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1、初中数学一题多解与一题多变初中数学一题多解与一题多变 北兴中学 王成录 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了指导意见，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了课程标准，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人
2、在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于一题多解，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是A多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼BDEC分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D、E在BC上，AB=AC，AD=AE， 求证：BD=CE. 思路与解法一：从ABC和
3、ADE是等腰三角形这一角度出发，利用等腰三角形底边上的三线合一这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是等腰三角形底边上的三线合一，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证ABDACE或证ABEACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是全等三角形对应边相等。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在O中，AD是直径，BC是弦，ADBC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？ 思路与解法
4、一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； 3.AB=AC； 4.BD=CD. BDOAEC思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论： 1.AEC=AEB=BED=CED =ABD=ACD=Rt； 2.ABC=ACB； 3.DBC=DCB； 4.BAD=CAD； 5.BDA=CDA； 6.BAD=BCD； 7.CBD=CAD； 8.ABC=ADC； 9.ACB=ADB. 思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论： 1.弧AB=弧AC； 2.弧BD=弧CD； 3.弧ABD=弧ACD； 4.弧ABC=弧ACB； 5.弧BAD=弧DAC. 思
5、路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论： 1.AEBAEC； 2.BEDCED； 3.ABDACD. 思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论： ABEACECDEBDEABDACD，即图中所有的直角三角形两两相似。 思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论： 1. AEDE=EBEC 2. BE2=EAED=EC2 3. AB2=AEAD=AC2 4. BD2=DEDA=DC2 思路与解法七：从其它一些角度去思考，还可得如下一些结论： 1. AE2+BE2=AB2=AC2=AE2+EC2 2. BE2+ED2=BD2=CD2=CE2+DE2 3. BAC+B
6、DC=180 4. BAE+ABE=90 5. S四边形ABCD=ADBC 6. S弓形ABC=S弓形ACB 以上两例分别从解法和结论发散性地分析与解决问题，其中例2虽然不要求写推理过程，但实际在分析过程中蕴含着异常丰富的思维和推断过程，如此便能很好地锻炼观察、猜想、推断、验证等探求能力和有效地发展创造性思维能力。 二、一题多变，多题归一 知识是静态的，思维是活动的；例、习题是固定的，而它的变化却是无穷的。我们可以通过很多途径对课本的例、习题进行变式，如：12改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。通过一题多变、多题归一的训练，可以把各
7、个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到以一当十，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。 例3：已知，如图，AB是O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E，BFCD，垂足为F， 求证：EC=DF. OAECBGDF变式一：如图，已知AB是O的直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F，BF交O于G，下面的结论：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正确的有 A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、4 BGEC
8、DFOA变式二：把直线EF和直径AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论均不变，便得新题，变化后的图形如下： AOCFEBD变式三：把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN和O切于点C，AB是O的直径，AC是弦，AEMN于E，BFMN于F， BAMNECF求证：AC平分BAE； 求证：AB=AE+BF； 求证：EF2=4EABF 如果O的半径为5，AC=6，试写出以AE、BF的长为根的一元二次方程. 变式四：把直线EF动起来，由相切变为相交，在运动变化过程中猜想并推断原有的结论是否仍成立，即把原来的封闭型试题演变为动态几何探索题。题目
9、如下： OABOABOEFlEC1C2Fl 如图，AB是O的直径，直线L与O有一个公共点C，过A、B分别作L的垂线，垂足为E、F，则EC=CF. 上题中当直线L向上平行移动时，与O有了两个交点C1 、C2 ，其它条件不变，如图，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=FC2； 把L继续向上平行移动，使与弦C1C2与AB交于点P，在其它条件不变的情形下，请你在圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与、相应的结论等式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由；若成立，给予证明。结论:_。 证明结论成立或不成立的理由: 象以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力并也建议老师们深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。
