初中数学分类讨论思想应用.docx

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1、初中数学分类讨论思想应用分类讨论思想专题几何部分 教学目的： 1、让学生识别分类讨论思想应用的相关考点； 2、让学生掌握分类讨论思想在几何中的应用类型。 教学重难点： 1、重点是分类讨论考点的识别；2、难点是分类讨论思想的掌握应用。 教学内容： 一、分类讨论思想 数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。 二、分类讨论思想应把握的原则 明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。 三、分类讨论思想的应用 线段中分类讨思想的应用线段及端点位置的不确定性引发讨论。 例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段

2、CB之比为_3：2_或_3：4_。 C1 A B C2 练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长. 解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上 AMCNBAMBNC例2下列说法正确的是 A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。 B、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。 与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引发讨论。 例3在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线OM平分AOB，ON平分BOC，

3、求MON的大小。 BNCMMCBNAOAO练习 已知AOB=60o,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小。 射线OC在AOB内 射线OC在AOB外 AECDOBCEADAOB2=602OoB这两种情况下，都有DOE=30o小结：为什么结论相同？虽然AOC的大小不确定，但是所求的DOE与AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的重要性。 三角形中分类讨论思想的应用 一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行

4、的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 1、三角形的形状不定需要分类讨论 例4、 在ABC中，B25，AD是BC上的高，并且BCA的度数为_。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当ABC的高在形内时，由AD2AD2=BDDC，则=BDDC， 得ABDCAD，进而可以证明ABC为直角三角形。由 B25。可知BAD65。所以BCABAD65。 如图2，当高AD在形外时，此时ABC为钝角三角形。 由AD2=BDDC，得ABDCAD 所以BCAD25 BCACADADC2590115 2、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边

5、可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。 例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。 练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。11x+x=9,x+x=12,22若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得或解1x+y=12,1x+y=9.22x=6,x=8,得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。 y=9,y=5.b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必

6、须分情况讨论。 例6、已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为 A. 30 B. 75 C. 105 D. 30或75 练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。 简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45，图2中顶角为135。 2、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。 3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论 例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足三边的长为_。 解析：由x-4+2x-4+2y-5y+6=02，则第y-5y+6=022，可得x-4=0且y-5y+6=0 2x

7、2=2x1=2y=3y=2 分别解这两个方程，可得满足条件的解1，或2 由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。 当两直角边长分别为2，2时，斜边长为2+222=22； 当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5； 当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。 综上，第三边的长为22或5或13。 4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 例8、如图所示，在ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 (A)3 (B)3或43 (C)3或A 34 (D)

8、43P B C 析解：由于以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形有一个公共角，因此依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQBC，这样根据相似三角形的性质可得AQAB=APAC，即AQ6=24，解得AQ=3；二是过点P作APQ=ABC，交边AB于点Q，这时VAPQVVABC，于是有AQAC=APAB，即AQ4=26，解得AQ=43. 所以AQ的长为3或43，故应选(B)。 四、本节小结 分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。