B1、B2都是A的结果，同样由B、B1、B2又可得好多结果，设由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在这些C中，只要有一个能得出D即可，思考至此便可得到：ABCD这个证明的思路了。若C中还没有一个能得出D的，可如上一样，再往下寻求，直至能得出D为止。 A B1 B B2 C2 C1 C C3 C4 D 分析法与综合法的特点： 分析法
5、的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。 综合法的特点是从已知条件开始推演，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。 分析法与综合法的优缺点： 证几何题时，在思索上，分析法优于综合法，在表达上分析法不如综合法。 2 分析法利于思考，综合法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。 对于一个新问题，我们一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。 4. “两头凑”的证题方法。 对于一些较复杂的几何问题，我们可以采用“两头凑”的方法去寻求证明的途径。“两头凑”即先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它的成立需具备哪些条件，最后看它
6、们的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。 例1. 已知，如下图，1=2，3=4，AB=AC 求证：AE=AD AE12D4B3C分析法：先用分析法来分析此题。 AE=ADDABDDACE(ASA)3=4AB=ACBAD=CAE1+BAC=2+BAC1=2说明：分析法是从结论开始逐步往上逆求，最后归结到已知条件上，在书写证明时，为了叙述方便，往往还要逆过来，从已知条件开始叙述，因此下面写出如下证明过程： 证明：1=2 1+BAC=2+BAC BAD=CAE 在ABD和ACE中 3 43=ABACBADCAE ABDACE AE=AD 例2. 已知梯形ABCD的腰CD上有一点E，EA、EB分别平分
7、DAB和CBA，则AB=AD+BC。 AFEDBC分析：我们先用综合法思考此题： 、 证明：ABCD是梯形，CD是腰 AD/BC DAB+ABC=180 又EA、EB分别平分DAB和ABC BAE+ABE=11DAB+ABC22 =1(DAB+ABC)2 4 =1180=902 AEB=180- =180-90=90 在BA上截取BF=BC 又BE=BE，EBF=EBC BEFBEC BEF=BEC FEB+AEF=90 CEB+DEA=90 AEF=AED 在AFE与ADE中 FAEDAEAEAEAEFAED AEFAED AF=AD AB=AF+BF=AD+BC 例3. 如图，ABC中，A
8、=90，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，CEBD的延长线于E。 求证：BD=2CE。 FAED2B31C分析：我们用“分析法”的方法来分析此题。先由条件“BD平分ABC和CEBD”想到延长CE、BA相交于F，然后想到如下分析思路： 5 下面再用综合法写出证明过程。 证明：延长CE、BA相交于F 在FBE和CBE中 2=3BEBEBEFBEC90 FBECBE CE=EF 2CE=CF 在RtBEF中，2=90-F 在RtABC中，BAC=90，1=90-F 1=2 在ABD和ACF中 1=2ABACBADCAF90 ABDACF BD=CF BD=2CE 6 例4. 已知：梯形ABCD中
9、，腰AB=DC，AC为对角线 求证：AC2=AB2+ADBC ADBEFC分析：我们用“两头凑”的方法分析此题，分析过程如下： 下面用综合法，写出证明过程。 证明：作AEBC，DFBC 在RtAEC和RtABE中 根据勾股定理得： AC2=AE2+EC2 AE2=AB2-BE2 AC2=AB2-BE2+EC2 222 =AB+(EC-BE) 2 =AB+(EC+BE)(EC-BE) 梯形ABCD中，AB=DC，AEBC，DFBC BF=AD，BE=CF EC+BE=BC，EC-BE=AD 1. 如图，B、E、F、D在一条直线上，AB=CD，B=D，BF=DE 求证： DFCBEA AFECEF
10、 7 BFAECD 2. 已知ABC中，AB=AC，P为底边BC上任一点，PEAB，PFAC，BHAC， 求证：PE+PF=BH。 AHFEBPC 3. 如图，已知：AB=AC，BE=EC 求证：BD=DC BAEDC 4. 如图甲所示，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ABD和等边BCE，AE交BD于F，DC交BE于G， 求证：AE=DC，BF=BG 如图乙所示，如果A、B、C不在一直线上，那么这时AE=DC和BF=BG是否仍然成立？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由。 8 DEDEFFGBCABGCA 9 1. 证明：BF=DE BF+EF=DE+EF
11、 即BE=DF 在DFC与BEA中 AB=CDB=DBE=DF DDFCDBEA(SAS) QDDFCDBEA CF=AE，CFD=AEB 在AEF与CEF中 CF=AEAEB=CFDEF=FE DAFEDCEF 2. 证明：连结AP，则有SDABC=SDABP+SDAPC QAB=AC，PEAB，PFAC SDABC=11ABPE+ACPF22 =1AC(PE+PF)2 又BHAC SDABC=1ACBH2 11AC(PE+PF)=ACBH2即2 PE+PF=BH 3. 证明：在ABE和ACE中 AB=ACBE=ECAE=AE DABEDACE(SSS)BAE=CAE 10 在ABD和ACD中 AB=ACBAD=CADAD=AD DABDDACE BD=DC 4. 在ABE和DBC中 AB=DB，BE=BC，ABE=DBC=120 DABEDDBC AE=DCEAB=CDB 在ABF和DBG中 AB=DB，FAB=GDB，ABF=DBG=60 DABFDDBG BF=BG 当A、B、C三点不在一直线上时，同样可以证明ABEDBC 仍有AE=DC 但ABF与DBG不可能全等 因此这时BFBG。 11
