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1、十字相乘法十字相乘法 教案 教学目标： 1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2(ab)xab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。理解运用十字相乘法分解因式的关键。 2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。 3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。 教学设计思想： 本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好
2、地实现有效学习。 在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。 教学过程： 一、复习引入 1回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤 例：把多项式x23x + 2分解因式。 解： x x x23x + 2 (x) (x) 像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。 提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？ 答：不是，。 提问：形如
3、x2pxq的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？ 请同学总结：x2pxq 当qab，p ab时， x2pxq = (xa) (xb) 再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？ 答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。 如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。 2计算： 9912100 212； (x1) (x1) (x1)(x1)
4、2； 体会公式中的字母可以表示数，也可以表示代数式。 二、 引导问题设计，把可以转化为x2(ab)xab型的多项式分解因式，渗透分类讨论、整体代换和化归思想方法。 1 1.复习中已经知道，公式里的字母不仅可以表示数，也可以表示式，我们把这个想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎样分解下面的因式： 例. y3y+2； 2 (a+b)3(a+b)+2； 3中设“y ”为 “x”, 中设“(a+b)”为 “x”;这两道题可化归为例进行分解。 请同学体会，引入辅助元“x”，培养整体代换和化归思想方法。可以帮助我们利用十字相乘法，灵活进行较复杂多项式的分解因式） 引导同学对问题中 (a+b) 3
5、(a+b)+2；进行变式设计 理解：式中“x”只能是单独的字母吗？ 答：单项式，多项式，整式(单项，多项式的统称)， 代数式 试一试，仿例题，将“x”可能的情况分类，然后设计题目，训练整体代换和化归思想方法的运用。 *表扬有创意的设计，请同学解题，分析，进一步理解运用十字相乘法分解因式的注意点。 2632.提问：式中“末项”只能是常数吗？ 答：单项式，多项式， 例2把下列两式分解因式。 x6xy8y； 22(a+1) 3 (a+1)b + 2b； 222分析：把x6xy8y看成是x的二次三项式，这里常数项是8y， 一次项系数是6y，把8y2分解成2y与4y的积，2y4y6y， 正好等于一次项系
6、数。 22 解： x26xy8y2(x2y)(x4y) 22解：(a+1) 3 (a+1)b + 2b； =(a-b+1) (a-2b+1) 例3：把(x-3x2) (x-3x-4)72分解因式； 2解法1：设“(x-3x2)”为 “y”, 2解法2：设“(x-3x-4)”为 “y”, 2解法3：“(x-3x)”为 “y”。 22略 变式：(x-1 )(x+1) (x2) (x4)-72； 22(x-5x4) (x-x-2)72 3.课堂练习：练习题(题目分组，小组互批) (分析时，引导同学总结多项式分解因式的注意点，如有公因式先提公因式，一般二次项系数为负数时，化负为正；一定要分解到每个因式
7、都不能再分解为止，等等） 4.请你设计一道形式如例1的因式分解题。进行变式设计，体会字母可以代替任意的数和式。(使学生掌握通过代换方法，把可以转化为x2(ab)xab型的多项式分解因式。) 2 。 5.课堂小结：略 6.作业：，巩固分类讨论、整体代换和化归思想方法。 8因式分解有广泛的应用，请尝试改变题型设计， 1.求值题 例：已知x2x=3，求代数式x6x的值； 22 22 22已知-6=0，求代数式xy的值； 已知3xxy-2y=0，求代数式x- 2.其他 引导同学问题设计。 ） 2222249 y2 +x-23y2的值； 由整式乘法得到 (a2xc1)(a2xc2) a1a2x2a1c2
8、xa2c1xc1c2 a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2 反过来就得到 3 a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2 (a1xc1)(a2xc2) 我们发现二次项系数a分解成a1、a2，常数项c分解成c1、c2， 并且把a1、a2、c1、c2排成如下： 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正 好等于ax2bxc的一次项系数b，那么ax2bxc就可以分解成 (a1xc1)(a2xc2)，其中a1、c1位于图的上一列，a2、c2位于 下一列。 必须注意，分解因数及十字相乘法都有多种可能情况，所以 往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘 法分解。 例如：把 6x27x5分解因式。 6x27x5(2x1)(3x5) 例3把多项式 6y213y6 分解因式 仿照课本p292,例8，请你设计一组题，体会字母可以代替任意的数和式。掌握通过代换方法，把可以转化为a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2型的多项式分解因式。 小结： 2 4
