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1、力矩和角动量定理 定义1 向量的向量积 设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为，则存在向量c，满足 向量c的模|c| = |a|b|sin； 向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定。 这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积，记为 c = a b 注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a b与向量a和b构成的平面垂直，即a b与a和b都垂直。 向量a和b的向量积a b满足以下运算性质： 反交换律：a b = ? b a； 图1.1 向量的向量积 分配律：(a + b) c
2、= a c + b c； 数乘结合律：(a) b = a (b) = (a b)。 根据向量积的定义和运算性质，容易得到： a a = 0； 设a和b为两个非零向量，则有a b = 0 ? ab。 设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量，则有 i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0； i i = j j = k k = 0； i j = k，j k = i，k i = j， 图1.2 基向量之间的关系 j i = ? k，k j = ? i，i k = ? j。 向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别
3、为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则 a b = (axi + ayj + azk) (bxi + byj + bzk) = (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k = (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx) 向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算： a b =i ?j +k = (aybz ? azby)i ? (axbz ? azbx)j + (axby ? aybx)k 计算时可
4、按第一行展开，先去掉三阶行列式中基向量所在的行和列的元素，把余下的二阶行列式的元素按对角线的乘积相减，然后把结果写成向量形式。 若三个向量a、b、c分别为a = (ax，ay，az)，b = (bx，by，bz)，c = (cx，cy，cz)，则它们的混合积可以按下式进行计算： (a b) ? c =cx ?cy +cz 计算方法和向量积相似，把三阶行列式化为二阶行列式，只需把基向量i、j、k换成向量c的分量cx、cy、cz即可。 定义2 力矩 在确定的参考系中，设有力F和参考点O，力的作用点A相对于参考点O的位移向量为r，则力F对参考点O的力矩M定义为 M = r F 根据上述定义，力矩M是
5、力F的作用点相对于参考点的位移r与力F的向量积，因此力矩也是一个向量。 上述定义是力矩的一般定义，中学力学中对一点的力矩M定义为力F的大小F与位移r垂直于力F的分量d的乘积，即 M = Fd 图2.1 对参考点的力矩 这个力矩实际上是在一般定义中的力矩的一个分量。 定义3 角动量 在惯性参考系中，设质量为m的质点A的运动速度为v，动量为p = mv，质点A相对于参考点O的位移向量为r，则质点A相对于参考点O的动量矩L定义质点A的动量p对参考点O的矩，即 L = r p 动量矩又称为角动量，这是比动量矩更通的名称，角动量也经常用字母J表示。根据上述定义，角动量L是质点相对于参考点的位移r与质点的
6、动量p的向量积，因此角动量是向量。 按照定义，角动量与参考点的位置有关，选取不同位置的参考点，角动量的大小和方向也将不同。 如果有外力作用于质点，质点运动速度会发生变化，动量 图2.2 对参考点的力矩 也会发生变化，于是质点相对于参考点的角动量也会改变，即 角动量定理 在惯性参考系中，质点相对于参考点的角动量L对于时间t的变化率等于作用于质点上的外力F相对于参考点的力矩M，即 = M 证明：按照角动量的定义L = r p和向量积微分法则d(a b) = da b + a db，可以得到角动量L对时间t的变化率为 = (r p) = (r p) = p + r 按照速度的定义和牛顿第二定律 v = ，F = 因此以上两式分别为质点的运动速度v和作用于质点上的外力F，于是 = v p + r F 因为p = mv为质点的动量，根据向量叉积的性质v v = 0，可得 = v p + r F = v mv + r F = r F 按照力矩的定义M = r F，即得 = M 质点的角动量定理可以写成微分形式 dL = Mdt 上式对时间t从t1到t2积分，可得 = L2 ? L1 = 即 L = H 式中L = L2 ? L1，H = 称为外力的冲量矩，上式表明，外力对质点的力矩的时间积累等于质点角动量的增量，这就是质点角动量定理的积分形式。
