初中数学基础知识总结.docx

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1、初中数学基础知识总结第一章 数与式 考点一、概念及分类 1、实数按定义分类 正整数 整数 零 有理数 负整数 实数 正分数 分数 有限小数和无限循环小数 负分数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、实数按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 零 负整数 负有理数 负分数 负实数 负无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一本质，归纳起来有四类： 开方开不尽的数，如7,32等； 3+8等； 有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如有特定结构的数，如0.1010010001等，一定要注意后面要带省略号； 某些三角函数，如sin60o等 考点二、数轴、倒

2、数、相反数、绝对值 1、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。对应：实数和数轴上的点是一 一对应的关系。2、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。a的倒数为1a。3、相反数:如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。相反数等于本身的数是0，任何数都有相反数。a的相反数为-a。 4、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。绝对值等于本身的是正数和零。 化简绝对值的一般步骤：由条件判断绝对值里的式子的正负

3、即绝对值里的式子与0作比较，化简一个个的小绝对值，绝对值化小括号，去括号，合并同类项。 考点三、平方数、立方数、平方根、算数平方根和立方根 - 1 - 1、平方数正数的平方为正数，0的平方为0，负数的平方为正数。平方后等于本身的数是0，1。 2、立方数正数的立方为正数，0的立方为0，负数的立方为负数。立方后等于本身的数是0，1，-1。3、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。正数a的平方根记做“正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 平方根为本身的数是0. 4、算术平方根如果一个正数的平方等于a，那么这个数叫做a的算术平方根，记作“。 a”a”

4、。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根。正数a的算术平方根记做“a”。算术平方根为本身的数是0和1。 a a0 a2=a= ；注意a的双重非负性： -a 3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根。a的立方根记做“一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 立方根等于本身的数是0,1，-1。 注意：33a0 。 a”-a=-3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点五、实数大小的比较 数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 求差比较：设a、b是实数， a-b0ab, a-b=0a=b

5、, a-b0a1ab;=1a=b;1abab2ab。类别比较法：正数大于零，负数a，a。若几个非负式子和为零，则每个式子均为0。 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 - 2 - 第二部分 代数式 考点一、概念及分类 代数式按定义分类 整式里有单项式、多项式两种。共学了加减乘除四种运算。乘法运算 整式 有同底数幂的乘法、单项式x单项式，单项式x多项式，多项式x多 有理式 项式，除法运算有同底数幂除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式。 代数式 分式里只学了分式的加减乘除运算。 分式 无理式 只学了二次根式的运算 考点二、整式的有关概念 1、代数式 用运算符号把数或表

6、示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如-41213ab，这种表示就是错误的，应写成-a2b。一个单333项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如-5a3、多项式 b2c是6次单项式。 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。如36x4y3z+3x5yz3-4xy-1叫做九次四项式。 4.多项式的升降幂排列：指的是按某一个字母的指

7、数从大到小排列叫降幂排列，从小到大排列叫升幂排列。 5.整式的概念：单项式和多项式统称整式。 6.代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 7.同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 考点二：整式的运算 1.整式的加减法：去括号；合并同类项；按降幂排列。 2.整式的乘法：同底数幂乘法：aman=am+n(m,n都是正整数) 幂的乘方： n=amn(m,n都是正整数)

8、积的乘方 ：(ab)n=anbn(n都是正整数) 单项式乘以单项式：系数相乘做积的系数，相同字母相乘，对于只在一个单项式中存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式：用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加。 几种特殊形式的多项式乘以多项式： 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 - 3 - 完全平方公式：(a+b)3.整式的除法： 2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 同底数幂除法：底数不变，指数相减。aman=am-n(m,n都是正整数,a0) 单项

9、式除以单项式：系数相除，相同字母相除，对于只在被除式里存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注意：单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 计算时要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 a4.幂的性质 同底数幂乘法： aman=am+n(m,n都是正整)数 幂的乘方： 0=1(a0);a-p=1(a0,p为正整

10、数) apn=amn(m,n都是正整数)积的乘方 ：(ab)n=anbn(n都是正整数) 同底数幂除法：aman=am-n(m,n都是正整数,a0)a0=1(a0);a-p=考点三、因式分解 1、因式分解 1(a0,p为正整数) ap把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2、因式分解的常用方法 提公因式法：公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。 运用公式法：包括平方差公式a完全平方公式 2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 十字相乘法 分组分解法：四项式分组分解：二二

11、分，分后提取新的大公因；一三分，分后套用平方差公式。 3、因式分解的一般步骤： 一提。如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 二套。提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用平方差公式法分解因式；3项式可以尝试运用完全平方公式法和十字相乘法分解因式；三分。如果多于三项可考虑分组分解法。四查。只查多项式因式，一查是否为化简的最后结果，二查会否为因式分解的最后结果。 考点四、分式 1、分式的概念一般地，用A、B表示两个整式，AB就可以表示成式子A的形式，如果B中含有字母，BA就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 B2

12、、分式的性质分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整式，- 4 - 分式的值不变。 分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 acacacadad=;=;bdbdbdbcbcacadbc= bdbd4.分式的乘除步骤： anan=n(n为整数);bbabab=;ccc统一为乘法；把分子分母都因式分解；约分；用分子的积做分子，用分母的积做分母。 5.分式的加减的步骤： 统一成最简公分母，即各个分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积； 分母不变，分子相加减； 处理分子，先化简，再因式分解； 约去分子与分母的公因式

13、 考点五、二次根式 1、二次根式式子a必须是非负数。 2、最简二次根式:若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： 如果被开方数是分数或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 (a(a0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根

14、号“”；被开方数a)2=a(a0) a(a0) a2=a= -a(a0) ab=ab(a0,b0) aa=(a0,b0) bb5、二次根式的加减步骤： 化为最简二次根式将被开方数相同的二次根式合并。6.二次根式的乘除步骤：统一为乘法；根号内的和根号内的乘除，根号外的和根号外的乘除；用分子的积做分子，用分母的积做分母。 - 5 - 7.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 8.考查a中a0的式子，如y=-a+-b2+1-c+c-1-2，可由被开方数大于等于0求得a=0，b=0，c=1，y=-2。 9.考查 a是非负数的式子

15、若x-1+b+2+(c+3)=0，则x= ，y= ，z= 。2当x= 时，x-2有最小值，为 。 第二章 方程与不等式 考点一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质等式的两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 等式的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b项。 5、解方程的五个步骤：一去分母，二去括号，三移项，四合并同类项，五系数化为一。 考点二、一元二次方程 1、一元二次方程的定义含有一个未

16、知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 =叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数ax2+bx+c=0(a0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 3、一元二次方程的解法 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)22=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b0时，x+a=b，x=-ab，当b0时，方程有两个不相等的实

17、数根；当b程没有实数根。 5、一元二次方程根与系数的关系 如果方程ax22-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0,y0 点P(x,y)在第二象限x0 x0,y0,y0，经过一三象限；若k0，经过一二象限；若b0，y随x的增大而增大，减小而减小；若kc可以看做是一次函数y=ax+b在函数值大于c时，求自变量x的范围；从图像上看相当于直线y=ax+b上纵坐标大于c的部分对应的横坐标的范围。 C、一次函数与二元一次方程组的关系：从数的角度看，解二元一次方程组相当于求自变量为何值时，两个函数的函数值相等；从形的角度看，解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标。 - 11 - 考点四

18、、反比例函数 1、反比例函数的概念 k-1叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=kxx的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 一般地，函数y=2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。

19、 当k0时，抛物线开口向上， 开口大小：与a0时，抛物线开口向下。 a有关。a越大开口越小，a越小开口越大。 b时，y2a有最小值，极值：当a大于0时，函数有最小值，抛物线有最低点，当x=-y最小值4ac-b2=4a； b4ac-b2当a-时，y随x的增大而增大，简记左减右增； 2ab 当a0时，在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的增大而减小，简记左增右减； 2a当a0时，在对称轴的左侧，即当x0时，抛物线开口向上， 开口大小：与a0时，抛物线开口向下。 a有关。a越大开口越小，a越小开口越大。 =k；极值：当a大于0时，函数有最小值，抛物线有最低点，当x=h时，y有最小值，y最小值当a0时，

20、在对称轴的左侧，即当xh时，y随x的增大而增大，简记左减右增； 当a0时，在对称轴的左侧，即当xh时，y随x的增大而减小，简记左增右减； 3、二次函数与一元二次方程的关系 (1) 二次函数y最大值=k。 求自变量x的值时，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)当已知函数值为m，可看做是解一元二次方程ax2+bx+c=m; 反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=m，可看做是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)当已知函数值为m，求自变量x的值。 一元二次方程中的D=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当D0时，图像与x轴有两个交点；当D=0时，图像与x

21、轴有一个交点；当D0时，图像与x轴没有交点。 4.无论是什么函数，左右移影响着x的变化，左移x加，右移x减；上下移影响着y的变化，上移y减，下移y加。 第四章 统计初步与概率初步 考点一、平均数 1、平均数的概念 - 14 - 平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,L,xn,那么，x个数的平均数，x读作“x拔”。 加权平均数：如果n个数中，=1(x1+x2+L+xn)叫做这nnx1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为x1f1+x2f2+Lxkfkn，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中f1,f2,L,fk叫做权。 考点二、统计学中的

22、几个基本概念 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 5、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数。 考点四、方差 1、方差的概念 在一组数据x1,x2,L,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数

23、据的方差。通常用“s”表示，即 21s2=(x1-x)2+(x2-x)2+L+(xn-x)2 n2.方差的大小决定波动的大小，方差越大波动越大，方差越小波动越小。 考点五、频率分布 1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。 2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 研究样本的频率分布的一般步骤是： 计算极差决定组距与组数决定分点列频率分布表 - 15 - 画频率分布直方图 频率分布的有关概念 极差：最大值与最小值的差 频数：落在各个小组内的数据的个数 频率：每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。 考点六、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发