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1、北科高数上册第二章答案习题 2-3(A) 1、 填空题。 y=sinx+sinxsec2x；y=secxlnx-secxcscxlnx+y=2e2x+2xln2；y=-21cscx； xlnx+1x； y=-2222xlnxa-x1uvv3u3y=secxcscx；d=du+dv； 33222u+v(u2+v2)2(u2+v2)2-2；etankx13+122ktank-1xsec2x,； p+22843pb4ac-b2,)；(-2x-y-2=0,2x-y+2=0； 2542a4a9y+x-6=0,y+x+2=0；0；4xe；e2t(1+2t)； -cosx；-22x1-x2e；arcsinx
2、；arcsin2x；arctanx； 21xx-11arctanlnlnxlntan3x； a；ax3xln(1+e)；ln(1+f(x)。 2、求函数的导数与微分 3-5x4b1-21-113-2；y=-20x-28x+2x；y=y=x+x2-x2； 322ax-6-5-2y=2abcx+-； a+ba+b(a+b)x24x2+4x(1-x)； 223(x-1)2xxy=-y=2xlnx+x；y=15x-2ln2+3e；y=-1； x(1+x)2y=abxb-1； (1+bxa)+abxa-1(1+axb)=abxb-1+xa-1+(a+b)xa+b-1131-2-3xx-(1-x)x5x3
3、+12=-y=； x2xx2y=2x(cosx+2x)-x2sinx+1xx；y=3sin(4-3x)； 2y=-6xe-3x；y=2xsec2(x2)；y=x(1-x)23； 11-2xxxxy=x3sinx+3xcosx+ae+aelna；y=log2x+； ln23y=cos2x+2sec2x+secxtanx；y=2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx； y=cosx(1+cosx)+sinx(1+sinx)cosx+sinx+1； =(1+cosx)2(1+cosx)21-1xy=； (1+x2)22x=2221+x1+x116ln2(2x+1)2=y=3ln(2x+1)
4、； 2x+12x+12y=1132ln(ln3x)2ln(ln3x)=； 22ln(ln3x)ln3x3xxln(ln3x)ln3xy=n(sinmx)n-1cosmxm(cosnx)-m+(sinmx)n(-m)(cosnx)-m-1(-sinnx)n =nm(sinmx)n-1(cosnx)-m-1cosmxcosnx+sinmxsinnx (cosnx)-m-1cos(m-n)x； =nm(sinmx)n-1y=secx；y=cscx；y=y=cscx；y=11(1+)； 2xlnx1； xlnxxxx1xx1+(sin)-2=-2(cos)-3(-sin)-2(sin)-3(cos)
5、aaaaaaa2x-3xx-3x =(cos)(sin)-(sin)(cos) aaaaa2x2xx2x =(sec)tan-(csc)cot； aaaaay=(cos)-2xay=1a2+x21；y=10xtan2xln10(tan2x+2xsec22x)； y=1-x+1-x22； 11-111y=(x+x+x)21+(x+x)2(1+) 22x21-11 =1+(x+x)2(1+)； 22x2x+x+x1y=sin(2x2+1)+x4xcos(2x2+1)； y=ablnabxlnb+abxaxb-1+bxlnbaxa-1； a111+x2+111(1+x2+1)222y=arctan1
6、+x+ln =arctan1+x+ln22244x1+x-12(1+x2+1)2先对ln求导： 2xx32(1+x2+1)2x241+xln=(-3+222x2xx4(1+x+1)-2x1+x2) 4x3-2x-2x3=(-3+2)2242x(1+x+1)x1+x =-x2x2(1+x+1)2x1+x2222(1+x2+1)2x1+x32=-则 11x121； y=-=-2223222+x4x1+x1+x(2x+x)1+xy=-e1-x1+x1+x11。 +2221-x(1+x)x+axx11；y=； 221+x2xxx-13、利用一阶微分形式不变性求函数导数。 y=；y=(x2+a2)-(x
7、2+a2)2y=21xarccosx；y=21-x2； y=+221-x1-x(1-x2)1-x2earctanxy=； 2x(1+x)原式变形为 siny=2sinx+13=2- 两边对x求导，有 2+sinxsinx+2 cosydy3cosx =dx(sinx+2)2dy13cosx =2dxcosy(sinx+2)cosy=1-sin2y=1-(则 2sinx+123cosx )=2+sinx2+sinxy=2+sinx3cosx3； =2sinx+23cosx(sinx+2)dy=d(arcsin1-x1+x1-x)=d 1+x1+x2x =1+x2x12(-)dx 2(1+x)1-
8、x21+x =-2x(1-x)dx 2x(1-x2)2x(1-x)； 22x(1-x)1ex-e-xd(cos(arctan) 2所以 y=-dy=ex-e-xcos(arctan)2ex-e-xcos(arctan)21ex-e-x4ex+e-x =-x-xx-x2dx2e+e(e+e)2ex+e-x=-thxdx所以 y=-thx； y=arcsin(lnx)+=1ex-e-x4ex-e-x(-sin(arctan)x-x2d2(e+e)211-ln2x；y=0；y=-2sgnx； 1+x2dy=d(11+x2+xarctanx1+x2； 3-1xarctanxarctanx2)=-(1+
9、x)22xdx+d=dx 22321+x(1+x)所以 y=arctanx(1+x)2322e2xy=。 4x2+e4、y=2xf(x2)；y=sin(2x)(f(sin2x)-f(cos2x)； f(x)f(x)y=；y=ey=cos(f(x)f(x)； f(x)；f(x)y=f(x)1-f2(x)；y=f(x2+f(x)ex)(2x+exf(x)+f(x)ex)； y=12x2x=f(g(x2)g(x2)； 22f(g(x)f(g(x)y=f(f(f(cotx)f(f(cotx)f(cotx)(-1) sin2x =-csc2xf(f(f(cotx)f(f(cotx)f(cotx)。 5、
10、先求，代入等式左边，变形整理等于右边。 1x211x2y=x+1+x+(1+) 2222221+xx+1+x1+x1x212=x+1+x+2 21+x221+x2 =x+1+x2将y代入即证。 x2-x2+1(2x+2)(x2-x2+1)-(x2+x2+1)(2x-2)y= 42x2+x2+1(x2-x2+1)2112(x2-1)-2x22 - 2222x(x-1)221+2(x-1)2122(x2+1)-42x211+x2=2+22(1+x4)42(x+x2+1)(x-x2+1)22 1=1+x41同理，代入即证。 6、y=f(x=03x-243x-2212， )(1-)=arctan3x+
11、23x+23x+2(3x+2)2=则 yp43=3p。 4111nn(x+2)x+27、y=limln(1+)=limln(1+) nnn(x+2)n(x+2)1x+2 =lne=1 x+2所以 dy=-1d。x 2(x+2)8、令t=1111，则x=，f(t)=，即f(x)=， 1+t1+xxt所以 f(x)=-1。 (1+x)2x-19、利用换元可得，f(x)=(1-x)e10、f(x+3)=5x。 11、令x=4，所以f(x)=-xex-1。 11，有2f(x)+f=3x，所以由 xx12f(x)+f=3xx f(x)+2f(1)=3xx解得f(x)=2x-11，所以f(x)=2+2。
12、xxx0f(x)=0,limf(x)=1，所以在x=0处不可导，因此 12、因为lim+-x01,x0。 f(x)=1+xsinxecosx,x1ppf(x)=-sinx,-1x1。 22-1,x2。 15、解：由已知在x=0处连续并且在x=0处左导数等于右导数，即 b+a+2=0a=-1。 a=bb=-116、解：f(x)在x=0处无导数，在x=1处不连续，所以 1(x-1)22(x-1)arctanx-1-(x-1)2+1,x1f(x)=2xln2,0x1。 -2-xln2,x0时：f(x)=(f(x)-f(0)/(x-0)=4x2f(0+)=0 f(x)-f(0)=8xf(0+)=0 x
13、-0f(x)-f(0)=8f(0+)=8 f(x)=x-0 f(x)= 当x1xn-1y=1211=+ 1+x(1-x)21+x1-x1-xn!n!+,(x1) n+1n+1(1+x)(1-x)1 y(n)=(-1)n-126Qy=(2x-x)2(2-2x) 21(2x-x2)-3/2(2-2x)2-(2x-x2)-1/2 41323/22-3/2(2-2x)2-(2x-x2)-1/2+1=0 yy+1=(2x-x)-(2x-x)4 y=-dydycost-sint =dt=dxdxcost+sintdtd2y=dx2d(cost-sint)221cost+sintdt=-(cost+sint
14、)-(cost-sint) dtdx(cost+sint)2et(sint+cost)2左式=e(cost+sint)2td2ydx2-2et= cost+sint-2etcost-sintt-ecost)=右式=2(esint=左式 cost+sintcost+sinttd2x=2dyd(11)dyyydx =-3dydxdy(y)yy)d-(y)3(y)3dx3(y)2-yy =dydxdy(y)5d3x =dy3d(-y=cos(narcsinx)n11-x2sinn(arcsix)nn2x y=-将之代入方程得： +cosn(arcsix)nn22-3/21-x(1-x) (1-x)y
15、-xy+ny=0 22y=n(x+1+x)2n-1(1+x1+x2) x21+x2 )2y=n(n-1)(x+1+x)2n-2(1+2x1+x21+x-)+n(x+1+x)22n-12(1+x将上两式代入方程得(1+x)y+xy-ny=0 习题2-5 7解：要使f在x=0处有二阶导数则需满足以下条件 f(0+)=+f(0)=f(0+)=f(0-)c=g(0)f(0-)b=g(0) f(0-)2a=g(0)8解：f(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)2g(x) f(x)=2g(x)+2(x-a)g(x)+2(x-a)g(x)+(x-a)2g(x) 所以f(a)=2g(a) f(0+x)-f(
16、0)13=limxsin=0 9解：f(0)=limx0x0x-0x111xxxf(x)-f(0)11=lim3xsin-cos，极限不存在 f(0)=limx0x0xxx32 x0时，f(x)=(xsin)=3xsin-xcos，显然f(0)=0 依导数定义可知f在x=0处存在2阶导数，f(x),f(x)在x=0处连续，f(x)在x=0处不连续。 10解：y=ex(sinx+cosx)=2exsin(x+p/4) 2sinx(+p/2) 2xx+cosx)-ex(sinx-cosx)=2excosx= y=e(sin依此类推 y(n)=2sin(x+nnnp) 411解：利用莱布尼茨公式可得
17、： y(n)k=Cn(k=011-x)(n-k)(1+x)(k)1)(n-1)=(11-x1-x13(2n-1)13(2n-3)=(1+x)+n2n(1-x)n-1/22n-1(1-x)n-3/213(2n-3)(4n-1-x)(2n-3)!(4n-1-x)=nn-1/22(1-x)2n(1-x)n-1/2)(n)(1+x)+n(1.A B (3) C (4) C (5) D 2.(1) 连续可导 不连续 连续不可导 a0,间断; a0,连续; 0a1,不可导;a1可导。 3.解： 1xsec2+sinxlntanx-cosxcotxsec2xx22tan2 112x2dy=sec+sinxl
18、ntanx-cosxcotxsecxdxtanx222y= 解： 1e+1+eexdy=dx2x1+ey=1x2x= 解：两边取对数再求导得： 即得 11-lnx)22xx 111dy=xx(2-2lnx)dxxxy=x(tan1111tan1y=-2sec2exsin-2excosxxxxx 解： 11tantan111121xxdy=-secesin-ecos2x2dxxxxx111x (5) 解：先对原式进行变形：y3-1=1+3x 再对两边求导数即可得： ()3y=x27(y3-1)2y2xdx32227(y-1)y2-3-23dy= 最后将y代入即可 解：当x0时 f=2xsin11
19、-cos xx3x2 当x0时 f=3 x-1 f=0 4.解： 1cos2x-sin2xlnxx 2cosx2sin2xy=-2cos2xlnxxx2y=解：由原式可得：y2=exsinx 两边取对数求导得： y=1xy111-2+cotx 2x2x2 再次求导可得： y12(y)22 y=(cscx- +)+2y2x2x3 将y和y代入即可 5.解：y=4+33131=4+- 2x-12x+1x2-1 由已知的n次导数可得： y(n)=311 (-1)nn!-n+1n+12(x+!)(x-1) 先对原式求一次导得：y= 则可得：y(n+1)333sin2xsinx=cosx-cos3x 2
20、443np3nnp=cosx+-cos3x+ 4242继而可得：y(n)3np3nnp=sinx+-sin3x+ 42427.解：由题可得： dx=-3acos2qsinqdqdy =3asin2qcosqdqdynp则=-tanqdx2ddqsec4qcscqy=(-tanq)= dqdx3a 解： dxt=dt1+t2dy1 =dt1+t2dy1=dxtd2yddy11+t21+t2=-2=-3 2dxdxtdxtt解： dx=2dtdy-ey= dttey+1dy-ey=dx2tey+1()d2yddydt2te3y+e2y =-23ydtdxdxdx2te+1() 8.题目有错 证明：
21、因为f(x+y)=f(x)+f(y) 令x=y=0 则f(0)=0 f(x)=limDx0f(x+Dx)-f(x)f(Dx)f(0+Dx)-f(0)=lim=lim=f(0)=1 Dx0Dx0DxDxDx 即函数f不但可导，且导数值恒为1。 解：因为f(x+y)=f(x)f(y),f(x)0可得f(0)=1 f(x+Dx)-f(x)f(x)f(Dx)-f(x)f(x)f(Dx)-f(0)=lim=limDx0Dx0Dx0DxDxDx =f(x)f(0)=f(x)f(x)=lim又知f(0)=1,则可知f(x)=ex9.解：由题意可知：f=2f=2 f(1)=limDx0f(1+Dx)-f(1)2f(Dx)-2f(0+Dx)-f(0)=lim=2lim=2f(0)=2CDx0Dx0DxDxDx 解：要使F在点x=0处连续，则有 b=f(0),而要函数在x=0处可导，则只需有 a=f-(0) 解法一：令S=x+x+x+.+x 可知有 S=Sm 23mx(1-xm) 而 S= 1-x 则Sm=1-(m+1)xm+mxm+1(1-x)2则limSm=m+1(1-x)2解法二：思路，对Sm等式两旁
