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1、初中数学全等三角形精讲数学三角形精讲 知识点归纳总结 1. 三角形的三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。 2. 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180。 3. 三角形全等的条件 三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。 4. 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等，对应边相等。 5. 三角
2、形的外角性质 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 专题总复习 全等三角形、轴对称 三、知识点梳理： 知识点一：全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 知识点二：全等三角形的性质. 全等三角形的对应边相等. 全等三角形的对应角相等. 知识点三：判定两个三角形全等的方法. SSS SAS ASA AAS HL 知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律. 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角. 有公共边的，公共边一定是对应边. 有公共角的，公共角一定是对应角. 有对顶角的，对顶角是对
3、应角. 全等三角形中的最大边是对应边，最小边是对应边. 知识点五：找全等三角形的方法. 一般来说，要证明相等的两条线段，可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中. 可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等. 可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等. 如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形. 1 知识点六：角平分线的性质及判定. 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上. 三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.
4、 知识点七：证明线段相等的方法. 中点性质证明两个三角形全等，则对应边相等 借助中间线段相等. 知识点八：证明角相等的方法. 对顶角相等；同角或等角的余角相等； 两直线平行，内错角相等、同位角相等；角平分线的定义； 垂直的定义；全等三角形的对应角相等； 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和. 知识点九：全等三角形中几个重要的结论. 全等三角形对应角的平分线相等；全等三角形对应边上的中线相等； 全等三角形对应边上的高相等. 知识点十：三角形中常见辅助线的作法. 延长中线构造全等三角形； 引平行线构造全等三角形； A 取长补短法. D 例1. 已知：如图，ABC中，ABAC，D、E、F分别在AB、
5、BC、CA上，且BD F CE，DEFB，图中是否存在和BDE全等的三角形？说明理由。 解：CEFBDE 理由：ABAC，BC B E C 又DECBBDE DEFCEFBBDE DEFB，CEFBDE 作垂直线段； BDE=CEF BD=CE B=C CEFBDE 例2. 已知：ABCD，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，BFDE，则ABCD，为什么？ 解：理由：DEAC，BFAC DECBFA90 2 在RtDEC和RtBFA中 CD=ABBF=DE RtDECRtBFA DCEBAF CDAB 例3. 用两个全等的等边ABC和ACD拼成一个四边形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个
6、四边形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于E、F时，通过观察或测量 D BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。 E C 解：结论：BECF 理由：ABC、ACD为等边三角形 ABAC，BACF60，BAC60 又1EAC60，2EAC60 A B 12 1=2 B=ACAACFB= ABEACF BECF 例4. 如图，AD是ABC的角平分线，AE是BC边上的高，B20，C40，求DAE的度数。 解：BACBC180 又B20，C40 BAC1802040120 AD
7、平分BAC D C F E A B DAC=BAC=120=60 A D AEBC，AEC90 2 1 又C40 F EAC904050 B E C DAEDACEAC605010 例5. 如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E，且 AC3cm，BD5cm，你能利用全等三角形有关知识测出AB的长吗？ 解：如图所示，在AB上截取AFAC，连结EF AE是CAB平分线 CAEBAE A ACAF，AEAE ACEAFE CEFA ACBD，CD180 AFEEFB180 B D E C 3 1212oo DEFB BE平分DBA，DBEFBE BEBE，DBEFBE BF
8、BD ABACBD AC3cm，BD5cm AB8cm 全等三角形的有关证明 关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边放入正确的三角形中”，去说明“相等的边所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等是初中里面一个非常常见而又重要的方法。 要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等 直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！ 直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同角的余角相等”来得到其他的角相等。 例一：图1，已知DOBC，OC
9、=OA，OB=OD，问CD=AB吗？ 分析：此图形可看作绕O点旋转得到，由垂直得到一组直角， 把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。 变形1：请说明BCE是直角三角形。 D E C A F B D解：易得AOBCOD E B=D 又 OAB=DAE 而在RtAOB中，OAB+B=90 DAE+D=90 在ADE中，DEA=180-=90 BEC=90 故BCE是直角三角形 变形2：把两个含有45角的直角三角板如图1放置，点D在BC上， 4 ACO图1 BB F D E C A 连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F求证：AFBE 分析：此图中要说明AFBE，与上题中BCE是直角三角形
10、是一样的意思， 只需要说明BFD=90即可 变形3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结CD 请找出图2中的全等三角形，并给予证明； 证明：CDBE BCEBCEAADD图2 图1 变形4、如图2，在ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD， 问BHDACD，为什么？ A E C H B E D 图2 分析：此题实际上就是变形1的反问，已经存在一组直角， 一组相等的边，再利用“同角的余角相等”来得到第二组角相等！ 变形5：如图3， 已知EDAB，EFBC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。 变形6：如图4，AD是
11、一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DBB M C F A D 图3 的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CDAD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的也为2米，你觉得对吗?请说明理由。 坡的高度C例二：如图1，已知，ACCE，AC=CE， ABC=分析 ：凡是题中的垂直往往意味着会有一组90角，量关系； ACDE=90，问BD=AB+ED吗? E得到一组等EADBD出现3个垂直，往往意味着要运用同角的余角相B等，得到另一组等量关系； 5 C图5 DA图4 OBC由全等得到边相等之后，
12、还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起： 如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。 解答过程：得到ABCCDE之后，可得到BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB 即：BD=AB+DE 变形1：如图7， 如果ABCCDE，请说明AC与CE的关系。 注意：两条线段的关系包括：大小关系 位置关系 AEBC图7 D变形2：如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FAAE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF 分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。 变形3：如图8，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线
13、，BDAE，CEAE， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。 分析 ：说明相等的边所在的三角形全等， 题中“AB=AC”，发现：AB在RtABD中，AC在RtCAE中， 所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等 于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角， 再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 解：由题意可得：在RtABD中，1+ABD=90 又 BAC=90， 即1+CAE=90 ABD=CAE 故在ABD与CAE中， BDA=AEC=90 6 ADEFBCADB图8 ECA1 DB图9 ECABD=CAE AB=AC ABDCAE AE=BD=7，
14、AD=EC=3 DE=AE-AD=7-3=4 变形4：在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。 当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？ 当直线MN绕点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。 当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。 MDMMCENB图10 CC 等A腰A图11 DB三角形、BAE1 2 图12 DEEDB等边三角形的全等问题： NCNA必备知识： 如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也
15、成立。 例三：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问BD=CE吗？ 分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边， 分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的ABC与ADE是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起， 加上所求的“BD=CE”，你会发现BD在ABD中，CE在ACE中， 这样一来，“AB=AC”可以理解为：AB在ABD中，AC在ACE中，它们是一组对应边； “AD=AE”可以理解为：AD在ABD中，AE在ACE中，它们是一组对应边； 所以只需要说明它们的夹角相等即可。 关键还是在于：说明“相
16、等的边所在的三角形全等” 解： 1=2 7 CDEB图13 1 2 A 1+CAD=2+CAD 即： BAD=CAE 在ABD与ACE中， AB=AC BAD=CAE AD=AE ABDACE BD=CE 变形1：如图13，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE， 请说明ABDACE.吗？为什么？ 分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS说明全等， 此题是两组角相等，那么该如何做呢? 变形2：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。 分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD看成在ABD的一边，CE看
17、成ACE的一边，自然就得到了证明的方向。 解：ABC与ADE是等边三角形， DCDAE1 B图14 2 C AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD 即： BAD=CAE 接下来的过程与例三完全一致，不予描述！ 变形3：如图1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接BD，CE，请说明它们相等 B图15 AECC 这里仅以图17进行说明 D 解： ABC与ADE是等边三角形， B图16 8 DBAEAE AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC-CAD=DAE-CAD CE即：BAD=BAD=CAE 在ABD与ACE中，
18、CEDB图17 AB=AC DBCA BAD=CAE AD=AE AC ABDACE BD=CE BEA 图16，图18的类型，请同学们自己去完成 BEA图18 DD变形4：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：AE=CG； 分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样 GAFBDCE例四： 如图，ABC中，C=90，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MNAB. 求证：AN平分BAC. 分析：要说明AN平分BAC，必须说明两角相等，可以说明AMNCAN， 9 AMBNC而题中已有了一组直角相
19、等，一组公共边 结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用HL定理得到全等。 变形1：在RtABC中，已知A=90，DEBC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求C的度数 A D 1 C B CEDA一. 选择题。 1. 已知等腰三角形的两边长是4cm和9cm，则此三角形的周长是 A. 17cm B. 13cm C. 22cm D. 17cm或22cm 2. 两根木条的长分别是20cm和30cm，要钉成一个三角形的木架，则在下面4根长度的木条中应选取 A. 10cm B. 20cm C. 50cm D. 60cm 3. 如图所示，ACB90，CDAB，则1与A的关系是 A. 互余 B
20、. 互补 C. 相等 D. 不确定 4. 如图所示，ABCDEF的和为 A. 180 B. 360 C. 540 D. 720 5. 在两个三角形中，下列条件能判定两个三角形全等的是 A. 有两条边对应相等 B. 有两角及其中一个角的对边对应相等 C. 有三个角对应相等 D. 有两边及一角对应相等 6. 在具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是 A. ABC B. A3C，B2C C. AB2C A=B=C D. 二. 已知：如图所示，ABC中，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于E，A60，BDC95，求BDE各内角的度数。 10 B12三. 已知：如图所示，ACBC，ADBD，M、N分别是AC、BC的中点，则DMDN，为什么？ 四. 已知：如图所示，ABBC，ADDC，垂足分别是B、D，要想得到ABAD的结论，你认为需要补充什么条件？请说明你的理由。 11
