初中数学相关定理及证明.docx

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1、初中数学相关定理及证明高中数学相关定理、公式及结论证明一、三角函数部分 1.正弦定理证明内容：在DABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理当DABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有CD=bsinACD=asinB。由此，得故有 asinA=asinA=abc =.sinAsinBsinCC b a bsinB，. 同理可得 csinC=bsinB， A D B bsinB=csinC从而这个结论在锐角三角形中成立. 当DABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的

2、定义，有CD=asinCBD=asinABC，CD=bsinA 。由此，得 a故有 asinAsinA=C b a bA bsinABC，c同理可得 csinC=sinABCB D =bsinABC=sinC. 在RtDABC中，sinA=ab,sinB=, ccab=c， sinAsinBabc =.sinAsinBsinC QC=90,sinC=1.由(1)(2)可知，在DABC中，2.外接圆证明正弦定理 asinA=bsinB=csinC 成立. 在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圆,O为连结BO并延长交圆于B,设BB=2R.则根据直径所对的角是直角以及同弧所

3、对的圆周角相等可以得到 BAB=90，C =B， 1 圆心, 圆周 sinC=sinB=sinC=sinB=c2R. csinC=2R. 同理,可得asinA=2R,basinB=2R.sinA=bsinB=csinC=2R. 3.向量法证明正弦定理 OC=ACcos(A-90)=bsinA OC=BCsinB=asinB asinB=bsinA abcbsinA=sinB 同理 sinC=sinB 故有 asinA=bsinB=csinC. 2.余弦定理证明内容：在DABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosB c2=a2+

4、b2-2abcosC证明：如图在DABC中， a2=a2=BC2=(AC-AB)(AC-AB) =AC2-2ACAB+AB2=AC2 -2ACABcosA+AB2 =b2+c2-2bccosA 2同理可证：a=b2+c2-2bccosa2=b2+c2-2bccosAA2 所以b=a2+c2c2=a2+b2-2abcosC-2accosB c2=a2+b2-2abcosC3.两角和的余弦公式证明如图在单位圆中设P,Q 则：OPOQ=OPOQcos(a-b)=cos(a-b) 2 则QOPOQ=cosacosb+sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 在单位圆中设

5、P,Q 则：OPOQ=OPOQcos(a+b)=cos(a+b) QOPOQ=cosacosb-sinasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a+b)=cosa-(-b) 4.两角和的正弦公式证明二、两角和的正弦公式证明。内容：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 证明： sin(a+b)=cosp2-(a+b)=cos(p2-a)-b=cos(p2-a)cosb+sin(p2-a)sinb =sinacosb+cosasinb sin(a-b)=cosp2-(a-b)=cos(p2-a

6、)+b=cos(p2-a)cosb-sin(p2-a)sinb =sinacosb-cosasinb 5两角和的正切公式证明 a+b)=内容：tan(证明： tana+tanbtana-tanba-b)=，tan( 1-tanatanb1+tanatanbsinacosbcosasinb+sin(a+b)sinacosb+cosasinbcosacosbcosacosbtana+tanbtan(a+b)= cos(a+b)cosacosb-sinasinbcosacosbsinasinb1-tanatanb-cosacosbcosacosbsinacosbcosasinb-sin(a-b)si

7、nacosb-cosasinbcosacosbcosacosbtana-tanbtan(a-b)= cos(a-b)cosacosb+sinasinbcosacosbsinasinb1+tanatanb+cosacosbcosacosb3 6半角公式证明内容：sina2=1-cosaa1+cosaa1-cosa2sina1-cosa ,cos=,tan=22221+cosa1+cosa2sina2cos2a=1-2sina证明：由二倍角公式 2cos2a=2cosa-12acosa=1-2sina1-cosaa1+cosa2用a代替2a，得，得sin= ,cos=a2222cosa=2cos

8、2-12tana2sin=aa2=2cos2=2sina，tana=2=22=1-cosa aa1+cosaaaa2sina2cos2coscoscos2sin222222sina2cosasinasina2sina7.诱导公式公式： sin(-a）=-sina tan(-a）=-tana如图：设a的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-a的终边与单位圆的交点必为 P(x，-y)由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sina=y， cosa=x, sin(-a)=-y, cos(-a)=x, 所以：sin(-a)= -sina, cos(-a)= cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正

9、切的-a诱导公式。公式： =-sina cos(p+a）=-cosa sin(p+a）P(x，-y)(4-5-2)MOcos(-a）=cosayP(x,y)a-axp+a）=tana tan( 它刻画了角180+a与角a的正弦值 P(x,y)My之间的关系，这个关系是：以角a终边的反向延长线为终边的角的正弦值与角a的正弦值由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sina=y， cosa=x, sin(180+a)=-y, cos(180+a)=-x, 所以 :sin(180+a)=-sina，cos(180+a)=-cosa 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相应诱导公式公式

10、一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin=sin kz cos=cos kz tan=tan kz 公式二：sin=sin cos=cos tan=tan 公式三：sin=sin 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin=sin cos=cos tan=tan 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin=sin cos=cos tan=tan 公式六： /2与的三角函数值之间的关系： sin=cos cos=sin tan=cot sin=cos cos=sin tan=cot 二.数列部分 1等差数列前n项

11、和公式证明内容：公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1n+an是等差数列，证明：由题意， Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+.+(a1+(n-1)d) 反过来可写为：Sn=an+(an-d)+(an-2d)+.+(an-(n-1)d) +得：2Sn=a1+n+a1+n.+a1+n 14444244443n个n(a1+an)n(n-1)d= 22所以，Sn=n(a1+an)， 2n(a1+an)n(n-1)d= 22把an=a1+(n-1)d代入中，得Sn=a1n+2等比数列前n项和公式证明 5 na1,(q=1)内容：公比为q，首项为a1，则Sn=a1-anqa1(1-

12、qn) an是等比数列，Sn为其n前项和，=,(q1)1-q1-q证明：Sn=a1+a1q+a1q2+.+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+.+a1qn 得：(1-q)Sn=a1-a1qn， a1-a1qna1(1-qn)当q1时，Sn= =1-q1-q把an=a1qn-1代入中，得Sn=当q=1时。很明显Sn=na1 na1,(q=1)所以，Sn=a1-anqa1(1-qn) 1-q=1-q,(q1)a1-anq 1-q三.立体几何部分 1.三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。证明：已知

13、：如图，直线l与平面a相交与点A，l在a上的射影OA垂直于a,aa 求证：la 证明：过P作PO垂直于a PO POa 又aOA ，POOA=O a平面POA al 2.求证：如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. 6 如图所示:已知aa,a在平面b，ab=b, 求证：ab.证明aa,b在a内, a和a没有公共点, 又 a和b也没有公共点, 而a和b都在b内，a和b也没有公共点, ab. 3.求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 如图所示:已知ab,ag=a,bg=b.求证：ab.证明：a和b分别在平面a、b内且ab

14、， a和b不相交，又a和b都在平面g内， ab. 4.求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 如图所示:已知ab,ab=MN,AB在b内，ABMN于B点。求证：ABa. 则ABC是二面角a-MN-b的平面角， ab，ABC =90， ABBC 又ABMN，证明：在平面a内做直线BCMN，5.求证：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 如图所示:已知aa,ba,垂足分别为A、B.求证：ab.证明：假设a和b不平行，过B点作a的平行线b 由异面直线垂直定义，b与平面a内过点A的任意直线都垂直，也即有ba， bb=B,故直线b与b与确

15、定一个平面，记b， a ABab=l,在平面内，过B点有且仅有一条直线垂直于l，故直线b与b重合，所以ab.7 四、解析几何部分 1.点到直线距离公式证明内容：已知直线l:Ax+By+C=0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d=Ax0+By0+CA+B22。向量法证明1：设直线l:Ax+By+C=0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的一个方向向量为v=(-B,A),设其法向量为n=(s,t) 则vn=-Bs+At=0，可得直线一法向量为n=(A,B), n的单位向量为n0=nn=(AA+B22,BA+B22) 由题意，点M到直线的距离为

17、离是点P到直线 l的垂线段的长，如图1，设点P到直线l的垂线为 l，垂足为Q，由 ll可知 l的斜率为 l的方程：y-y0=B AB(x-x0)与l联立方程组 AB2x0-ABy0-ACA2y0-ABx0-BC解得交点Q(,) 2222A+BA+B8 B2x0-ABy0-ACA2y0-ABx0-BC2|PQ|=(-x0)+(-y0)22222A+BA+B|Ax0+By0+C| -A2x0-ABy0-AC2-B2y0-ABx0-BC2PQ|=+A2+B2A2+B2A2+B2A2(Ax0+By0+C)2B2(Ax0+By0+C)2(Ax0+By0+C)2=+=(A2+B2)2(A2+B2)2A2

18、+B22五、平面向量部分 1.平行向量定理内容：若两个向量平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。证明：设a,b是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2) 若a/b，则存在实数l使a=lb，且由平面向量基本定理可知x1i+y1j=l(x2i+y2j)=lx2i+ly2j. x1=lx2，y1=ly2 y2-x2得：x1y2-x2y1=0 若y10,y20则2.平面向量基本定理内容：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对实数l1,l2，使得a=l1e1+l2e2. 证明：如图过平面内一点O，

19、作OA=e1,OB=e2,OC=a，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB有一组实数，使 e2NBCx1x2 =y1y2于点N，有且只得OM=l1OA,ON=l2OB QOC=OM+ONOC=l1OA+l2OBaOMe1A即a=l1e1+l2e2. 3.共线向量定理内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平A面内任一点，若C在直线AB上，则有PC=lPA+(1-l)PB C9 BP证明：由题意，BC与BA共线，BC=lBA BC=PC-PB,BA=PA-PBPC-PB=l(PA-PB)化简为：PC=lPA+(1-l)PB 六、柯西不等式若a、b、c

20、、d为实数，则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2或|ac+bd|a2+b2 证法：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2(ac+bd)2. 证法：设向量m=(a,b)，n=(c,d)，则|m|=a2+b2，|n|=c2+d2. mn=ac+bd，且mn=|m|n|cos，则|mn|m|n|. (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 c2+d2 七、函数和导数部分换底公式证明内容：logbN=logaN(N,a,b0;a,b1) logab证明：设logaN=X,logab=Y，则b=aY,N=aX logbN=logaYaX= XXlogaN logaa=YYlogab10

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