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1、刚体力学小结一个质量为m的质点沿着一条由r=acoswti+bsinwtj定义的空间曲线运动，其中a,b及皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩. 解：v=drdt=-awsinwti+bwcoswtj a=dvdt=-w2(acoswti+bsinwtj)=-w2r F=ma=-mw2r，通过原点t=0 M=rF=-mw2rr=0 长l=0.40m、质量M=1.00kg的匀质木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点射入棒中，A点与O点的距离为3l4，如图所示。求： 棒开始运动时的角速度； 棒的最大偏转角。 解： 由角动量守恒
2、定律： 2mv3lMl23l3l4=3w+m4w，得： 43mv4mvlw=(M3+9m16)l=(16M+27m)l=8.9rad/s A题- 由机械能守恒定律： 12Ml23ll3l3+m(4)2w2=Mg2(1-cosq)+mg4(1-cosq)得： q=1-2M3+9m8w2l54m2v2cos2M+3mg=1-(2M+3m)(16M+27m)gl=-0.079，q=94.5 0241 一轴承光滑的定滑轮，质量为M2.00 kg，半径为R0.100 m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m5.00 kg的物体，如图所示已知定滑轮的转w动惯量为J=MR22，其初角
3、速度w010.0 rad/s，方向垂R0直纸面向里求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；(2) 定滑轮的角速度变化到w0时，物体上升的高度；(3) M当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向 题0241m0562 质量m1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量Jmr22(r为盘的半径)圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量mm,r11.0 kg的物体，如图所示起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v00.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经题0562历多少时间圆盘开始作反方向转动 m1 R 0155 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮
4、上M的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为MR22，滑轮m题0155轴光滑试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系 0157 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示) r r O BOaFArBTrOrA题0157am m题0156mg FT fBfA刚体力学小结 第 ( 1 ) 页 共 ( 5 ) 页 提示：各物体受力如上图， FTr=Ja，
5、mg-FT=ma，a=ra 又由S=at22 得a=2St2 由此四式得：J=m(g-a)r22a=m(g-2St2)r22St2=mr2(gt2S-1) 0156 如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为mA10 kg和mB20 kg，半径分别为rA和rB现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为J22A=mArA2和JB=mBrB2) 0780 两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮小圆盘的半径为r，质量为m；大圆
6、盘的半径r=2r，质量 m=2m组合轮可绕通过其中心且垂直于盘O面的光滑水平固定轴O转动，对O轴的转动惯量J=9mr2 / 2两m,r圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的m,r物体A和B，如图所示这一系统从静止开始运动，绳与盘题0780无相对滑动，绳的长度不变已知rAB = 10 cm求：(1) 组合轮的角加速度b ；(2) 当物体A上升h40 cm时，组合轮的角速度w 0780解： 各物体受力如图。 T-mg=ma，mg-T=ma T(2r)-Tr=9mr2b/2 a=rb，a=(2r)b 由上述方程组解得： b=2g/(19r)=10.3rads-2 设q为组合轮转过的角度
7、，则：q=h/r，w2=2bq 所以：w=(2bh/r)1/2=9.08rads-1 0564 如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速r度 m 1m2 题05640563一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M2M的重O物，如图设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮题0263中心且垂直于轮面的
8、轴的转动惯量JMR2 / 4 ) A0563解：受力分析如图所示。由题意可知，人和重物的加速度B在大小相等，设为a。人的加速度向下，重物的速度向上。根据牛顿定律： 对人：Mg-T2=Ma 对重物：T1-Mg2=Ma2 根据转动定律，对滑轮有 (T2-T1)R=Jb=MR24b 绳与滑轮无相对滑动：a=bR 、四式联立解得：a=2g7 0560 一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑两个定滑轮的转动惯量均为mr22m,rm,r将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从m题0560静止释放，求两
9、滑轮之间绳内的张力 2m刚体力学小结 第 ( 2 ) 页 共 ( 5 ) 页 6-13两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点在同一水平线上小滑轮的质量为m，半径为r，对轴的转动惯量Jmr2/2大滑轮的质量m2m，半径r2r，对轴的转动惯量J=mr2/2一根不可伸长的轻质细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A和B，A的质量为m，B的质量m2m这一系统由静止开始转动已知m6.0 kg，r5.0 cm求两滑轮的角加速度和它们之间绳中的张力 mm,rF,rm,rFTaFTm,raATAmamFTBAmA题6-13mBmg题6-13Bm,rm,rmgaBFTAFTB提示：各物体受力如右图所示。
10、图中FTA=F TA，FTB=FTB，FT=FT， 则各物体动力学方程为： FTA-mg=maA mg-FTB=maB FTr-FTAr=Ja FTBr-FTr=aJ 又a=a，并且已知：m=2m，r=2r，J=mr2AB=ra=ra2，及J=12mr2，解得：a=2g9r，F5T=3mg 0560 一轻绳跨过两个质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分M别挂着质量为m和m2M112的重物(m1m2)，如图所示绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑将由两个定滑轮以及质量为m1和m2的重物组成的系统从静止释放，R2R1求两滑轮之间绳内的张力 题0560 m1 m2 07
11、79 质量为M1=24 kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M2=5kg的圆盘形定滑轮悬有m10kg的物体求当重物由静止开始下降了h=0.5 m时，(1) 物体的速度；(2) 绳中张R力(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过MM2r1轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为J21=M21R2，J2=M2r2) 题0779m0231 在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为R/2处，人的质量是圆盘质量的1/10开始时盘载人对地以角速度w0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图
12、所示已知圆盘对中心轴的转动惯量为MR22求：(1) 圆盘对地的角速度(2) 欲使圆盘对R地静止，人应沿着R/2圆周对圆盘的速度vv的大小及方向？ R2 v题0231w0785 如图所示，一半径为R，质量为m的水平圆台，正以角速度ww0绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量J=mR22台上原站有2人，质量各等于RR2v转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台O中心R/2的B处今A处的人相对于圆台以速率v顺着2vBA圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于圆台以速率题07852v逆圆台转向沿圆周走动求圆台这时的角速度w 刚体力学小结 第 ( 3 ) 页 共 ( 5 ) 页 0786 一质
13、量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为m)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边O上，求：(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速R度(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动(圆vm0盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为MR22，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 题0786(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为MR2/2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 0786解： mv(mR2+MR20R=2)w0，解得： w0=mv0m+M2R题0786解 Mf=rmd(Mg)=Rmr(M
14、2mMgR0pR22prdr)=g3 -M0-1MR23Rw2220DqfDq=22w0，解得：Dq=8mg，n=2p=3Rw016pmg 另有一题： 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短已知小滑块在碰撞前后的速度分别为vvv1和v2求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O点的转动惯量J=m1l2/3) 0112 质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，转动惯量为Mr22绕过盘的边缘Mr
15、挂有质量为m，长为l的匀质柔软绳索设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小 0112解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳a长分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳S的盘为研究对象设a为绳的加速度，为盘的角题0112加速度，r为盘的半径，r为绳的线密度，且在1、2两点处绳中的张力分别为T1、T2，则r=ml， ra=rb 2分 2M1Ox2rg-T2=x2rax2 1分 T1-x1rg=x1ra 1分 (T-Tr2b 4分 x12)r=(M2+prr)1解上述方程，并由l=prxxa1x2，x21=S得： Sa=Smg(m+M2M)l 2分 题0112解x22.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 解：在r处的宽为dr的环带面积上摩擦力矩为：dM=mmgpR22prdr 3分 总摩擦力矩：M=R0dM=23mmgR 1分 故平板角加速度：b =M /J 1分 设停止前转数为n，则转角：q = 2pn 由w20=2bq=4pMn/J 2分 可得：n=Jw204pM=3Rw20/16mg 1分 刚体力学小结 第 ( 4 ) 页 共 ( 5 ) 页
