初中数学二次函数做题技巧.docx

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1、初中数学二次函数做题技巧 石家庄e度论坛 初中数学二次函数做题技巧 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2;+bx+c顶点式：y=a(x-h)2;+k 抛物线的顶点P 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与x轴有交点A和 B的抛物线 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-bb2;-4ac)/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像，可以

2、看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P -b/2a ，(4ac-b2;)/4a 。当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右。 5

3、.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于 6.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数y=ax2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 画抛物线yax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

4、 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：yax2+bx+c (a,b,c为常数，a0). (2)顶点式：ya(x-h)2+k(a,h,k为常数，a0). (3)两根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c0的两个根，a0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h0时，抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时， 石家庄e度论坛 抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h0且k0时，抛物线yax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax 2；

5、如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c 则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0) 顶点式抛物线的顶点 P(h，k) ：y=a(x-h)2+k 交点式仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： 一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)

6、，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a 一般式和交点式的关系 x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式) 中考数学精选例题解析：一次函数 知识考点： 掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题： 2二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，那么abc、b-4ac、2a+b、24a-2b+c这四个代数式中，值为正的有 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 yb1 2a 2a+b0 解析：x=答案：A 评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判-1O1例1图 x定b的符号，由抛物线

7、与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b2-4ac的符号，若x轴标出了1和1，则结合函数值可判定2a+b、a+b+c、a-b+c的符号。 已知a+b+c=0，a0，把抛物线y=ax+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是，求原抛物线的解析式。 2 石家庄e度论坛 分析：由a+b+c=0可知：原抛物线的图像经过点；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。 解：可设新抛物线的解析式为y=a(x+2)，则原抛物线的解析式为2y=a(x+2-5)2+1，又易知原抛物线过点 0=a(1+2-5)+1，解得a=-原抛物线的解析式为：y=-2

8、1 41(x-3)2+1 4评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。 另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向，此时顶点坐标不变，只是a反号；两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新： 已知，抛物线y=a(x-t-1)+t的顶点是A，22如图所示，抛物线y=x-2x+1的顶点是B。 判断点A是否在抛物线y=x-2x+1上，为什么？ 如果抛物线y=a(x-t-1)+t经过点B，求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构

9、成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。 解析：抛物线y=a(x-t-1)+t的顶点A，而x=t+1当时，y=x-2x+1=(x-1)=(x+1-1)222222y2t，所以点A在抛物线y=x-2x+1上。 222 OBx问题图 顶点B，a(1-t-1)+t=0，t0，a=-1；设抛物线y=a(x-t-1)+t与x轴的另一交点为C，B，C，由抛物线的对称性可知，ABC为等腰直角三角形，过A作ADx轴于D，则ADBD。当点C在点B的左边时，t=1-(t+1)，解得t=-1或t=0；当点C在点B的右边时，t=(t+1)-1，解得t=1或t=0。故t=1。 评注：若抛物线的顶点与x轴两交

10、点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练： 2222 石家庄e度论坛 一、选择题： 1、二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，OA下列结论： abc0； 4acb； ac-b=-1； 2a+b0； -222OC，则yAO1CBxc； a4a-2b+c0。其中正确的有 OAOB=-2第1题图 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数y=x+bx+c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为y=x-2x+1，则b与c分别等于 A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、14 3

11、、如图，已知ABC中，BC8，BC边上的高h=4，D为B上一点，EFBC交AB于E，交AC于F，到BC的距离为x，DEF的面积为y，那么y关于x的函图像大致是 E2AFDC第3题图 BC设E数y42Oy42y42y42O24x O24x O24x 24 A B C D x 23题图 4、若抛物线y=ax与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 1111 A、a1 B、a2 C、a1 D、a2 42245、如图，一次函数y=kx+b与二次函数y=ax+bx+c的大致图像是 2yOyyOyxOxxOx3题图 题图 A B 3C D 二、填空题： 石家庄e度论坛

12、 1、若抛物线y=(m-1)x+2mx+3m-2的最低点在x轴上，则m的值为 。 2、二次函数y=4x-mx+5，当x-2时，y随x的增大而增大。则当x=-1时，y的值是 。 3、已知二次函数的图像过点，图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 4、已知抛物线y=(m-2)x-4mx+n的对称轴是x=2，且它的最高点在直线2222y=1x+1上，则它的顶点为 ，n 。 22三、解答题： 1、已知函数y=x-(m-2)x+m的图像过点，设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且SDABC=1，求点C的坐标。 2、某公司推出了一种高效

13、环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象刻画了该公司年初以来累积利润S与销售时间。根据图象提供的信息，解t之间的关系答下列问题： 由已知图象上的三点坐标，求累积利润S与时间t之间的函数关系式； 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； 求第8个月公司所获利润是多少万元？ 4 32 1 O -1 -2 -3 SyCD1 2 3456 t月2BAOxO123、抛物线y=x，y=-x和直线x=a分别交于A、B两点，已知2AOB900。 求过原点O，把AOB面积两等分的直线解析式； 为使直线y=第2题图 第4题图 O2x+b与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才

14、适合？ 24、如图，抛物线y=ax+4ax+t与x轴的一个交点为A。 石家庄e度论坛 求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式； E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点E在中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案 一、选择题：BCDDC 二、填空题： 1、2；2、7；3、y=三、解答题： 1、CS=1，n=-2； (x-2)2+1；4、22，1）或、 1210月

15、；5.5万元 t-2t；22x；3b0 4223、y=4、B；y=x+4x+3或y=-x-4x-3； 在抛物线的对称轴上存在点P，使APE的周长最小。 2中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程 知识考点： 1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系； 2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 精典例题： 已抛物线y=(m-1)x+(m-2)x-1。 m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？ 如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。 分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的

16、一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。 2 石家庄e度论坛 略解：由已知有m-10D=m02，解得m0且m1 由x=0得C 又AB=Dm =am-111mABOC=1=2 22m-1SDABC=m=44或m= 35122126y=x-x-1或y=-x-x-1 3355已知抛物线y=x-(m+8)x+2(m+6)。 求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上； 设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求m的值。 在的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的

17、顶点P？ 解析：D=(m+4)0，由x1+x2=m+80，x1x2=2(m+6)0可得证。 BC=x1-x2= m+4 OA=2(m+6) 又SDABC=48 222222222(x1+x2)2-4x1x2=(m2+8)2-8(m2+6) 1(m2+4)2(m2+6)=48 222 解得m=2或m=-12 m=2 y=x-10x+16，顶点，BC=6 -96 M不经过抛物线的顶点P。 2 石家庄e度论坛 评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。 探索与创新： c2如图，抛物线y=x-(a+b)x+，其中a、b、42

18、c分别是ABC的A、B、C的对边。 求证：该抛物线与x轴必有两个交点； 设有直线y=ax-bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，MNE与MNF的面积之比为51，求证：ABC是等边三角形； 当SDABC=3时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是说明理由。 解析：D=(a+b)-c=(a+b+c)(a+b-c) a+b+c0，a+b-c0 D0 由22yENOPFMQ x问题图 否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请a+b=a得a=b 2c22c2y=x-(a+b)x+ac=0 由4得：x-3ax+4y=a

19、x-bcc2+ac 设E，F，那么：x1+x2=3a，x1x2=4 由SDMNESDMNF51得：x1=5x2 x1=5x2或x1=-5x2 由x1x20知x1=-5x2应舍去。 NOPFMQ yExx1+x2=3aa 由解得x2= 2x1=5x2c2a 5=+ac，即5a2-4ac-c2=0 42 a=c或5a+c=0 2问题图 石家庄e度论坛 a=b=c ABC是等边三角形。 SDABC=3，即32a=3 4 a=2或a=-2 a=b=c=2，此时抛物线y=x-4x+1的对称轴是x=2，与x轴的两交点坐标为P，Q 2设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为，由切割线定理有：t=OPOQ t=1

20、 故所求圆的圆心坐标为或 评注：本题问与函数图像无关，而第问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。 跟踪训练： 一、选择题： 1、已知抛物线y=5x+(m-1)x+m与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于249，则m的值为 25 A、2 B、12 C、24 D、2或24 2、已知二次函数y1=ax+bx+c与一次函数y2=kx+m的图像交于点A，B，如图所示，则能使y1y2成立的x的取值范围是 A、x8 C、-2x8 D、x8 2yAB OAOEyyBxA

21、OBx2x第2题图 第3题图 第4题图 3、如图，抛物线y=ax+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：a+c=0；b=0；ac=-1；SDABE=c其中正确的有 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 2 石家庄e度论坛 4、设函数y=-x+2(m-1)x+m+1的图像如图所示，它与x轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为13，则m的值为 A、211或2 B、 C、1 D、2 332二、填空题： 1、已知抛物线y=x-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A，B，且a2+b2=17，则k 。 2、抛物线y=x-(2m-1)x-2m与x轴的两交

22、点坐标分别是A，B，且2x1=1，则m的值为 。 x212x+mx+m-1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且ACB900，223、若抛物线y=-则m 。 4、已知二次函数y=kx+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2时，y0；方程kx+(2k-1)x-121+4k20有两个不相等的实数根x1、x2；x1-1；x2-x1=，其中k所有正确的结论是 。 三、解答题： 1、已知二次函数y=ax+bx+c的图像过点E，对称轴为x=1，它的图像与x轴交于两点A，B，且x1x2，x1+x2=10。 求这个二次函数的解析式； 在中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？

23、若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 2、已知抛物线y=-x+(m-4)x+2m+4与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，且x1x2，x1+2x2=0，若点A关于y轴的对称点是点D。 求过点C、B、D的抛物线解析式； 若P是中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且HBD与CBD的面积相等，求直线PH的解析式； 3、已知抛物线y=2222123x-mx-2m交x轴于点A，B两点，交y22 石家庄e度论坛 轴于点C，且x10x2，(AO+BO)=12CO+1。 求抛物线的解析式； 在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。 2参考答案 一、选择题：CDBD 二、填空题： 1、2；2、三、解答题： 21、y=-x+2x+3；存在，P或 21；3、3；4、 22、y=x-6x+8；y=3x-10 3、y=123当0xP3时APB为锐角，当-1xP0或x-x-2；223xP4时APB为钝角。 聚能教育