《初中数学经典几何难题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学经典几何难题及答案.docx（32页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、初中数学经典几何难题及答案经典难题 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF C E A P D G A D O 第1题图 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 求证：PBC是正三角形 3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形 A A2 A1 D1 B1 C1 B2 B 第3题图 C2 C A M 第4题图 B D N C D2 D E F F B B 第2题图 C 4、已知：如图，在四边形ABCD中
2、，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF 经典难题 1、已知：ABC中，H为垂心，O为外心，且OMBC于M 求证：AH2OM； 若BAC600，求证：AHAO 经典难题 第 1 页 共 38 页 A G E O C H E B O D N B M D 第1题图 C M P A 第2题图 Q 2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：APAQ 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、E
3、B分别交MN于P、Q 求证：APAQ E C M P A O Q G N E B P A 第3题图 Q 第4题图 B F C D D 4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半 经典难题 1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F 求证：CECF 经典难题 第 2 页 共 38 页 A F D E F A D B B 第1题图 C 第2题图 C E 2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F 求证：AEAF 3、设P是正方形
4、ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE 求证：PAPF A D F P E B P C E C 第4题图 B O A D F 第3题图 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D 求证：ABDC，BCAD 经典难题 1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求：APB的度数 A A P D P B B 第1题图 C C 第2题图 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB 经典难题 第 3 页 共 38 页 3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD A
5、 D F P E C 第4题图 A D B B 第3题图 C 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AECF求证：DPADPC 经典难题 1、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证：A P B C B 第2题图 A A L2 D P C 第1题图 2、P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 A P D D E B 第3题图 EBA200，求BED的度数 C B 第4题图 C 4、如图，ABC中，ABCACB800，D、E分别是AB、
6、AC上的点，DCA300， 经典难题 第 4 页 共 38 页 经典难题 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF。 证一：连接OE。 EGCO ，EFAB， O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。 GF=OEsinGOF。 又OCD中，CD=OCsinCOD。 GOF+COD=180， OC= OE为O半径， CDGF。 C E 证二：连接OE，过G作GHAB于H。 EGCO ，EFAB， O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。 GEO=HFG。又EGO=FHG=Rt， GEOHFG。GF:OE=GH:OG。 又GHCD，GH:CD=O
7、G:OC， 即GH:OG=CD:OC，GF:OE=CD:OC， 而OE=OC，CDGF。 C E G A D O F B A D G H O F B 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 A 求证：PBC是正三角形 证明： D P E B C 3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形 经典难题 第 5 页 共 38 页 A A2 A1 D2 D1 B1 C1 D B2 B C2 C 4、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点
8、，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF F E N D A C M B 经典难题 1、已知：ABC中，H为垂心，O为外心，且OMBC于M 求证：AH2OM； 若BAC600，求证：AHAO O H E B M D C A 经典难题 第 6 页 共 38 页 AAFOOEEBBDHMCHDMFC2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：APAQ G E C B M 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： O D N P A Q 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设
9、CD、EB分别交MN于P、Q 求证：APAQ E C M P A O Q N B D 4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，经典难题 第 7 页 共 38 页 点P是EF的中点 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半 D G C E P A Q B F 经典难题 1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F 求证：CECF A F D E B C 2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F 求证：AEAF F A D B C E 经典难题 第 8 页 共 38 页 3、设P是正
10、方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE 求证：PAPF A D F B P C E 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D 求证：ABDC，BCAD A P E B O D F C 经典难题 1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求：APB的度数 A P B 经典难题 第 9 页 共 38 页 C 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA 求证：PABPCB A P B 3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD A D C D B 4、平行四边形ABCD中
11、，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AECF求证：DPADPC A F P E C C D B 经典难题 第 10 页 共 38 页 经典难题 1、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证：L2 A P B C 2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值 A D P B C 经典难题 第 11 页 共 38 页 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 A P D B C 4、如图，ABC中，ABCACB800，D、E分别是AB、AC上的点，DCA300， EBA200，求BED的度数 A
12、D E B C 经典难题 1.如下图做GHAB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得EOGOCO=,又CO=EO，所以CD=GF得证。 GFGHCD经典难题 第 12 页 共 38 页 2. 如下图做DGC使与ADP全等，可得PDG为等边，从而可得 DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150 所以DCP=300 ，从而得出PBC是正三角形 3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A2E=111102A1B1=2B1C1= FB
13、2 ，EB2=2AB=2BC=FC1 ，又GFQ+Q=90和 GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ， 可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 , 从而可得A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 经典难题 第 13 页 共 38 页 4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN和QMN=QNM，从而得出DENF。 经典难题 1.(1)延长AD到F连BF，做OGAF, 又F=ACB=BHD， 可得BH=BF,
14、从而可得HD=DF， 经典难题 第 14 页 共 38 页 又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB，OC,既得BOC=1200， 从而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。 3.作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 ADACCD2FDFD= 由于， ABAEBE2BGBG 由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。 又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得AFC=AOP和AGE=AOQ， AOP=AOQ，从而可得AP=AQ。 经典难题 第 15 页 共 38 页 4.过E,C,F点分别作A
15、B所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=EG+FH。 2 由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。 从而可得PQ= AI+BIAB= ，从而得证。 22经典难题 第 16 页 共 38 页 经典难题 1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC为等边三角形。 AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。 2.连接BD作CHDE，可得四边形CGDH是正方形
16、。 由AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150， 又FAE=900+450+150=1500， 从而可知道F=150，从而得出AE=AF。 经典难题 第 17 页 共 38 页 3.作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=XZ=，可得YZ=XY-X2+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得证 。 经典难题 第 18 页 共 38 页 经典难题 1. 顺时针旋转ABP 600 ，连接PQ
17、 ，则PBQ是正三角形。 可得PQC是直角三角形。 所以APB=1500 。 2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AEDC，BEPC. 可以得出ABP=ADP=AEP，可得： AEBP共圆。 可得BAP=BEP=BCP，得证。 3.在BD取一点E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得： BEAD =，即ADBC=BEAC， BCAC经典难题 第 19 页 共 38 页 又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得 ABDE=，即ABCD=DEAC， ACDC 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。 4.过D作AQAE ，AGCF ，由SVADE=SVA
18、BCD=SVDFC，可得： 2AEVPQAEVPQ=，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得DPADPC。 经典难题 第 20 页 共 38 页 经典难题 1.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L= ； 过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于APDATP=ADP， 推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大LATP=ADP， 推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L 2 ； 由和既得： L
19、2 。 经典难题 第 34 页 共 38 页 2.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。 既得AF=134+23+(+1)2 = 2+3= 422 = 2(3+1)2(3+1) = 226+2 。 2 = 经典难题 第 35 页 共 38 页 3.顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L = (2+222)+2Va = 5+22Va 。 22经典难题 第 36 页 共 38 页 4.在AB上找一点F，使BCF=600 ， 连接EF，DG，既得BGC为等边三角形， 可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： FGE为等边三角形 ，可得AFE=800 ， 既得：DFG=400 又BD=BC=BG ，既得BGD=800 ，既得DGF=400 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE ， 从而推得：FED=BED=300 。 经典难题 第 37 页 共 38 页 经典难题 第 38 页 共 38 页
