《北大高等数学第5章习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北大高等数学第5章习题解答.docx（38页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、北大高等数学第5章习题解答习题5.1 1.设ABCD为一平行四边形,AB=a,AD=b.试用a,b表示AC,DB,MA(M为平行四边形对角线的交点). 解AC=a+b,DB=a-b,MA=-AM=-112AC=-2(a+b).2.设M为线段AB的中点,O为空间中的任意一点,证明OM=12(OA+OB).证OM=OA+AM=OA+12AB=OA+12(OB-OA) =12(OA+OB).3.设M为三角形ABC的重心,O为空间中任意一点,证明OM=13(OA+OB+OC).证OM=OA+AM=OA+2213AD=OA+32(AB+AC)=OA+13(AB+AC), OM=OB+13(BA+BC),
2、OM=OC+13(CA+CB).3OM=OA+OB+OC,OM=13(OA+OB+OC).4.设平行四边形ABCD的对角线交点为M,O为空间中的任意一点,证明OM=14(OA+OB+OC+OD).证OM=OA+AM=OA+12(AB+AD),OM=OB+11 2(BA+AD),OM=OC+2(BA+DA),OM=OD+12(AB+DA).4OM=OA+OB+OC+OD,OM=14(OA+OB+OC+OD).1 5.对于任意三个向量a,b与c,判断下列各式是否成立?(1)(ab)c=(bc)a;(2)(ab)2=a2b2;(3)a(bc)=(ca)b.解(1)不成立.例如:a=b=i,c=j.(
3、ab)c=j,(bc)a=0.(2)不成立.例如:a=i,b=j,(ab)2=0,a2b2=1. (3)成立,都是a,b与c组成的平行六面体的有向体积.6.利用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边长度之半.证 DE=DA+AE=12BA+12AC=12(BA+AC)=12BC.7.利用向量证明:(1)菱形的对角线互相垂直,且平分顶角;(2)勾股弦定理.证(1)ACBD=(AB+BC)(BC+CD)=(AB+BC)(BC-CD)=|BC|2-|CD|2=0.cosa=ABACAB(AB+AD)ABAB+ABADa2+ABAD|AB|AC|AB|AC|=|AB|AC|=|a|A
4、C|,cosb=AD(AB+AD)AD|AB|AC|=AB+ADAD|AB|AC|=a2+ABAD|a|AC|=cosa.与b都是锐角,故a=b.(2)|AC|2=ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|2+|BC|2+2ABBC=|AB|2+|BC|2.8.证明恒等式(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2.证(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2cos2a+|a|2|b|2sin2a=|a|2|b|2(cos2a+sin2a)=|a|2|b|2. 9.试用向量AB与AC表示三角形ABC的面积.解DABC的面积=112ABDC的面积=2|ABAC|.给定向量a,记aa为a2,即a2
5、=aa.现设a,b为任意向量,证明 :(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).证(a+b)2+(a-b)2=(a+b)(a+b)+(a-b)(a-b) =aa+bb+2ab+aa+bb-2ab=2(a2+b2).2 a10. 11.对于任意向量a,b,证明:(ab)2a2b2.问:等号成立的充分必要条件是什么?证(ab)2=|ab|2=(|a|b|sina)2=|a|2|b|2sin2a|a|2|b|2=a2b2.等号成立的充分必要条件是a,b正交.习题5.2 3 1.写出点(x,y,z)分别到x轴,y轴,z轴,Oxy平面,Oyz平面以及原点的距离.解dx=y2+z2,dy=x2+z2,
6、dz=x2+y2,dxy=|z|,dyz=|x|,dO=x2+y2+z2.2.已知三点A=(-1,2,1),B=(3,0,1),C=(2,1,2),求AB,BA,AC,BC的坐标与模.解AB=(3,0,1)-(-1,2,1)=(4,-2,0),|AB|=20=25,|BA=-AB=-(4,-2,0)=(-4,2,0)=-25,AC=(2,1,2)-(-1,2,1)=(3,-1,1),|AC|=11,BC=(2,1,2)-(3,0,1)-=(-1,1,1),|BC|=3.3.a=(3,-2,2),b=(1,3,2),c=(8,6,-2),13a-2b+c=(9,-6,6)+(-2,-6,-4)+
7、(4,3,-1)=(11,-9,1).24.设a=(2,5,1),b=(1,-2,7),分别求出沿a和b方向的单位向量,并求常数k,使ka+b与xy平面平行.11解a=(2,5,1),b=(1,-2,7).3036ka+b=(2k,5k,k)+(1,-2,7)=(2k+1,5k,-2,k+7),k+7=0,k=-7.5.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2),求A,B连线中点C的坐标.111解OC=(OA+OB)=(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).2226.设a=(1,-2,3),b=(5,2,-1),求(1)2a3
8、b (2)ai (3)cos.解(1)2a3b =6ab =6(-2)=-12.(2)ai=1 .ab-21(3)cos=-,|a|b|14301057.设|a|=1,|b|=3,|c|=2,|a+b+c|=17+63且ac=p/3,求=?解17+63=|a+b+c|2=(a+b+c)(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ac)=1=1+9+4+2(3+bc),2bc333pbc=33,cos=.=.|b|c|3226 4 8.设|a|=2,|b|=6,试求常数k,使a+kba-kb.解(a+kb)(a-kb)=|a|2-k2|b|2=4-36k2=0,k=1/3.9.
9、a=(1,-2,1),b=(1,-1,3),c=(2,5,-3)(1)ab (2)cj (3)(ab)c (4)(ab)c (5)a(bc).ijk解(1)ab=1-21=(-5,-2,1),1-13ijk(2)cj=25-3=(3,0,2).0101ijk1-2(3)(ab)c=1-13=-23.(4)(ab)c =-5-21=(1,-13,-21).25-325-3ij(5)bc=1-125ki3=(-12,9,7),a(bc)=1-3-12jk-21=(-23,-19,-15).9710.在平行四边形ABCD中,AB=(2,1,0)AD=(0,-1,2),求两对角线的夹角.解AC=AB+
10、AD=(2,1,0)+(0,-1,2)=(2,0,2),BD=AD-AB=(0,-1,2)-(2,1,0)=(-2,-2,2).cos=ACBD0p=0,=.2|AC|BD|AC|BD|解二|AB|=|AD|=5,平行四边形ABCD为菱形,故两对角线的夹角=p2.11.已知三点A(3,4,1),B(2,3,0),C(3,5,1),求三角形ABC的面积.ijk解AB=(-1,-1,-1)=-(1,1,1),AC=(0,1,0),ABAC=111=(-1,0,1), 0101三角形ABC的面积=2.2 5 12.证明向量a=(3,4,5),b=(1,2,2)和c=(9,14,16)是共面的.345
11、证因为(a,b,c)=122=0,故a,b和c是共面的.9141613.已知|a|=1,|b|=5,ab=-3,求|ab|.ab-344解cos=,sin=,|ab|=|a|b|sin=15=4.|a|b|555 6 14.设向量a的方向余弦cosa,cosb,cosg,在下列各情况下,指出a的方向特征.(1)cosa=0,cosb0,cosg0;(2)cosa=cosb=0,cosg0;(3)cosa=cosb=cosg.解(1)a与x轴垂直.(2)a是沿z轴的的向量.(3)a与三个轴的夹角相等,都是arccos13或p-arccos13.15.设|a|=2,a的三个方向角满足a=b=12g
12、,求a的坐标.解2cos2a+cos22a=1,2cos2a+(2cos2a-1)2=1.cos2a=x,2x+(2x-1)2=1,4x2-2x+1=1,2x(2x-1)=0,x=0,x=12.cos2a=0,a=p2,a=(0,0,-2).cos2a=12,cosa=12,a=p3p4,4.a=(1,1,0).16.设a,b为两非零向量,且(7a-5b)(a+3b),(a-4b)(7a-2b),求cos.解(7a-5b)(a+3b)=0,7|a|2-15|b|2+16|a|b|cos=0,(a-4b)(7a-2b)=0,7|a|2+8|b|2-30|a|b|cos=0.-15|b|2|b|2
13、+16cos=-7,|a|a|28|b|a|2-30|b|a|cos=-7.-716|b|2-7|a|2=-30-1516=1,|b|a|=18-30-15-7cos=8-7-1516=12.8-30习题5.3 7 1.指出下列平面位置的特点:(1)5x-3z+1=0(2)x+2y-7z=0(3)y+5=0(4)2y-9z=0(5)x-y-5=0(6)x=0.解(1)平行于y轴.(2)过原点.(3)平行于Oxz平面.(4)过x轴.(5)平行于z轴.(6)Oyz平面.2.求下列各平面的方程:(1)平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于Oxz平面且通过点(5,2,-8)
14、;(3)垂直于平面x-4y+5z=1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);(4)垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).ij解(1)a=(0,1,0),b=(2,7,-3),n=01-3(x-1)-2(z-1)=0,3x+2z-5=0.(2)y=2.ijk(3)a=(1,-4,5),b=(-2,7,3),n=1-45=(-47,-13,-1).-27347x+13y+1=0.ijk(4)a=(1,0,0),b=(-7,5,5),n=100=(0,-5,5)=5(0,-1,1).-755-(y+4)+(z-3)=0,y-z+7=0.k0=(-3,0,-2).27-33.求
15、通过点A(2,4,8),B(-3,1,5)及C(6,-2,7)的平面方程.解a=(-5,-3,-3),b=(4,-6,-1).i4jkn=-5-3-3=(-15,-17,42),-6-1-15(x-2)-17(y-4)+42(z-8)=0,15x+17y-42z+238=0.4.设一平面在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5,-7,4),求此平面 的方程.xyz5-74解 +=1,+=1,a=2,x+y+z-2=0.aaaaaa5.已知两点A(2,-1,-2)及B(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解n=(6,8,7).6(x-8)+8(y-7)+7(z-5)=0,6x+8y
16、+7z-139=0. 8 6.求过点(2,0,-3)且与2x-2y+4z+7=0,3x+y-2z+5=0垂直的平面方程.ijk解n=2-24=(0,16,8)=8(0,2,1).2y+(z+3)=0,y+z+3=0.31-27.求通过x轴且与平面9x-4y-2z+3=0垂直的平面方程.解By+Cz=0,-4B-2C=0,取B=1,C=-2,y-2z=0.8.求通过直线lx+2z-4=0x-y-4=01:3y-z+8=0且与直线l2:平行的平面方程y-z-6=0.ijkijk解a=102=(-6,1,3),b=1-10=(1,1,1),03-101-1ijkn=-613=(-2,9,-7).用z
17、0=0代入l1的方程,得x0=4,y0=-8/3.111-2(x-4)+9(y+8/3)-7(z)=0,-2x+9y-7z+32=0.x9.求直线lx+3y+1z-2=3t+81:3=2=4与直线l2:y=t+1的交点坐标,z=2t+6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标:3t+8+3t+1+12t+6-23=2=4,t+113=t2+1=t2+1,t=-163,x=-8,y1314131400=-3,z0=-3,交点(-8,-3,-3).ijkn=324=(0,6,-3)=3(0,2,-1).2(y+1)-(z-2)=0,2y-z+4=0.31210.求通过两直线l-1y+1z+
18、1x+2y1:x2=-1=1和l:-4=-22=z2-2的平面方程.ijk解 两直线平行.平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).n=2-11=(-4,-5,3). -331-4(x-1)-5(y+1)+3(z+1)=0,-4x-5y+3z+2=0.9 11.证明两直线lx-1yz+1x+2y-1z-1:-1=2=1和l22:0=1=-2是异面直线.证首先,两直线的方向向量(-1,2,1) 和 (0,1,-2)不平行.x=-2l-2-11+t-2t+32y=1+t=,t=5,t=z=2-2t-1210,矛盾故两直线无公共点.两直线不平行,又无交点,故是异面直线.12.将下列直线方程化为标
19、准方程及参数方程:(1)2x+y-z+1=0x-3z+5=03x-y+2z-8=0;(2)y-2z+8=0.ijk解(1)n=21-1=(1,-7,-5).3-12(1)中令xy-z+1=00=0,解之得-y+2z-8=0;y0=6,z0=7.标准方程xy-6z-71=-7=-5.x=t参数方程:y=6-7t,-t+.z=7-5tijk(2)(1)n=10-3=(3,2,1).01-2(2)中令z0=0,直接得x0=-5,y0=-8.标准方程x+5y+3=82=z1.x=-5+3参数方程:ty=-8+2t,-t+.z=t 10 13.求通过点(3,2,-5)及x轴的平面与平面3x-y-7z+9
20、=0的交线方程.ijk解地第一个平面的法向量n=100=(0,5,2),32-5平面方程5y+2z=0.直线方程5y+2z=03x-y-7z+9=0.ijk直线的方向向量a=052=(-33,6,-15)=3(-11,2,-5).3-1-7z5y=00=0,3x-y+9=0.y0=0,x0=-3.直线方程:x+3yz-11=2=-5.14.当D为何值时,直线3x-y+2z-6=0x+4y-z+D=0与Oz轴相交?解直线3x-y+2z-6=0与x+4y-z+D=0Oz轴相交存在(0,0,z0)在此直线上,2z0-6=0-zD0+D=0=z0=3.15.试求通过直线lx-2z-4=0x-y-4=0
21、1:3y-z+8=0并与直线l2:平行的平面方程z-y+6=0.ijk解l1的方向向量a=10-2=(6,1,3).03-1ijkl2的方向向量b=1-10=(-1,-1,-1)=-(1,1,1).0-11ijk平面的法向量n=613=(-2,-3,5).111在的方程中令z0得xy80=0=4,0=-3.所求平面方程:-2(x-4)-3(y+83)+5z=0,即2x+3y-5z=0.11 16.求点(1,2,3)到直线xy-4z-31=-3=-2的距离.解过点(1,2,3)垂直于直线的平面:(x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0.直线参数方程:x=ty=4-3t.z=3-2t 代入平面方
22、程得对应交点的参数:(t-1)-3(4-3t-2)-2(3-2t-3)=0,t10=2,直线与平面交点为(152,2,2).所求距离d=(1-12)2+(2-562)2+(3-2)2=2.17.求点(2,1,3)到平面2x-2y+z-3=0的距离与投影.解过点(2,1,3)垂直于平面2x-2y+z-3=0的直线方程的参数方程:x=2+2ty=1-2t,-t+.代入平面方程z=3+t2(2+2t)-2(1-2t)+(3+t)-3=0.t20=-9.x149,y13250=0=9,z0=9.点(2,1,3)在平面2x-2y+z-3=0上的投影为1413259,9,9.点(2,1,3)在平面2x-2
23、y+z-3=0的距离为(2-142139)+(1-9)2+(3-2529)2=3. 12 18.求两平行直线x-11=y+1-2=z3与x1=y+1-2=z-13的距离.解所求的就是点(1,-1,0)到直线x1=y+1-2=z-13的距离.作法与16题雷同.过点(1,-1,0)垂直于直线xy+1z-11=-2=3的平面: (x-1)-2(y+1)+3z=0.直线的参数方程x=ty=-1-2t,代入平面方程z=1+3t(t-1)-2(-2t)+3(1+3t)=0,t=-107.直线与平面交点(-17,-547,7).所求距离d=(1+1)2+(-1+5)24377+(0-7)2=27.19.求过
24、点A(2,1,3)并与直线lx+1y-1z1:3=2=-1垂直且相交的直线方程.解过点A垂直于直线l1的平面方程3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0.x=-1+3t直线l1的参数方程y=1+2tz=-t代入平面方程求交点对应的参数他t:3(-3+3t)+2(2t)-(-t-3)=0,t30=7.交点B(21337,7,-7).连结点A, B的直线的方向向量 AB=(27-2,137-1,-31262467-3)=(-7,7,-7)=-7(2,-1,4).所求直线方程:x-22=y-1z-3-1=4.13 20.求两平行平面3x+6y-2z-7=0与3x+6y-2z+14=0之间的距离.7
25、解点A(0,0,-)在第一张平面上.2x=3t过A垂直于第二张平面的直线的参数方程:y=6tz=-7/2-2t 求直线与第二张平面的交点:3(3t)+6(6t)-2(-7/2-2t)+14=0,391837t0=-,(-,-,-).777149186所求距离=2+2+2=3.777习题5.4 1.求椭球面2x2+3y2+4z2-4x-6y+16z+16=0的中心的坐标及三个半轴之长度. 解2x2+3y2+4z2-4x-6y+16z+16=0, x2+3y2+4z2-4x-6y+16z+172=2(x-1)2-2+3(y-1)2-3+4(z+2)2-16+16=2(x-1)2+3(y-1)2+4
26、(z+2)2-5=0.( x-1)25 22+(y-1)2532+(z+2)2522=1, 中心坐标:(1,1,-2),半轴: 555,.2322.说出下列曲面的名称,并画出略图:222(1)8x+11y+24z=1;椭球面. (2)4x2-9y2-14z2=-25;单叶双曲面. (3)2x2+9y2-16z2=-9;双叶双曲面.(4)x2-y2=2x;双曲柱面.(5)2y+z=x;椭圆抛物面.22 (6)z=xy.双曲抛物面. 14 3.求下列曲面的参数方程:(1)(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2=R2;2y2z2x2y2+9+4=1;(3)4+9-z2(2)x16=1; x2y2(
27、4)z=z2y2a2-b2;(5)z=a2+b2.x=1+Rsinjcos 解(1)qy=-1+Rsinjsinq0jp,0q2p;z=3+Rcosj x= (2)sinjcosqy=3sinjsinq0jp,0q2p;z=2cosj15 x=rcosqy=rsinq0r+,0q2pz=r2cosqx=arcosq(5)y=brsinq0r0)与平面z=x+y的交线P0=(R,0,R).x-1y-1z-1=,123法平面方程:(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0,x+2y+3z-6=0.x-2y-2z-4(2)x=x,y=x,z=x2,x=1,y=1,z=2x,t=(1,1,4).切线方
28、程:=,114法平面方程:(x-2)+(y-2)+4(z-4)=0,x+y+4z-20=0.解1x=1,y=2t,z=3t2,t=(1,2,3),切线方程:ijk(3)n1=(2x,2y,0)=(2R,0,0),n1=(1,1,-1),a=2R00=(0,2R,2R)=2R(0,1,1),11-1切线方程:x-Ryz-R=,法平面方程:y+z-R=0.01116 x=Rcost2.求出螺旋线y=Rsint(R0,b0,0t2p)在任意一z=bt点处的切线的方向余弦，并证明切线与z轴之夹角为常数.解(x,y,z)=(-Rsint,Rcost,b),t=(cosa,cosb,cosg)=cos=b
29、R+b221R+b22(-Rsint,Rcost,b),=常数.0p,=常数.3.设a=a(t)与b=b(t)是两个可导的向量函数,atb.证明da(t)b(t)=a(t)b(t)+a(t)b(t).dt证设a(t)=(a1(t),a2(t),a3(t),b(t)=(b1(t),b2(t),b3(t),a(t)b(t)=a1(t)b1(t)+a2(t)b2(t)+a3(t)b3(t),dda(t)b(t)=a1(t)b1(t)+a2(t)b2(t)+a3(t)b3(t)dtdt(t)b1(t)+a1(t)b1(t)+a2(t)b2(t)+a2(t)b2(t)+a3(t)b3(t)+a3(t)b
30、3(t)=a1(t)b1(t)+a2(t)b2(t)+a3(t)b3(t)+a1(t)b1(t)+a2(t)b2(t)+a3(t)b3(t)=a1=a(t)b(t)+a(t)b(t).4.设r=r(t)(atb)是一条光滑曲线,切|r(t)|=C(常数).证明r(t)与切线垂直,即r(t)r(t)=0. d22d证r(t)r(t)=C,r(t)r(t)=C,r(t)r(t)+r(t)r(t)=0,2r(t)r(t)=0,dtdtr(t)r(t)=0.第五章总练习题 17 1.设a,b 为两个非零向量,指出下列等式成立的充分必要条件:(1)|a+b|=|a-b|;(2)|a+b|=|a|-|b|
31、;(3)a+b与a-b共线.解(1)|a+b|=|a-b|a+b|2=|a-b|2|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2+2abab=0a,b正交.(2)|a+b|=|a|-|b|a+b|2=(|a|-|b|)2|a|2+|b|2+2ab|a|2+|b|2-2|a|b|ab=|a|b|a|b|cos=-|a|b|cos=-1a,b共线且方向相反.(3)a+b与a-b共线(a+b)(a-b)=0ba-ab=0ab=0a,b共线.2.设a,b,c为非零向量,判断下列等式是否成立:(1)(ab)c=a(bc);(2)(ab)2=a2b2;(3)a(bc)=(ab)c.解(1)不成立.例如:(
32、ii)j=ji(ij)=0.(2)不成立.例如:(ij)2=0i2j2=1.(3)成立.a(bc)和(ab)c都是a,b,c的有向体积,且定向相同.3.设a,b为非零向量,且7a-5b与a+3b正交,与a-4b与7a-2b正交,求a2-b2.解(7a-5b)(a+3b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0.227a-15b+16ab=0 (1)227a+8b-30ab=0 (2)(1)15+(2)8161(a2-b2)=0,a2-b2=0.4.利用向量运算,证明下列几何命题:射影定理.考虑直角三角形ABC,其中A为直角,AD是斜边上的高,则AD=BDCD,AB=BDBC,AC=CDCB.证AB
33、=AD+DB,AC=AD+DC,0=ABAC=(AD+DB)(AD+DC)=AD+ADDC+DBAD+DBDC=AD+DBDC,AD=-DBDC=BDDC=BDDC(BD,DC同向).AB=AD+BD=BDCD+BD=BD(CD+BD)=BDBC).AC=AD+CD=BDCD+CD=CD(BD+CD)=CDBC.222222222222225.已知三点A,B,C的坐标分别为(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1).若ACDBD是一平行四边形，求点D的坐标.解A=(1,0,0),B=(1,1,0),C=(1,1,1).AC=(0,1,1),AB=(0,1,0),AD=AB+AC=(0,2,
34、1),OD=OA+AD=(1,0,0)+(0,2,1)=(1,2,1).点D的坐标(1,2,1). 18 P06.设a,b为非零向量,证明(ab)2=a2b2-(ab)2.证(ab)2=|a|2|b|2sin2=|a|2|b|2(1-cos2)=|a|2|b|2-|a|2|b|2cos2=a2b2-(ab)2.7.设有两直线L1:平面方程.ij解n= -120k1=(-5,-2,-1),所求平面过点A=(-1/2,1/2,1/2),x-1yz+1x+2y-1z-2=,L2:=,求平行于L1,L2且与它们等距的-12101-21-2所求平面:-5(x+1/2)-2(y-1/2)-(z-1/2)=
35、0,5x+2y+z+1=0.8.设直线L通过点P0且其方向向量为v,证明L外一点P1到L的距离d可表为d=证平行四边形P0P1AB的面积=d|v|=|P0P1v|.|P0P1v|.|v|9.设两直线L1,L2分别通过点PP12,且它们的方向向量为v1,v2.证明L1与L2共面的充分必要条件为PP12(v1v2)=0.证L1与L2共面PP12,v1,v2共面PP12(v1v2)=0.10.设两直线L1,L2分别通过点P,1P2,且它们的方向向量为v1,v2.L1与L2之间的距离定义为d=min|Q1Q2|证明:(1)当L1与L2平行时,它们之间的距离可表示为d=Q1L1Q2LPP12v1|v1|
36、(2)当L1与L2为异面直线时,它们之间的距离可表示为d=|PP12(v1v2)|.|v1v2|证(1)当L1与L2平行时,它们之间的距离为L1上任意一点到L2的距离,由第8题,d=(2)PP12v1.|v1|PP12(v1v2)=PP(vv)1212是PP12在L1与L2的公垂线方向的单位向量上的投影,|v1v2|PP12(v1v2)|是异面直线L1与L2之间的距离.|v1v2|故其长度|PP12(v1v2)|= 19 Ax+B1y+C1z+D1=011.设直线L的方程为L:1A2x+B2y+C2z+D2=0证明:(1)对于任意两个不全为零的常数l1,l2,方程l1(A1x+B1y+C1z+
37、D1)+l2(A2x+B2y+C2z+D2)=0表示一个通过直线L的平面;(2)任意给定一个通过直线L的平面p,必存在两个不全为零的实数l1,l2,使平面p的方程为l1(A1x+B1y+C1z+D1)+l2(A2x+B2y+C2z+D2)=0.证(1)向量(A1,B1,C1)与(A2,B2,C2)不共线,故对于两个不全为零的常数l1,l2,l1(A1x+B1y+C1z+D1)+l2(A2x+B2y+C2z+D2)=0的主系数l1(A1,B1,C1)+l2(A2,B2,C2)(0,0,0),是一个平面的方程,并且 L上点的坐标 Ax+B1y+C1z+D1=0(x,y,z)满足1,故满足A2x+B
38、2y+C2z+D2=0l1(A1x+B1y+C1z+D1)+l2(A2x+B2y+C2z+D2)=0.(2)设平面p通过直线L,其方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz+D=0.(x0,y0,z0)在L上.三个向量(A,B,C) (A1,B1,C1)与(A2,B2,C2)均垂直于L的方向向量,故共面,又(A1,B1,C1)与(A2,B2,C2)都是非零向量,故存在两个不全为零的常数l1,l2,使得(A,B,C)=l1(A1,B1,C1)+l2(A2,B2,C2).D=-Ax0-By0-Cz0=-(l1A1+l2A2)x0-(l1B1+l2B2)y0-(l1C1+
39、l2C2)z0=-l1(A1x0+B1y0+C1z0)-l2(A2x0+B2y0+C2z0)=l1D1+l2D2.故p表示为l1(A1x+B1y+C1z+D1)+l2(A2x+B2y+C2z+D2)=0.x-2z-4=012.试求通过直线L1:且与直线L2:x-1=y+1=z-3平行的平面方程.3y-z+8=0解根据11题的结论,所求平面方程有形式l1(x-2z-4)+l2(3y-z+8)=0,l1x+3l2y+(-2l1-l2)z-4l1+8l2=0. 由于平面与L2平行,(l1,3l2,-2l1-l2)(1,1,1)=0,l1+3l2-2l1-l2=0,-l1+2l2=0.令l1=2,l2
40、=1,得所求平面方程2x+3y-5z=0.y2z213.已知曲面S的方程为S:x+=1,平面p的方程为p:2x+y+2z+6=0.42(1)求曲面S的平行于p的切平面方程;2(2)在曲面S上求到平面p距离为最短及最长的点,并求最短及最长的距离.yy解 (1)S的法向量(2x,z).4x+2z=0.22y2x(X-x)+(Y-y)+z(Z-z)=0220 13.已知曲面S的方程为S:x2+y24+z22=1,平面p的方程为p:2x+y+2z+6=0.(1)求曲面S的平行于p的切平面方程;(2)在曲面S上求到平面p距离为最短及最长的点,并求最短及最长的距离.解 (1)S上的点记为(x,y,z).S
41、的法向量(2x,y2,z).切平面与p平行,则法向量对应坐标成比例：2x2=y/2z1=2.z=2x,y=z.与曲面方程联立:x2+x2+2x2=1,x=12,y=1,z=1.切平面方程：2x(X-x)+y2(Y-y)+z(Z-z)=0，利用曲面方程得2xX+y2Y+zZ=2.X12YZ=2.平面p过点A=(-3,0,0).P1A=点P1=(12,1,1),P1A=(-72,-1,-1),(-7,-1,-PP1An1)(2,1,2)1到平面p的距离d1=|n|=23=103.点P152=(-2,-1,-1),P2A=(-2,1,1),(-5,1,1)(2,1,2)PdP2An222到平面p的距
42、离2=|n|=3=3.在曲面S上到平面p距离为最短及最长的点分别是(-12,-1,-1)和(12,1,1),并求最短及最长的距离分别是23和103.21 xy-1z14.直线=绕z轴旋转一周,求所得 101旋转曲面的方程.x=z解直线参数方程y=1-z+. z=z xy-1z直线=绕z轴旋转,对于固定的z,101旋转曲面上的点组成一个圆,其半径为1+z,2x=1+z2cosq故旋转曲面的方程y=1+z2sinq-z0),15.求双曲线b2c2绕z轴x=0 旋转一周所得曲面的方程. x2+y2解b2z2-2=1.c222x+y+z=1 16.求曲线2在Oxy z=2y平面上的投影曲线的方程.解x2+y2+2y=1,x2+(y+1)2=2. 22
