初中二次函数知识点总结.docx

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1、初中二次函数知识点总结二次函数知识点 一、二次函数概念： b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c平移m个单位，y=ax+bx+c变成22y=ax2+bx+c+m 22y=ax+bx+c沿x轴平移：向左平移m个单位，y=ax+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四、二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4ac-b2b4ac-b2者，即y=ax+，其中h=-， k=2a4a2a4a222五、二次函数y=ax2

2、+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)。 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 b4ac-b2b1、当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为-，。 2a4a2abbb当x-时，y随x的增大而增大；当x=-时，y有最小2a2a2a24ac-b

3、值。 4ab4ac-b2b2、当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为-，。 2a4a2a当x-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大2a2a2a4ac-b2值。 4a七、二次函数解析式的表示方法 1、一般式：y=ax2+bx+c； 2、顶点式：y=a(x-h)2+k； 3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2)。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点。 即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1、二次项系数a

4、 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下， b当b0时，-0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2abb当b=0时，-=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 当b0，即抛物线对称轴在y轴2a2a的右侧 在a0时，-0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2abb当b=0时，-=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 当b0时，-0，在y轴的右侧则ab0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象

5、与x轴交于两点A(x1，b2-4ac次方程ax+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=x2-x1=。 a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2）当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D0 抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值可正、可零、可负 二次三项式的值为非负 二次三项式的值恒为正 一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根. D=0 D0 图像参考：

6、 y=2x2y=x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=2x2y=2(x-4)2y=x22y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y= -x22十一、函数的应用 y= -x2y=-2x2刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型 1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2的图像经过原点， 则m的值是 2、 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数

7、的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图像大致是 A B C D 3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x=5，求这条抛物线的解析式。 34、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是 2确定抛物线的解析式；用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5、考查代数与几

8、何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M(b,)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个 ca (1) (2) 弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键。 例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下

9、方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 222例4、如图，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2 写出y与x的关系式； 当x=2，3.5时，y分别是多少？ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角

10、形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴. 例5、已知抛物线y=125x+x- 22用配方法求它的顶点坐标和对称轴 若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长 本题是对二次函数的“基本方法”的考查，第问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例6.已知：二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点2(x1ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x1=-

11、3x1=1. x10，x1=-1x2=3 点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 二次函数的解析式为y-2x-4x-6 (2)存在点M使MC0ACO (2)解：点A关于y轴的对称点A(1，O)， 直线A，C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0，-6)，(5，24) 符合题意的x的范围为-1x0或Ox5 当点M的横坐标满足-1xO或OxACO 例7、 “已知函数y=22212x+bx+c的图象经过点A，2,求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若

12、能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 解答 根据y=12x+bx+c的图象经过点A，图象的对称轴是x=3，得 2122c+bc+c=-2,b=-3, 解得 bc=2.-1=3,22所以所求二次函数解析式为y=在解析式中令y=0，得12x-3x+2.图象如图所示。 212x-3x+2=0，解得x1=3+5,x2=3-5. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联

13、系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy， 易知CN=4-x，EM=4-y，且有即， ， ， S= xy= 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， 当x5时，函数值是随x的增大而增大， 对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=关系如下表： x y 若日销售量y是销售价x的一次函数 求出日销售量y与销售价x的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

14、设此一次函数表达式为y=kx+b则即一次函数表达式为y=-x+40 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=-x2+50x-400=-2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 15 25 20 20 30 10 。 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x与产品的日销售量y之间的15k+b=25, 解得k=-1，b=40， 2k+b=20二次函数对应练习试题 一、选择题 1. 二次函数y=x2-4x-7的顶点坐标是( )A.(2,11) B. C. D. 2. 把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 A. y=-2(x+

15、1)2 B. y=-2(x-1)2 C. y=-2x2+1 D. y=-2x2-1 3.函数y=kx2-k和y=k(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当x=1和x=3时,函数值相等;4a+b=0当y=-2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

16、6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点(ac,bc)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程2x-x=222的正根的个数为 xA.0个 B.1个 C.2个. 3 个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. y=x-x-2 B. y=-x+x+2 C. y=x-x-2或y=-x+x+2 D. y=-x-x-2或y=x+x+2 222222二、填空题 29二次函数y=x+bx+3的对称轴是x=2，则b=_。 10已知抛物线y=-2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_。 11一个函

17、数具有下列性质：图象过点，当x0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 。 12抛物线y=2(x-2)-6的顶点为C，已知直线y=-kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数y=2x-4x-1的图象是由y=2x+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地222方，桥的高度是 (取3.14). 三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是x+3=0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-(1)

18、求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度h和时间t符合关系式h=v0t-力加速度g以10米/秒计算这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升， 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. 求此抛物线的解析式； 点P为抛物线上的一个动点，求使SDAP

19、C：SDACD=5 ：4的点P的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x，该经销店的月利润为y 当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； 求出y与x的函数关系式； 该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ 小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由 25). 2第15题图 12gt ，其中重2练习试题答案 一，选

20、择题、 1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、 9b=-4 10x-3 11如y=-2x2+4,y=2x+4等 121 13-8 7 1415 三、解答题 15(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题意可得 b-2a=-3a+b+c=-65c=-2解得a=- 1515,b=-3,c=- 所以y=-x2-3x- 2222(2)x=-1或-5 (2)x-3 16由已知得，15=20t-110t2，解得t1=3,t2=1当t=3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃22后1秒离地15米由题意得，h=-5t+20t-5(t-2)2+20，可知顶点的横坐标t=2，又抛物线开口向

21、下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升 17直线y=x-3与坐标轴的交点A，B则2b=-29+3b-c=0解得 c=3-c=-3所以此抛物线解析式为y=x-2x-3抛物线的顶点D，与x轴的另一个交点C.设P(a,a-2a-3)，则(4a-2a-3):(44)=5:4.化简得a-2a-3=5 1212当a-2a-30时，a-2a-3=5得a=4,a=-2 P或P 当a-2a-30时，-a+2a+3=5即a+2a+2=0，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为或 222221845+260-240260-xy=(x-100)(45+7.5)，化简得： 7.5=601010333y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075 y=-x2+315x-24000444红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元 我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额W=x(45+260-x7.5)=-3(x-160)2+19200来说， 104 当x为160元时，月销售额W最大当x为210元时，月销售额W不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元1732518000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对