分类讨论思想的应用.docx

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1、分类讨论思想的应用专题三 分类讨论的思想 一 、考点回顾 分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想” 1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点 分类讨论的思想具有明显的逻辑特点； 分类讨论问题一般涵盖

2、知识点较多，有利于对学生知识面的考察； 解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧； 分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。 2. 分类讨论的思想的本质 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略 3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 确定讨论对象和确定研究的全域； 对所讨论的问题进行合理的分类； 逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； 归纳总结，整合得出结论 4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： 由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等； 由数学运算要求引起的分

3、类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等； 由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论； 由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； 其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。 5. 分类讨论思想的类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 1 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化

4、需要分类讨论的。 二、经典例题剖析 1.已知函数f(x)=11(sinx+cosx)-sinx-cosx,则f(x)的值域是 22(A)-1,1 (B) -2,1 (C) 22-1, (D) 22-1,- 2cosx(sinxcosx)11 解析：f(x)=(sinx+cosx)-sinx-cosx=sinx,cosxmin sinx(sinxcosx)22 答案：C 点评：本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。 22.已知a是实数，函数f(x)=2ax+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间-11，上有零点，求a的取值范围 解析：由函数f(x)的

5、解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就a=0和a0两类情况进行讨论。 答案：函数y=f(x)在区间-1，1上有零点，即方程f(x)=2ax2+2x-3-a=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解f(-1)f(1)0或af(-1)0af(1)0-3-7-3-7或a5a或a1. D=4+8a(3+a)01a5或a22-1-1.1a所以实数a的取值范围是a-3-7或a1. 2 点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能

6、力、运算求解能力。 3.设函数f(x)=ln(x+a)+x 若当x=-1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； 若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2 2e 2解析：函数的极值、单调性是函数的重要性质。极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题。 答案：f(x)=13+2x，依题意有f(-1)=0，故a= x+a22x2+3x+1(2x+1)(x+1)3=从而f(x)=f(x)的定义域为-，+ 332x+x+223x0； 21当-1x-时，f(x)-时，f(x)0 2当-从而，f(x)分

7、别在区间-，-1，+单调增加，在区间-1，-，32121单调减少 22x2+2ax+1+)，f(x)=f(x)的定义域为(-a， x+a方程2x+2ax+1=0的判别式D=4a-8 若D0，即-2a0，故f(x)无极值 2或a=-2 (2x+1)2若a=2，x(-2， +)，f(x)=x+2222-+当x=-时，f(x)=0，当x-2， U-2，时，f(x)0，所以f(x)无极值22(2x-1)2若a=-2，x(2，0，f(x)也无极值 +)，f(x)=x-2若D0，即a2或a-2，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根 -a-a2-2-a+a2-2，x2= x1=22当a-2时，x1-a，

8、x22时，x1-a，x2-a，f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点， 3 由极值判别方法知f(x)在x=x1，x=x2取得极值 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，+)f(x)的极值之和为： 1e2f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+x12+ln(x2+a)+x2=ln+a2-11-ln2=ln 22 点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力. 求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论倒导数的符号。 一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程f(x)=0在f(x)的定

9、义域内有解；二是在方程f(x)=0的根的两边导数f(x)的符号要相反。因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。 4.在数列an中，a1=2，an+1=lan+ln+1+(2-l)2n(nN*)，其中0求数列an的前n项和Sn 解析：数列的通项公式和前n项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法。 2答案：由an+1=lan+ln+1+(2-l)2n(nN*)，l0，可得n+1-llan+1n+12=n-+1，所以llannnnan2an2n-为等差数列，其公差为1，首项为0，故-=n-1，所以数列an的通项公式为lnlllan=(n-1)ln+2n 设Tn=l

10、2+2l3+3l4+L+(n-2)ln-1+(n-1)ln， lTn=l3+2l4+3l5+L+(n-2)ln+(n-1)ln+1 当l1时，式减去式， 得(1-l)Tn=l+l+L+l-(n-1)l23nn+1l2-ln+1=-(n-1)ln+1， 1-ll2-ln+1(n-1)ln+1(n-1)ln+2-nln+1+l2 Tn=-=22(1-l)1-l(1-l)(n-1)ln+2-nln+1+l2n+1这时数列an的前n项和Sn=+2-2 2(1-l) 4 当l=1时，Tn=n(n-1)n(n-1)+2n+1-2 这时数列an的前n项和Sn=22 点评：本题考查数列的通项公式和前n项和。对

11、于等比数列的前n项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论。 5.设等比数列an的公比q1，前n项和为Sn已知a3=2，S4=5S2，求an的通项公式 解析：本题是考查数列的基本题，“知三求二”。 a1(1-qn)答案：由题设知a10，Sn=， 1-qa1q2=2，a1(1-q2)4则a1(1-q)=5 1-q1-q由得1-q4=5(1-q2)，(q2-4)(q2-1)=0，(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0， 因为qb0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3 ab3求椭圆C的方程； 设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求AOB面积的最大值 2解析：圆

12、锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系。 c6，=答案：设椭圆的半焦距为c，依题意a3 a=3，x2b=1，所求椭圆方程为+y2=1 3设A(x1，y1)，B(x2，y2) 当ABx轴时，AB=3 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m 由已知m1+k2=3232，得m=(k+1) 42222把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k+1)x+6kmx+3m-3=0， -6km3(m2-1)x1+x2=2，x1x2= 3k+13k2+136k2m212(m2-1)AB=(1+k)(x2-x1)=(1+k)2- 22(3k+1)3k+1222212(k

13、2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1) =2222(3k+1)(3k+1)6 12k21212=3+4=3+(k0)3+=4 19k+6k2+123+69k2+2+6k当且仅当9k=213，即时等号成立当k=0时，AB=3， k=2k3综上所述ABmax=2 133 =当AB最大时，AOB面积取最大值S=ABmax222 点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系。对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因。 三 强化训练 选择题 (-1)n+1*1.若不等式(-1)a2 D. p-4 4. 函数f(x)=mx+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一

14、个在原点的右侧，则实数m的取值范围为 A. 0，+ )B. -，1 C. 0，1 (D. 5圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是 ( ) A.xy0 B.xy0 C.x0 D.y0 x2y2x2y2+=1(m6)与曲线+=1(5m9)的 6曲线10-m6-m5-m9-m7 A.焦距相等 B. 离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 7以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为 A36737619218 B C D 3853853853858如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、

15、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列命题： 若pq0，则“距离坐标”为的点 有且仅有1个； 若pq0，且pq0，则“距离坐标”为 的点有且仅有2个； 若pq0，则“距离坐标”为的点有且仅有4个 上述命题中，正确命题的个数是 A.0 B.1 C. 2 D. 3 9设集合I=1,2,3,4,5。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( ) A50种 B49种 C48种 D47种 10.函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是 11已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)

16、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值，则m= A. -2 B. -1 C. 1 D. 4 12关于x的方程x-1-x-1+k=0，给出下列四个命题： 存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； 8 l1M l2 O (2)22 存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 填空题 21，则a的取值范围为_. 3x1514 (+2)的展开式中整理后的常数项为 . 2x13. 若loga111115

17、若函数f(x)=(a-1)x3+ax2-x+在其定义域内有极值点，则a的取值为 324516已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面的距离为 解答题 17.解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+10 18设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值 求a、b的值； 3，都有f(x)2成立 Sk-c 9 22某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为(12-x)2万件 求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式； 当每件产品的售价为

18、多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a) 创新试题 1. 已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)是以2为周期的周期函数，数列an是首项为a(aN*)，公差为1的等差数列，那么f(a1)+f(a2)+Lf(a10)的值为 。 . 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为，宽为，AB、y D C AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合将矩形折叠，使A点落在线段DC上 若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； 求折痕的长的最大值 选择题 1. D 分奇数和偶数两种情况讨论既可。 O (A) B x 2. C 当x1时，|x1|x1，|x2|2x，因为

19、3x1；当1x当1时，|x1|x1，|x2|2x，因为2x10，x12x；21xx2； 22-x(x(-,-1)2-x(x-1,1)2据此求得最小值为3。 故f(x)=2x+1(x1,2)2x+1(x2,+)3. D 4. B 5. C 点拨：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径直线ax+by=0与(x-1)2+(y+3)2=1相切，则|a-b3|=1，由排除法， 210 选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事. x2y2+=1(m6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由6. A 点拨：由10-m6-mx2y2+=1(5m9)知

20、该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A. 5-m9-m7. A 8. D 点拨：如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”已知常数p0，q0，对于下列命题： 若pq0，则“距离坐标”为的点有且仅有1个，正确； 若pq0，且pq0，则p与q中有一个为0，另一个不为0， “距离坐标”为的点可以在直线l1或直线l2上，例如=(0，1)，则点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题正确； 若pq0，则p0，q0，“距离坐标”为的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4

21、个,正确.上述命题中，正确命题的个数是3个，选D. 9. B 点拨:若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有32l1 M l2 O C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选

22、法种数有C5=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=1种；总计有49种，选B. 554453 11 解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集， 从5个元素中选出2个元素，有C5=10种选法，小的给A集合，大的给B集合； 从5个元素中选出3个元素，有C5=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有210=20种方法； 从5个元素中选出4个元素，有C5=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有35=

23、15种方法； 从5个元素中选出5个元素，有C5=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有41=4种方法； 总计为10+20+15+4=49种方法.选B. 5432x-x+1=110. D 点拨：y=e|lnx|-|x-1|=1-1+xxx1,0x1时方程有2个不等的根；当0t1时方程有4个根；当t=1时，方程有3个根。 故当t=0时，代入方程，解得k=0此时方程有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当12此时方程有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程x-1=t411的解有8个，即原方程的解有8个；当k=时，方程有两

24、个相等正根t，相应的原方程的解有442方程有两个不等正根时，即0k个；故选B。 填空题 13. 0a1 3 12 kx15-k15-k632k2x14. 点拨：Tk+1=C52(+),其中k满足0k5.kN,(+)的通项公式为2x2x2r-r5-k-r-(5-k-r), Tr=C52-kxxr5-2r-kk+r-5,其中0r5-k,rN,令5-2r-k=0,邵k+2r=5,解得k=1,r=2;k=3,r=1;k=5,r=0 =C52-kx12当k=1,r=2时,得展开式中项为CC221524-2=152;当k=3,r=1时, 得展开式中项为2x1315C5C2222-1=202;当k=5,r=

25、0时得展开式中项为C542=42,综上(+2)5的展开式2x中整理后的常数项为152632 +202+42=2215. 1-2-5-2+5或a=1 点拨 即f(x)=(a1)x2+ax=0有解 a0或a0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类. a 解：当a=0时，原不等式化为-x+11 当a0时，原不等式化为a(x-1)(x- 若a0，则原不等式化为(x-1)(x-1)0 a1111 不等式解为x1 Q0，则原不等式化为(x-1)(x-)1时，1，不

26、等式解为x1 aa1 (ii)当a=1时，=1，不等式解为x a13 (iii)当0a1，不等式解为1x aa 综上所述，得原不等式的解集为 1当a0时，解集为xx1；当a=0时，解集为x|x1； a当0a1时，解集为x1x1时，解集为xx0； 当x(0，2)时，f(x)0 当x(2，所以，当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=5+8c，又f(0)=8c，f(3)=9+8c 则当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c 因为对于任意的x0，3，有f(x)c恒成立， 2所以 9+8cc， 解得 c9， 2-1)U(9，+) 因此c的取值范围为(-，19 分析：如果先考虑钳工，因有6人会

27、钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是 14 车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类： 选出的6人中不含全能工人；选出的6人中含有一名全能工人；选出的6人中含2名全能工人；选出的6人中含有3名全能工人。 3331221321321322 解：C4C3+C4C3C3+C4C3C3+C3C3C4+C3C4C3+C3C4P32 33212212331232133+C3+C4+C3C4C3+C3C34=309 或：C3C7+C3C3C6+

28、C3C3C53+C3C4=309 x220解 将x1=3，x2=4分别代入x+12=0得 ax+b9=9，解方程得 a=1， 3a+b16=8， b=2 4a+bx2f=x 2(k+1)x-k2不等式f， x-2(k+1)x-k(x-1)(x-k)x2即x，即0 2-x2-x2-x0 当1k2时，解集为； 当k=2时，不等式为20解集为； 当k2时，解集为 本题主要考查分式不等式，含参不等式的解法等基础知识，考查分类整合思想的运用能力。 21分析：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质；并灵活运用

29、分类讨论的思想 即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案 解 由Sn=4(11），得 2nSn+1=4(1-12)=n+11Sn+2，(nN*) 2 15 3c-(Sk-2)S-c22，只要c-SkSk-c因为Sk=4(1-1)0，(kN*) 2所以Sk-(Sk-2)=2-故只要323Sk2cSk， 2因为Sk+1Sk，(kN*) 所以33Sk2S12=1 22又Sk4，故要使成立，c只能取2或3 当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，cSk不成立，从而不成立 当k2时，因为35S2-2=c，由SkSk+1(kN*)得 2233Sk2Sk+12 223故当k2时，Sk2c，从而不成立 2

30、当c=3时，因为S1=2，S2=3， 所以当k=1，k=2时，cSk不成立，从而不成立 31333S3-2=c，又Sk2Sk+12 24223所以当k3时，Sk2c，从而成立 2因为综上所述，不存在自然数c,k,使Sk+1-c2成立 Sk-c22. 解：分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为： L=(x-3-a)(12-x)2，x911， 2L(x)=(12-x)-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x) 2a或x=12 3228Q3a5，86+a 33令L=0得x=6+16 2a两侧L的值由正变负 329所以当86+a9即3a时， 32在x=6+Lmax=L(9)=

31、(9-3-a)(12-9)2=9(6-a) 当96+2289a即a5时， 33223Lmax2221=L(6+a)=6+a-3-a12-6+a=43-a， 333399(6-a)， 3a，2所以Q(a)= 31943-a， a532答：若3a9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6-a)；若92a5，则当每件售价为6+a元时，分公司一年的利润L最大，最大值2331Q(a)=43-a 3创新试题 . .解：( i ) 当k=0时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程y=( ii ) 当k0时，设A点落在线段DC上的点A(x0,1)， 1， 2(0x02)，则直

32、线OA的斜率k0A=1， x0OA, 折痕所在直线垂直平分kOAk=-1，1k=-1 ，x0=-k x0又折痕所在的直线与OA的交点坐标 为M(-k1,)， 221kk21+， 折痕所在的直线方程y-=k(x+)，即y=kx+222217 k21+(-2k0) 由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：y=kx+22k2+1k2+1),F(-,0) 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为E(0,22k由知，k=-x0，0x02，-2k0， 设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为q， ( i ) 当k=0时，此时A点与D点重合, 折痕的长为2 ； ( ii )当-2k0时， k2+1k2+1设a

33、=-，b=， 2k20AB=2时，l与线段BC相交，此时-2+3k0， 0b1时，l与线段AD相交，此时-1k1时，l与线段DC相交，此时-2k-1， 将k所在的分为个子区间： 当-2k-1时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交， 1 折痕的长d=|sinq|1|k|1+k21+k21=+1， |k|k25d2， 2当-1k-2+3时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交， 1+k221+k22k43k213折痕的长d=(-)+=+2+ 2k2444k4令g(x)0，即k3+3k1-30，即2k6+3k4-10， 22k即 (k2+1)2(k2-)0， 12-1k-2+3，解得-2k-2+3 218 令g(x)0， 解得 -1k-2， 2故当-1k-22时，g(x)是减函数，当-k-2+3时，g(x)是增函数， 22g(-1)=2，g(-2+3)=4(8-43)， g(-1)g(-2+3)， 当k=-2+3时，g(-2+3)=4(8-43)， d=g(-2+3)=28-43=2(6-2)， 当-1k-2+3时， d2(6-2)， 当-2+3k0时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交， 折痕的长d=2=|cosq|211+k2=21+k2， 2l28-43，即2l2(6-2)， 综上所述得，当k=-2+3时，折痕的长有最大值，为2(6-2) 19