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1、初中函数概念大全函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示
2、法叫做列表法。 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 一次函数和正比例函数 1、一次函数的概念：一般地，如果y=kx+b，那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数ykxb(k0)的图像是经过点的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，即一次函数在y轴上的截
3、距)；正比例函数y=kx的图像是经过原点的直线。 3、斜率：y2-y1 k=tana=x2-x1y P(x0 y0) d B(x2, y2) A(x1, y1) y=kx+b 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: ab a 0 x y=kx+b=(tana)x+b=y2-y1x(x-x1)+y1x2-x1由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：设两条直线分别为，l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2若 若l1/l2，则有l1/l2k1=k2且b1b2。 xy+=1 abl1l2k1k2=-1 Y A 点
4、P到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d=22k+(-1) 4、两点间距离公式 如图：点A坐标为点B坐标为 则AB间的距离，即线段AB的长度为kx0-y0+bkx0-y0+bk2+1此方法拓展思路，以X B (x1-x2)2+(y1-y2)2 5、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 6、一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。 当k0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右
5、图象是上升的； 当k0时，与y轴的交点在正半轴；当b0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 k0 y=k(k0) xk0 y O x x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 当k0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a0时，对称轴在y轴左侧； ab0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 6、二次函数的解析式有三种形式： 一般式：y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a0) 顶点式：y=a(x-h)+k(a,h,k是常数，a0)
6、 2交点式：当抛物线y=ax+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax+bx+c=0有实根x1和x2存在222b0时 开口向上 当a0 y 图像 0 x 抛物线开口向上，并向上无限延伸； 对称轴是x=-a0 y 0 1 2x 抛物线开口向下，并向下无限延伸； 对称轴是x=-b， 2ab， 2a4ac-b2b顶点坐标是； 4a2a在对称轴的左侧，即当x-性质 4ac-b2b顶点坐标是； 4a2abb时，y随x在对称轴的左侧，即当x-的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x-b时，y随x的增大而增大，简记左减2ab时，y随x的增大而减小，简记左2a右增； 抛物线有最低点，当x=-增右减； bb时，
7、y有最小抛物线有最高点，当x=-时，y有最2a2a大值，y最大值值，y最小值9. 抛物线的交点 4ac-b2= 4a4ac-b2= 4ay轴与抛物线y=ax+bx+c得交点为(0, c). 抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方2程ax+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式22D=b2-4ac判定： 有两个交点 (D0)抛物线与x轴相交； 有一个交点(D=0)抛物线与x轴相切； 没有交点 (D0)抛物线与x轴相离. 平行于x轴的直线与抛物线的交点 同一样可能有0个交点、1个交点、2
8、个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax+bx+c=k的两个实数根. 一次函数y=kx+n(k0)的图像l与二次函数y=ax+bx+c(a0)的图像G的交点，由方程组 22y=kx+ny=ax+bx+c2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点. 2ky=ax+bx+c(a0)的图像的交点，由方程组 反比例函数y=(k0)的图像与二次函数xky= 的解来确定。 xy=ax2+bx+c0)，B(x2，0)，由于x1、x2是 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax+bx+c与x轴两交点为A(x1，2方程ax+bx+c=0的两个根，故x1+x2=- 2bc,x1x2= aa2b24cb2-4acDAB=x1-x2=-4x1x2=-= aaaa2
