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1、力学竞赛综合练习含答案力学竞赛练习 一、选择题 1.如图所示，均匀细杆AB质量为M，A端装有转轴，B端连接细线通过滑轮和质量为m的重物C相连，若杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为q 时恰能保持平衡，则杆对轴A有作用力大小下面表达式中不正确的是 A.mg BMg2 sin q A B q C CM22Mm sin qm2 g DMgmg sinq 2如图所示，在倾角为的光滑斜面上A点处，以初速v0与斜面成a角斜抛出一小球，小球落下将与斜面作弹性碰撞求a、q满足什么条件时，小球将逐点返跳回出发点A？( ) Asinacosq=k Bcosasinq=k Ccotacotq=k Dtanatanq=
2、k (k=1,2,3,L) 3.在竖直平面内的一段光滑圆弧轨道上有等高的两点M、N，它们所对圆心角小于10，P点是圆弧的最低点，Q为弧NP上的一点，在QP间搭一光滑斜面，将两小滑块分别同时从Q点和M点由静止释放，则两小滑块的相遇点一定在 P点 斜面PQ上的一点 PM弧上的一点 滑块质量较大的那一侧 4.一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是 A、雨点下落的速度 B、单位体积中的雨点数 C、车行进的速度 D、木板的面积 5.有一只小虫清晨6
3、时起从地面沿树干向上爬，爬到树顶时是下午6时，第二天清晨6时起从树顶沿树干向下爬，爬回地面时是下午四时。若小虫爬行时快时慢，则两天中，相同钟点爬过树干上相同高度的机会是 A一定有一次 B.可能没有 C可能有两次 D.一定没有 6.物体A、B质量相同，在倾角为30o的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，下滑轮通过轻杆固定在斜面底端，现将系统由静止释放，则物体A在下降h距离时的速度大小为 A2 g h B23 g h5 C2gh2 D8 g h5 B 30o A 7.如图所示，在静止的杯中盛水，弹簧下端固定在杯底，上端系一密度小于水的木球当杯自由下落时，弹簧稳定时的长度将( ) A变长 B恢复到原长
4、 C不变 D无法确定 8.如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可以忽略不计筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空两筒以相同的角速度w绕其中心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行)不断地向外射出，两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上如果R、v1和v2都不变，而w取某一合适的值，则( ) A有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与S缝平行的窄条上 B有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上 C有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处
5、和c处与S缝平行的窄条上 D只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒 量为二、填空题 1.一均匀的不可伸长的绳子，其两端悬挂在A、B两点，B点比A点高h在A点，绳子张力为TA绳子的质m，绳长为L则在B点绳子的张力TB = . 2.质量为m的小球挂在长为L、不可伸长的轻线上，静止于自然悬挂状态。沿水平方向朝球打击一下，打击时间t比小球振动周期小得多。之后球沿圆弧运动时它将上升的最大高度为h，则打击时作用在球上的平均冲力可能是 ； ； 。 3.一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度v与它离地面的高度h之间满足关系式v=lv0，其中常数l20cm，v02cm/s。求它上爬20cm所用的时间为 。
6、 l+h4.如图所示，某同学设计了一个测定平抛运动初速度的实验装置，O点是小球抛出点，在O点有一个频闪的点光源，闪光频率为30 Hz，在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，在小球抛出后的运动过程中当光源闪光时，在毛玻璃上有一个小球的投影点，在毛玻璃右边用照相机多次曝光的方法，拍摄小球在毛玻璃上的投影照片。已知图中O点与毛玻璃水平距离L= 1.2m，两个相邻的小球投髟点之间的距离为Dh=5cm，则小球在毛玻璃上的投影点做 运动，小球平抛运动的初速度是 m/s。 5.如图所示，质量分别为M和m的两滑块迭放在光滑水平面上，滑块M倾斜面的倾角为， 不计一切摩擦阻力，当滑块m下滑时，滑块M的加速度大小为
7、。 三、计算题 m M q 1.有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数m=0.3，杆的上o端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角q=30。 若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h1=2L/5(L为杆长），要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？ 若将作用点移到h2=4L/5处时，情况又如何？ 2.学者研究新发现的行星，它是半径R=6400km的球体，整个表面都被海洋覆盖，海水深H=10km，测定出，在海洋中不同深度的地方，自由落体加速度在很大程度上仍然不变。试根据这些数据确定行星上自由落体加速度 3.如图所示，一根长为L的细刚性轻杆的两端分分别别连结小球a和b，
8、它们的质量分别为1ma和mb，杆可绕距a球为 L处的水平定轴O在竖直平面内转动。初始时杆处于竖直位置，4小球b几乎接触桌面，在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面。现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当转过 角时小球b速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物体始终没有分离，不计一切摩擦。 a F O B C B A D 4. 如图所示，水平地面上固定有一半径为R的半球面，其斜上方P点与球心O之间的距离L = 135R，P点距地面的高度H = R，重力加速度为g 。要使某一质点从P
9、点由静止开始沿一24光滑斜直轨道在最短时间内滑到球面上，则此轨道与竖直方向之间的夹角为多大？所需的最短时间t为多长？ P R O L H 5.如图所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道相距为h，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A在下面的轨道上以匀速率v运动，在轨道间的绳子与过道成30角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳子相对静止的小水滴P与绳子分离，设绳子长BO远大于滑轮直径，求:(1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向.(2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间. 6.小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央桌布的一边与桌的AB边重合，如
10、图3-7-8所示已知盘与桌布间的动摩擦因数为 1，盘与桌面间的动摩擦因数为 2现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？ 参考答案 一、选择题 1.D 2.C 3.B 4.BD 5.A 6.A 7.B 8.ABC 二、填空题 1.TA+m2ghmg(3h-L)m5gLmgh 2. 3. 15s 4.匀速直线 tttL4m/s 5.mgcosqsinq M+msin2q三、计算题 1.杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。 杆的受力如图所示，由平衡条件
11、得 F-Tsinq-f=0N-Tcosq-mg=0 F(L-h)-fL=0 另由上式可知，F增大时，f相应也增大，故当f增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f=mN mgLtanq(L-h)tanq/m-h 由上式又可知，当(L-h)tanq/m-h,即当h0=0.66L时对F就没有限制了。 2F 当h1=Lh0,无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。 52.解：如图以R表示此星球的半径，M表示其质量，h表示其表层海洋的深度，r表示海洋内任一点A到星球中心O的距离，R0表示除表层海洋外星球内层的半径。则有解得：Fmas=RrR0，且R0+h=R0，以r水表示水的密度，则此
12、星球表层海洋中水的总质量为44m=pR3-pR03r水4pr水(3R2h-3Rh2+h3)33 3由于Rh，故式可略去其中h的高次项2m=4prRh 水面是近似写为 根据均匀球体表面处重力加速度的公式，可得此星球表层海洋的底面和表面处的重力加速度分别为 G(M-m)GMg=h g表=2底2g=gR0底,即 R 依题述有表 R 2MM-mM-mRmr =M=O222 RR0(R-h) 整理上式可解得 2Rh-h2 A R0 RmM=22h 由于Rh，故近似取2Rh-h2Rh,则式可写为 GMg表=2=2pGr水R0R由和式得此星球表面的重力加速度为 33-11226r=1.010kgm6.671
13、0Nmkg水以G=、R=6.410m代入式，得 g表=2.7ms23如图所示，用vb表示a转过a角时b球速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，则有 由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量现用va表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相同，Oa=13lOb=l4，4，所以得 vbcosa=v 1va=vb3 根据功能原理可知 l1ll13l3l122Fsina=mava-mag-cosa+mbvb+mbg-co
14、sa+mv242442442 将、式代入可得 l11ll13l3l12Fsina=mavb-mag-cosa+mbvb+mbg-cosa+m(vbcosa)2423442442 2解得 vb=9lFsina+(ma-3mb)g(1-cosa)2ma+18mb+18mcos2a4.如图所示，以P为最高点，作一个半径为r的竖直平面内的辅助圆。则 质点在光滑斜直轨道PQ上的加速度为 1mgcos 2rcos = a = = gcos P 2m at2 由以上两式得L r 质点从P点由静止开始沿PQ滑到Q点的时间为 r O 4r 无关，与 r t = 即t与A gR 成正比。 作出以P为圆O B 的最
15、高点，相切于半球面A点的辅助圆，如图所示，则H - rPA为最短时间的斜直轨道。设辅助圆的半径为r，则有 cos = R + r在OPO中，有 L2 = (R + r)2 + r2 - 2(R + r)rcos(180 - ) 1由以上两式得 r = R 2 = 60 1所以 = = 30 22R g5.A、B两物体通过同一轻绳相连，故A、B两物体的运动速度沿绳方向的分速度相同，并且与P点沿绳方向的分速度也相同。 1、如图所示，物体B在上轨道的运动可以看成是沿绳子的运动和垂直绳子的运动的合成。 B沿绳子运动的分速度vB=v，因而垂直于绳子的分速度vB=vtan。 绳子中点小水滴P的速度也可分解
16、成沿着绳子的分速度vB vB 和垂直绳子的分速度，即vP=v，vP=vtan。其中角是B vP与BO的夹角。 t = 小水滴P垂直绳子的分速度可看作绳子绕O点的转动，vP 因而vP= vB/2= vtan/2。由此可得，O 13 tana=tanq= 26。 故vP与水平方向的夹角为30子的速度大小为 -arctan36，水滴离开绳vP vB vP P A v h vP=vP/+vP22vtanq2tan2q13=v+=v1+=v2412 2由30可知，水滴P做斜向下抛运动，考虑P在竖直方向的分运动为初速度加速度为g的匀加速直线运动，则有 h111v=vt+gt2vPy0=vsinq-vPcosq=v(sinq-tanqcosq)=224，因而24。 1t=(v2+16gh-v)4g由此方程可解出t，得。 6.a 1222 1g vPy0，
