初中中考考点方程与不等式 .docx

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1、初中中考考点方程与不等式 中国教育培训领军品牌 2 方程与不等式 教学目标 板块 方程 方程的解 一元一次方程 一元一次方程的解法 二元一次方程 二元一次方程组的解 分式方程及其应用 不等式(组) 不等式的性质 解一元一次不等式(组) 一元二次方程 教学目标 A级目标 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 了解方程的解的概念 了解一元一次方程的有关概念 理解一元一次方程解法中的各个步骤 了解二元一次方程的有关概念 知道代入消元法和加减消元法的意义 了解分式方程的有关概念 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义 理解不等式的基本性质 了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(

2、确定)其解集 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 B级目标 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 会用观察、画图等手段估计方程的解 会根据具体问题列出一元一次方程 能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数的一元一次方程的解 能根据实际问题列出二元一次方程组 掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组 能将分式方程转化为整式方程求解 能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组) 会利用不等式的性质比较两个实数的大小 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解 能由一元二次方程的

3、概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 C级目标 能运用方程解决有关问题 会运用一元一次方程解决简单的实际问题 会运用二元一次方程组解决实际问题 会运用分式方程解决实际问题 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题 一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应

4、用一元二次方程解决简单的实际问题 全力以赴赢在环雅 1 中国教育培训领军品牌 学习内容 知识梳理 一、一元一次方程 1、一元一次方程的认识及解法 板块一等式的概念和性质 1等式的概念 用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式 在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则 2等式的类型 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立如：数字算式1+2=3 条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立方程x+5=6需要x=1才成立 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立如1

5、+2=5，x+1=x-1 注意：等式由代数式构成，但不是代数式代数式没有等号 3等式的性质 等式的性质1：等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式若a=b，则am=bm； 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式若a=b，ab则am=bm，=(m0) mm 注意： 在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边 等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同 在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果a=b，那么b=a等式具有传递性，即：如果a=b，b=c，那么a=c 板块

6、二方程的相关概念 1方程 全力以赴赢在环雅 2 中国教育培训领军品牌 含有未知数的等式叫作方程 注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母二者缺一不可 2方程的次和元 方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元 3方程的已知数和未知数 已知数：一般是具体的数值，如x+5=0中5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示 未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示如：关于x、y的方程ax-2by=c中，a、-2b、c是已知数，x、y是未知数 4方程的解

7、使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 5解方程 求得方程的解的过程 注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程 6方程解的检验 要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是 板块三一元一次方程的定义 1一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数 2一元一次方程的形式 标准形式：ax+b=0的形式叫一元一次方程的标准形式 最简形式：方程ax=b叫一元一

8、次方程的最简形式 注意： 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证如方程x2+2x+1=x2-6是一元一次方程如果不变形，直接判断就出会现错误 方程ax=b与方程ax=b(a0)是不同的，方程ax=b的解需要分类讨论完成 板块四一元一次方程的解法 1解一元一次方程的一般步骤 全力以赴赢在环雅 3 中国教育培训领军品牌 去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数 注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号 去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 注意：不要漏乘括号里的项，不要弄

9、错符号 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边 注意：移项要变号；不要丢项 合并同类项：把方程化成ax=b的形式 注意：字母和其指数不变 b系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= a注意：不要把分子、分母搞颠倒 2解一元一次方程常用的方法技巧 解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等 2、含字母系数的一次方程 板块一含字母系数的一次方程 1含字母系数的一次方程的概念 当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程 2含字母系数的一次方程的解法 含字母系数的一元一次

10、方程总可以化为ax=b的形式，方程的解由a、b的取值范围确定 b(1)当a0时，x=，原方程有唯一解； a(2)当a=0且b=0时，解是任意数，原方程有无数解； (3)当a=0且b0时，原方程无解 板块二同解方程及方程的同解原理 1方程的解 使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解 注意：方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题 代解：将方程的解代入原方程进行解题 2同解方程 如果方程的解都是方程的解，并且方程的解都是方程的解，那么这两个方程是同解方程 全力以赴赢在环雅 4 中国教育培训领军品牌 3方程的同解

11、原理 方程同解原理1：方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程 方程同解原理2：方程两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程 方程同解原理3：方程f(x)g(x)=0与f(x)=0或g(x)=0是同解方程 3、含绝对值的一次方程 含绝对值的一次方程的解法 形如ax+b=c(a0)型的绝对值方程的解法： 当c0时，原方程变为ax+b=c或ax+b=-c，解得x=或x= aa形如ax+b=cx+d(ac0)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的非负性可知cx+d0，求出x的取值范围； 根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax+b=cx+d和ax

12、+b=-(cx+d)； 分别解方程ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d)； 将求得的解代入cx+d0检验，舍去不合条件的解 形如ax+b=cx+d(ac0)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax+b=cx+d或ax+b=-(cx+d)； 分别解方程ax+b=cx+d和ax+b=-(cx+d) 形如x-a+x-b=c(ab)型的绝对值方程的解法： 根据绝对值的几何意义可知x-a+x-ba-b； 当ca-b时，分两 种情况：当xb时，原方程的解为x= 22形如ax+bcx+d=ex+f(ac0)型的绝对值方程的解法： 找绝对值零点：令ax+b=0，得x=x1，令cx

13、+d=0得x=x2； 零点分段讨论：不妨设x1x2，将数轴分为三个区段，即xx1；x1x0时，可选择x为正数，此时y为相应的为负数这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明 由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解 x=4x=4+5k例如，方程4x+5y=21的一组解为，则此方程的所有整数解可表示为： y=1-4ky=1注意：定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容 四、分式方程 1、分式方程的有关概念及其解法 1分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2解分式方程的一般步骤 去分母，方程两边都乘以最简公分母 解所得的整式方程 验根：将所得的根

14、代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根 解分式方程的思想：将“分式方程”转化为“整式方程”。 3用换元法解分式方程的一般步骤 (1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 全力以赴赢在环雅 11 中国教育培训领军品牌 (2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (3) 把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (4) 检验做答 注意： (1) 换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 (2) 分

15、式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 (3) 无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 2、利用分式方程解应用题 1列分式方程解应用题的一般步骤 审清题意，分清已知量和未知量； 设未知数； 根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； 解方程； 并验根； 写出答案。 2分式方程应用题分类： 行程类 相遇问题 追及问题 流水问题 工程类 营销类 利润与折扣问题 盈亏问题 货物运输类 浓度 3行程问题 路程速度时间； 在航行问题中，其中数量关系是 顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 航空问题类似于航行问题 4

16、工程问题 工作量工作效率工作时间， 完成某项任务的各工作量的和总工作量1 全力以赴赢在环雅 12 中国教育培训领军品牌 五、不等式 1、不等式及其性质 板块一不等式的概念： 不等式： 用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5-1+4,x+10,a2+10,x0,3a5a等都是不等式 常见的不等号有5种： “”、“”、“”、“”、“” 注意：不等式成立；而不等式也成立，因为成立，所以不等式成立 不等式的解： 使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解例如：-4，-2，0，1，2都是不等式x2的解，当然它的解还有许多 不等式的解集： 能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解

17、集不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解不等式的解集可以用数轴来表示 不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解 在数轴上表示不等式的解集(示意图)： 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 xa axxb，那么acbc 如果ab，并且c0，那么acbc(或) ccab如果a0，那么acbc(或b，并且c0，那么acbc(或) cc如果ab，并且cbc(或axb) 易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变在计算

18、的时候符号方向容易忘记改变 另外，不等式还具有互逆性和传递性 不等式的互逆性：如果ab，那么ba；如果bb 不等式的传递性：如果ab，bc，那么ac 注意：在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向 在不等式两边不能乘以，因为乘以后不等式将变为等式，以不等式为例，在不等式两边都乘同一个数a时，有下面三种情形： 如果a0，那么3a2a； 如果a=0时，那么3a=2a； 如果a0时，那么3a2a 板块三不等式的性质与等式性质的对比 不等式的性质 两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 两边都乘(或除以)同一个负数

19、，不等号的方向改变 主要区别：根据等式性质，方程两边可以乘以，但不能除以，而不等式性质中，不等式两边不能乘以，也不能除以 等式的性质 两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是)，所得结果，仍是等式 板块四一元一次不等式 一元一次不等式： 经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为axb的形式，其中x是未知数，a,b是已知数，并且a0，这样的不等式叫一元一次不等式 axb(a0)叫做一元一次不等式的标准形式 解一元一次不等式： bb去分母去括号移项合并同类项(化成axb形式)系数化一(化成x或x的形式) aa全力以赴赢在环雅 1

20、4 中国教育培训领军品牌 2、解一元一次不等式组 一元一次不等式组的有关概念： 一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组 1x-30例如2是一元一次不等式组，定义中的“几个”并没有确定个数，但必 x+82方程组了，例如，不等式组中的每一个不等式虽然都是一元一次不等式，但 yb) 不等式 图示 解集 xa baxa xb(同大取大数) xa xbxb ba(同小取小数) xbbxa x0方程ax+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根x1,2= 2abD=0方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根x1=x2=- 2aD0方程ax2+b

21、x+c=0(a0)没有实数根 2若a、b、c为有理数，且D为完全平方式，则方程的解为有理根； 若D为完全平方式，同时-bb2-4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： 把方程化为一般形式 全力以赴赢在环雅 16 中国教育培训领军品牌 确定a、b、c的值 计算b2-4ac的值 若b2-4ac0，则代入公式求方程的根 若b2-4ac0方程ax+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根x1,2= 2abD=0方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根x1=x2=- 2a2D0；有两个相等的实数根时，D=0；没有实数根时，D0时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 板块三一元二次方程的根的判别式的应用 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： (1)运用判别式，判定方程实数根的个数； (2)利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； (3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题； (4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题 3、一元二次方程根与系数的关