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1、利用导数解决恒成立问题利用导数求函数最值 基础知识总结和逻辑关系 一、 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的f(x)的定义区间； 2) 求f(x)，令f(x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定f(x)在各个区间内的符号，由f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间内的单调性. 二、 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数f(x)； 2) 求方程f(x)=0的所有实数根； 3) 检验f(x
2、)在方程f(x)=0的根左右的符号，如果是左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值. 三、 求函数最值 1) 求函数f(x)在区间(a,b)上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值. 四利用导数证明不等式 1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于0时，则该函数在该区间上单调递增.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式： 直接构造函数，然后用导数证明该
3、函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增区间，自变量越大，函数值越大，来证明不等式成立. 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的. 2） 利用导数求出函数的最值后，再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. 解题方法总结和题型归类 利用导数研究含参变量函数的恒成立问题 1） 其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式，转化成最值问题。 2） 首先找不等式。一般来说，有
4、以下五类题型： 在某个区间上“单调递增减”：表明f(x)0恒成立； “无极值点”，表明f(x)0恒成立或f(x)0恒成立； “曲线y=f(x)在曲线y=g(x)上方”： 表明f(x)-g(x)0恒成立； “无零点”：表明f(x)0恒成立或f(x)0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a23.设g(x)23，则g(x)xxxx3(12x)， x411，1上单调递减，因此g(x)maxg10，上单调递增，所以g(x)在区间在区间2224，从而a4. 31当xF(x)或a0)例3：已知函数f. 若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+2垂直， 求函数y=f(x)的单调区
5、间； 若对于成立，试求a的取值范围； x(0,+)都有fx2(a-1)(I) 直线y=x+2的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0,+)， 2x2a2a+f(1)=-+=-1，所以a=1. 所以，x2x1212x-2所以f(x)=+lnx-2. f(x)=. xx2因为f(x)=-由f(x)0解得x2；由f(x)0解得0x0x0f(x)2(a-1)成立， 所以f2(a-1)即可.则2a2222+aln-22(a-1). 由alna解得0aA或f(x)A，直接求f(x)2e的最值。 a的取值范围是(0, ) * 2e例4：已知函数f(x)=ln(1+x)-mx 当m=1时，求函数f(x)的单调递
6、减区间； 2求函数f(x)的极值；若函数f(x)在区间0,e-1上恰有两个零点， 求m的取值范围 依题意，函数f(x)的定义域为(-1,+)， 当m=1时，f(x)=ln(1+x)-x， f(x)=1-12分 1+x1-x-10，即0 由f(x)0或x-1，x0 f(x)的单调递减区间为(0,+)4分 f(x)=1-m，(x-1) 1+xm0时，f(x)0恒成立 f(x)在(-1,+)上单调递增，无极值. 6分 m0时，由于1-1-1 m所以f(x)在-1,11-1上单调递增，在-1,+上单调递减， mm从而f(x)极大值=f(1-1)=m-lnm-19分 m由问显然可知， 20,e-1当m0
7、时，f(x)在区间上为增函数， 2在区间0,e-1不可能恰有两个零点10分 当m0时，由问知f(x)极大值=f(1-1)， m又f(0)=0，0为f(x)的一个零点11分 f(e2-1)020,e-1恰有两个零点，只需 若f(x)在120-1e-1m2-m(e2-1)02m113分 即12e-1mF(x)或aA或f(x)A，直接求f(x)的最值。 2m1 e2-1* 例5：已知函数f(x)=lnx-ax+当00) 2x令f/(x)=0 1-a,x2=1 3分 a1当a=时，f(x)0，函数f(x)在(0,+)上单减 4分 211-a1， 当0a时，2a1-a,+)上，有f(x)0，函数f(x)
8、单增 6分 在(1,a11-a13=3，f(x)=lnx-x+-1 当a=时，4a44x得x1=由知，函数f(x)在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数f(x)在(0,2)的最小值为f(1)=-18分 2若对任意x1(0,2)，当x21,2时，f(x)g(x)恒成立， 只需当x1,2时，gmax(x)-1即可 21g(1)-2所以，11分 1g(2)-2代入解得 b11 411,+) 13分 4所以实数b的取值范围是注意如果条件改为“f(x1)g(x2)”恒成立，怎么样解答，还可以移项构造新函数吗？ b的取值范围是* 11,+) 4例6：设l为曲线C：y=(I)求l的方程； (II
9、)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方 lnx在点(1，0)处的切线. x设f(x)=所以f(1)=1 lnx1-lnx，则f(x)= 2xx所以L的方程为y=x-1 令g(x)=x-1-f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于 g(x)0(x0，x1) g(x)满足g(1)=0，且 x2-1+lnx g(x)=1-f(x)=2xlnx0，当0x1时，x2-10，所以g(x)0，故g(x)单调递减； lnx0，当x1时，x2-10，所以g(x)0，故g(x)单调递减 所以g(x)g(1)=0(x0，x1).所以除切点之外，曲线C在直线L的下方 构造函数，转化直接求最值。此时不等式一般形如f(x)A或f(x)0时，函数f(x)在区间1，e上的最小值为-2，求a的取值范围； 若对任意x1,x2(0,+)，x1x2，且f(x1)+2x12x+；: 求证：当x(0，3*
