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1、初中三类函数的图像及其性质初中三类函数的图像及其性质 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k0, k, b为常数)的函数。 注意：k0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， 两个常有的特殊点：与y轴交于；与x轴交于 由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： 1图象的位置: 2增减性 k0时，y随x增大而增大 k0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为-， 2a4a2a当x-时，y随x的增
2、大而增大；当x=-2a2a2a4ac-b2时，y有最小值 4ab4ac-b2b 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为-，当2a4a2ax-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y2a2a2a4ac-b2有最大值 4a七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、
3、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下， 当b0时，-当b=0时，-当b0时，-b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧 2a 在a0时，-当b=0时，-当b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，在y轴的右侧则ab0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与x轴交于两点A(x
4、1，其中的x1，x20)，B(x2，0)(x1x2)，是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离b2-4ac. AB=x2-x1=a 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的 D0 抛物线与x轴有两个交点 D=0二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 D0 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图像参考： y=2x2y=x2y=x22 y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y= -x22y= -x2y=-2x2y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2
