初二数学动点问题练习[1].docx

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1、初二数学动点问题练习1动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边

2、长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 5 ，B=60，BC=2点O是AC的中点，过3、如图，在RtABC中，ACB=90点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为a 当a= 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； 当a= 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； 当a=90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由 解：30，1；60，1.5； 当=900时，四边形EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平

3、行四边形 在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300. E O a D C O l C A B 1AC3AB=4,AC=2. AO=2=3 .在RtAOD中，A=300，AD=2. B A BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC是平行四边形， 四边形EDBC是菱形 4、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E. M M M C D C C E N D E A B B B A A D E 图1 N 图3 N 图2 1 (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE； (2)当直线MN绕点C旋转到

4、图2的位置时，求证：DE=AD-BE； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解： ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90 A

5、CD=CBE， 又AC=BC， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确

6、，请说明理由； 小华提出：如图3，点E是BC的延长线上的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 D 解：正确 A D 证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME A F BM=BEBME=45，AME=135 F M CF是外角平分线，DCF=45，ECF=135 B E C G AME=ECF B 图1 E C G AEB+BAE=90，AEB+CEF=90， D A BAE=CEF AE=EF AMEBCFF 正确 证明：在BA的延长线上取一点N使AN=CE，连接NE B E C G N BN=BE N=

7、PCE=45 F 图2 D 四边形ABCD是正方形， ADBE A D A DAE=BEA NAE=CEF ANEECFAE=EF B C E G B C E G 图3 6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求 PAB为等腰三角形的t值； PAB为直角三角形的t值； 若AB=5且ABM=45 ，其他条件不变，直接写出 PAB为直角三角形的t值 F 2 7、如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB=4，BC=6，B=60.求：求

8、点E到BC的距离； 点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x. MN当点N在线段AD上时，P改变，请说明理由； 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若当点N在线段DC上时，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 A E B 图1 A E B 图4 D F C B 图5 D F C B A E P N D F C B 图2 D F C A E P D N F C M M 图3 A E 解如图1，过点E作EGBC于点G E为AB的中点， BE=1AB=22 在RtE

9、BG中，B=60， BEG=30 BG=1BE=1，EG=22-12=32 3 即点E到BC的距离为3 当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变 PMEF，EGEF， PMEGEFBC， EP=GM，PM=EG=3 同理MN=AB=4如图2，过点P作PHMN于H，MNAB， B A E D F C 图1 N D F H C 图2 G A E P 13PH=PM=NMC=B=60，PMH=30 22335MH=PMcos30=则NH=MN-MH=4-= 2 225322在RtPNH中，PN=NH+PH=+ =722PMN的周长=PM+PN+MN=3+7+4 22B G M 当点N在线段D

10、C上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形 当PM=PN时，如图3，作PRMN于R，则MR=NR 3 MNC是等边三角形，MC=MN=3 MN=2MR=32 此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2 类似，MR= A E B P R G M 图3 C B G 图4 M D N F A E P D F N C B A E D F N C M G 图5 当MP=MN时，如图4，这时MC=MN=MP=3 此时，x=EP=GM=6-1-3=5-3当NP=NM时，如图5，NPM=PMN=30又MNC=60， 则PMN=120，PNM+MNC=180 因此点P与F重合，PMC为

11、直角三角形 MC=PMtan30=1 此时，x=EP=GM=6-1-1=4综上所述，当x=2或4或5-3时，PMN为等腰三角形 8、如图，已知ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点 (1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 () 4 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？ 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过

12、多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ 解：t=1秒， BP=CQ=31=3厘米， AB=10厘米，点D为AB的中点， BD=5厘米 又PC=BC-BP，BC=8厘米， PC=8-3=5厘米， PC=BD 又AB=AC， B=C， BPDCQP D A Q P C B vPvQ， BPCQ， 又BPDCQP，B=C，则BP=PC=4，CQ=BD=5， 点P，点Q运动的时间t=BP4=33秒， vQ=CQ515=44t3厘米/秒。 1580x=x=3x+2103秒 设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得4，解得803=80点P共运动了3厘米 80=228+24，点P、点Q在AB

13、边上相遇， 80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合 证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF； 当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大值 5 解：证明：如图，连接AC 四边形ABCD为菱形，BAD=120， BAE+EAC=60，FAC+EAC=60， BAE=FAC。 BAD=120，ABF=60。 ABC和ACD为等边三角形。 ACF=60，AC=AB。AB

14、E=AFC。 在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC， ABEACF。BE=CF。 四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下： 由得ABEACF，则SABE=SACF。 S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。 作AHBC于H点，则BH=2， 11S四边形AECF=SDABC=BCAH=BCAB2-BH2=43。 22由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短 故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CE

15、F的面积就会最大 1SCEF=S四边形AECFSAEF=43-232CEF的面积的最大值是3。 (23)()-322=3。 菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。 6 先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。 由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AE

16、F的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。 10、如图，在AOB中，AOB=90，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CDOB交AB于点D，OC=2点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止过点P作PEOA于点E，PFOB于点F，得到矩形PEOF以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MNOB，且MN=QC设运动时间为t 求t=1时FC的长度 求MN=PF时t的值 当QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠部分图形面积S与t

17、的函数关系式 直接写出QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值 考点： 相似形综合题 分析： 根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度； 根据MN=PF，可得关于t的方程6t=2t，解方程即可求解； 分三种情况：求出当1t2时；当2t时；当t3时；求出重叠部分图形面积S与t的函数关系式； 分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值 解答： 解：根据题意，AOB、AEP都是等腰直角三角形 ，OF=EP=t， 当t=1时，FC=1； AP=t，AE=t，PF=OE=6t MN=QC=2t 6t=2t 解得t=2 故当t=2时，MN=PF； 7 当1t2时，S=2t4t+2； 当2t时，S=22t+30t32； 2当t3时，S=2t+6t； QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或 点评： 考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度 8