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1、分类讨论思想在一元二次方程中运用举例分类讨论思想在一元二次方程中的运用 在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。 例1. 已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根，求m的取值范围。 分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。 解：当m=0，即m=0，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1； 2 当m0，即m0时，方程为二次方程。由有实根的条件得： 2D=(2m+1)-4m2=4m+1021m-41，且m
2、0 41 4 所以m- 综合、，得：m- 评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种前置式，即“二次方程”；后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。 例2. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx-4x+4=0与2x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。 解析：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m0。又由于方程均有实数根，所以 - 1 - D1=(-4)-4m40 解得：m1 又D2=(-4m)-414m-4m-50 222()
3、解得：m-5 4 所以5m1 4 又m是整数，且m0，且m=-1或1 当m=-1时，方程mx-4x+4=0为x+4x-4=0，解得方程的根为22x=-222，它的根不是整数，故m=-1舍去。 当m=1时，方程mx-4x+4=0的根为x1=x2=2，方程2x2-4mx+4m2-4m-5=0根为x1=5，x2=-1，均为整数，所以m=1。 评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。 m2=0 例3. 已知关于x的方程：x-(m-2)x-42 求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 若这个方程的两个实数根x1、x2满足x2=x1+2，求m的值及相应的x1、x2。 解：D=-(m-
4、2)2m22-4-=2(m-1)+2 42 所以不论m取何值，总有2(m-1)0 - 2 - 所以2(m-1)+20，即D0 所以方程总有两个相异的实根。 2m20 因为x1x2=-4 所以x10，x20或x10，x20 若x10，x20，则x2=-x1+2 所以x1+x2=2 所以m=4 此时x-2x-4=0 所以x1=1+5，x2=1-5 若x10，x20，则-x2=x1+2 所以x1+x2=-2 所以m=1，此时x+2x=0 所以x1=0，x2=-2 评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。 例4. 若实数a、b满足a-8a+5=0，b-8b+5=0，求22222b
5、-1a-1+的值。 a-1b-1 解：由方程根的定义，知a、b是方程x-8x+5=0的两个根 - 3 - 所以a+b=8，ab=5 b-1a-1(a+b)-2(a+b)-2ab+2+=-20 所以a-1b-1ab-(a+b)+1 事实上，题设中的a与b是可以相等的，当a=b时，原式2 综上所述：当ab时，原式=-20，当a=b时原式2 评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。 从上面例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：明确讨论的对象；进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：分类应按同一标准进行，分类应当没有遗漏，分类应是没有重复的；逐类讨论，分级进行；归纳并
6、作出结论。 练习题 1若方程x2-2x+3=0的两根是a和b，方程x2-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由 2已知关于x的方程x2+2bx-=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是ABC的三边长 求方程的根；试判断ABC的形状 - 4 - 23某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 4李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程
7、11公里，应收29.10元”出租车司机说：“请付29.10元”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N是多少元 里程 0x3 36 价格 - 5 - N 2225 NN参考答案 1解：解方程x2-2x+3=0，得x1=3，x2=2-3 方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2 所以a、b、c的值分别是3，2-3，2 因为3+2-3=2，所以以a、b、c为边的三角形不存在 点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断 2解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1 当x=0时，02+2b0-=0 所以c=a当x=
8、-1时，2+2b-=0a+c-2b-c+a=0， 所以a=b即a=b=c，ABC为等边三角形 点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状 3解：设该产品的成本价平均每月应降低x 625-5002=625-500 整理，得5002=405，2=0.81 1-x=0.9，x=10.9， x1=1.9，x2=0.1=10% 答：该产品的成本价平均每月应降低10% 点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价 4解：依题意，N+2225+=29.10， NN 整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10， 由于N12，所以N1=19.1舍去，所以N=10 答：起步价是10元 点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部22付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的N25部分，每公里再付元 N分每公里再- 6 -
