初中数学全等三角形知识点总结及复习.docx

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1、初中数学全等三角形知识点总结及复习全等三角形知识点总结及复习 一、知识网络 对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形边角边 SAS判定角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 、基本概念 应用1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：形状相同的图形；大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三

2、角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质 全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 三边对应相等的两个三角形全等。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 1 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

3、 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 已知条件中有两角对应相等，可找： 夹边相等任一组等角的对边相等(AAS) 已知条件中有两边对应相等，可找 夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS) 已知条件中有一边一角对应相等，可找 任一组角相等(AAS 或 ASA

4、)夹等角的另一组边相等(SAS) 经典例题 例1. 已知：如图所示，AB=AC，求证：. 例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。 例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。 2 例4. 如图所示，求证：BD=CE。 ，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD、CEAB于E，且B+D=180。 求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF

5、=AD，连结FC，可证出DADCDAFC，问题就可以得到解决。 证明： 在AE上截取AF=AD，连结FC。 在DAFC和DADC中 AF=AD(已作) 1=2(已知)AC=AC(公共边)DAFCDADC AFC=D B+D=180 B=EFC 在DCEB和DCEF中 3 B=EFC证(已)CEB=CEF=90(已知) CE=CE(公共边) DCEBDCEF BE=EF AE=AF+EF AE=AD+BE 证明： 在线段EA上截EF=BE，连结FC。 小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 全等三角形复习练习题 一、选

6、择题 1如图，给出下列四组条件： AB=DE，BC=EF，AC=DF；AB=DE，B=E，BC=EF； B=E，BC=EF，C=F；AB=DE，AC=DF，B=E 其中，能使ABCDEF的条件共有A1组 B2组 C3组 D4组 2.如图，D，E分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若CDE=48，则APD等于 3.如图，点P是AB上任意一点，ABC=ABD，还应补充一个条件，才能推出推出APCAPD的是 APCAPD从下列条件中补充一个条件，不一定能ABC=BD BAC=AD CACB=ADB DCAB=DAB A42 B48 C 52 D58 C

7、B P D 图 1题图 2题图 4.如图，在ABC与DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) (A)B=E,BC=EFBC=EF，AC=DF (C)A=D，B=EA=D，BC=EF 5如图，ABC中，C = 90，AC = BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E， 若AC = 10cm，则DBE的周长等于( ) A10cm B8cm C6cm D9cm 6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有1处 2处 3处 4处 A 4 A 4题图 5题图 CD E B6题图 7某同学把一

8、块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是A带去 B带去 C带去 D带去 oB=90RtABC8如图，在中， ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E已知BAE=10，则C的度数为 A30 B40 C50 D60 9如图，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为 A20 B30 C35 D40 10如图，ACAD，BCBD，则有 AAB垂直平分CD BCD垂直平分AB 1题图CAB与CD互相垂直平分 DCD平分ACB A D B E B AoooooA CAB C BDC 8题图 10题图 8题7题图 11尺规作图作AOB的平分线方法

9、如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1由作法得CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，2OCPODP的根据是ASAS BASA CAAS DSSS 12.如图, C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定 13如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是APA=PB BPO平分APB COA=OB DAB垂直平分OP 14.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC的是 A

10、CB=CD BBAC=DAC CBCA=DCA DB=D=90 A D C AA P A C P BC O DB D O B B 11题图 12题图 13题图 14题图 5 二、填空题 1.如图，已知AB=AD，BAE=DAC，要使 ABCADE，可补充的条件是 _ 2.如图,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,且AB=5cm,则DEB的周长为 _ 3.如图，BAC=ABD，请你添加一个条件： ，使OC=OD 4.如图，在ABC中，C=90ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是_厘米。 C A

11、 D BEO AAB CB 1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 有 个 E D C D第1个第2个第3个6.已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度. 7如图，C为线段AE上一动点，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60. 恒成立的结论有_。 8.如图所示，AB = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是_. O B

12、E D BOA DQPC ACE 6题图 7 题图 8 题图 6 三、解答题 1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE. A B D E C 2.如图，在ABC中，AB=AC，BAC=40，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BAD=CAE=90 求DBC的度数；求证：BD=CE 3.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE . ACD O EB 4.如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由 A E D

13、B C 7 5.如图，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M 求证：ABCDCB ；过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论 N 6.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，1=2，3=4 求证：ABCADC；BO=DO B 1 2 3 O 4 B C A D M A C D 7如图，在ABC和ABD中，现给出如下三个论断：AD=BC；C=D； 1=2请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题 写出所有的真命题 请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是：证明： 1 2 8 8

14、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD 9如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F F求证：BD=2CE AE D CB 于点D，AD=AE，AB平分DAE交DE于点F10.如图，AB=AC,ADBC，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明 11已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点， 求证：AEDEBC 观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角 形： A D OEBCB E F A 郜D C 9

15、 12如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M 求证：MB=MD，ME=MF 当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：DFCE DE=CF A D F E E C B 14.如图，已知在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BEAC于E

16、，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC求证：AD平分BAC 10 16.如图，B=C=90，M是BC中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB 17.如图，在ABC和DBC中，ACB =DBC = 90，E是BC的中点，EFAB，垂足为F，且AB = DE 8.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。 19如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O试说明AE+CD=AC如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O试说明AE+CD=AC 11 20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且DAE=FAE. 求证：AF=AD+CF。 A D E B F C 已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BDAE于D，CEAE于E,(1)当直线AE处于如图的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；当直线AE处于如图的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；归纳，请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。 A D A E D B C E B C 12