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1、华中师范数学分析第十一章反常积分复习自测第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： +aa1+11dxdxdx；。 0xp0xpxp2、正确地判断下列反常积分的敛散性： +aa+111a1a1；dxdx1x(lnx)p1x(lnx)pdx。 x(lnx)p3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： +0+111dxdx；-1+x201+x211-x2dx；1-111-x2dx。 4、用定义据理说明下面的关系： 若
2、函数f(x)在a,+)上连续，F(x)为f(x)在a,+)上的原函数，记 F(+)=limf(x)， x+则无穷积分+af(x)dx收敛F(+)=limf(x)存在，且 x+-f(x)dx=F(x)-。 +若函数f(x)在(-,+)上连续，F(x)为f(x)在(-,+)上的原函数，记 F(+)=limf(x)，F(-)=limf(x)， x+x-则无穷积分+-f(x)dx收敛F(+)=limf(x)和F(-)=limf(x)都存在，且 x+x-+a+。 f(x)dx=F(x)ax+若函数f(x)和g(x)都在a,+)上连续可微，且limf(x)g(x)存在，则无穷积分+af(x)g(x)dx收
3、敛+af(x)g(x)dx收敛，且 +-f(x)g(x)dx， aa+af(x)g(x)dx=(f(x)g(x)其中f(+)g(+)=limf(x)g(x)。 x+若函数f(x)在a,+)上连续，x=j(t)在a,b)上连续可导，j(a,b)=a,+)，且严格单调递增，则无穷积分敛，且 +a+af(x)dx收敛积分baf(j(t)j(t)dt收若f(x)为偶函数，则f(x)dx=baf(j(t)j(t)dt。 设函数f(x)在(-,+)上连续， +-f(x)dx收敛+0f(x)dx收敛，且 f(x)dx； 若f(x)为奇函数，则+-+-f(x)dx=2+0f(x)dx收敛+0f(x)dx收敛，
4、且+-f(x)dx=0。 提示：注意由换元法可得 0-f(x)dx=-x=-t0+f(-t)dt=+0+f(t)dt,f为偶函数0f(-t)dt=+。 -f(t)dt,f为奇函数0ba二、举例说明下面关系不一定成立： 1、瑕积分baf(x)dx收敛不一定能推出瑕积分f2(x)dx；无穷积分+af(x)dx收敛也不一定能推出无穷积分+af2(x)dx收敛； +a注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。 2、无穷积分+af(x)dx收敛不一定能推出无穷积分f(x)dx收敛； 注：注意与定积分的绝对值性质的区别。 3、设函数f(x)在a,+)上连续，且+af(x)dx收敛，则limf(x)=0不一定
5、成立； x+三、通过下面的问题探索limf(x)的情况： x+1、设函数f(x)定义在a,+)上，且在任何a,ua,+)上可积，x+af(x)dx收敛，若limf(x)=A存在，则limf(x)=0； x+2、利用1探索： 设函数f(x)在a,+)上单调，且+af(x)dx收敛，则limf(x)=0； x+设函数f(x)在a,+)上连续可导，且+af(x)dx与+af(x)dx都收敛，则 x+limf(x)=0； 3、设函数f(x)在a,+)上连续，且一致连续； +a则limf(x)=0f(x)在a,+)上f(x)dx收敛，x+4、设函数f(x)在a,+)上连续，且证明：当ua时，lim+af
6、(x)dx收敛，试探索下面的问题： u+u+cu，从而 f(x)dx=0a+n+1a+nlimnf(x)dx=0； 提示：注意到无穷积分的定义即可。 利用和积分第一中值公式证明：在a,+)中，存在严格递增的数列xn满足： limxn=+，limf(xn)=0； nn类似于方法证明：若函数f(x)在a,+)上单调递增，且则还有limxf(x)=0。 x+af(x)dx收敛，注：注意到第三大题的第2小题，表明：f(x)=o。 提示：不妨设f(x)在a,+)上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：当u2a时，21xu1u2f(x)dxuf(u)2uuf(x)dx。 5、若函数f(x
7、)在a,+)上连续可微，单调递增，且limf(x)=0，则 x+a+af(x)dx收敛+axf(x)dx收敛。 提示：利用第三大题的第4小题以及反常积分的分部积分公式 xf(x)dx=+axdf(x)=xf(x)+-f(x)dx。 aa四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题： 1、若无穷积分+af(x)dx收敛，无穷积分+a+ag(x)dx发散，则无穷积分 (f(x)g(x)dx发散； 提示：反证法。 2、判断+211+2dx的敛散性； xlnxx3、利用适当性质说明：在无穷积分与+af(x)dx中
8、，当f(x)同号时，+af(x)dx收敛等价于+af(x)dx收敛af(x)dx敛散性的判别等价于+af(x)dx敛散性的判别。 五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题： 设函数f(x)，g(x)和h(x)都定义在a,+)上，且它们在任何a,ua,+)上可积，若对任意xa,+)，有g(x)f(x)h(x)，则 当当敛，且+a+g(x)dx和g(x)dx和+a+a+h(x)dx都收敛时，且h(x)dx都收敛，+aa+af(x)dx也收敛； +a+aag(x)dx=h(x)dx时，+af(x)dx收+ag(x)dx=f(x)dx=h(x)dx。 提示：用柯西准则；可
9、直接用定义和极限的迫敛性。 六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幂函数的两种常见的选择手段；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。试用绝对收敛的判别法解决下面的问题： 判断下列反常积分的敛散性： 1、+0+coskx+sinkx+csinkxoskxa2dxdxdx，； 01+x201+xa01+xadx1+x22、+1xn1+xm，dx+1xnacratn1+xmx，dx+1xn1+xmnl1(+d)1xx，+110+1xn1+xm1n(+lnisd)101xa； x+1ln(1+x)ln(1+x)dx，dx；
10、0xpxp3、xedx，xdx，21a-xxedx，11xlnxdx。 a-x4、lnx七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系，熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。试解决下面的问题： 1、判断下面反常积分的收敛性 +1+cosx+sin(mx+n)sinxdx，dx，dx11xpxpxp+1cos(mx+n)dx，； +1+sinx+sinx224dx，dx，sinxdxcosxdxxsinxdx； 11111xx2提示：利用或变量替换后再用。 11sin0xaxdx； 1提示：作变量替换t=化为无穷积分后再用。 x12、设
11、函数f(x)在a,+)上单调递减，且limf(x)=0，则 +af(x)sinxdx与+af(x)cosxdx都收敛； +a+a提示：用狄里克雷判别法。 若进一步有进一步有+af(x)dx收敛，则+af(x)sinxdx与+af(x)cosxdx都绝对收敛；若+af(x)dx发散，则f(x)sinxdx与f(x)cosxdx都条件收敛。 提示：类似于第七大题第1小题的方法。 若把函数f(x)“在a,+)上单调递减”改为“在a,+)上单调递增”，上述结果是否有变化？ 注：此问题为第七大题第1小题的一般情形。 3、设函数f(x)在a,+)上连续，且+axf(x)dx收敛，探索 lnxdx x+af
12、(x)dx和+af(x)的收敛性。 提示：用阿贝尔判别法。 八、试讨论下列反常积分的敛散性： 1、I(a)=2、I(p)=3、I(p)=+0+0+0x1-adx； 1+xln(1+x)dx； pxsinxdx。 xp九、反常积分的典型计算问题： p1、计算瑕积分I=20ln(sinx)dx=p20ln(cosx)dx的值； 提示：先用线性性， p2I=-p20ln(sinx)dx+pp20ln(cosx)dx=p20lnp21(sin2x)dx2 ln2+20ln(sin2x)dx对20ln(sin2x)dx用适当换元法和区间可加性， pp1p1p2ln(sin2x)dx=ln(sint)dt
13、=ln(sint)dt+pln(sint)dt 20202t=2x其中对20pp2ln(sint)dt再用适当换元，pln(sint)dt=2pt=p-up20ln(sinu)du。 2、利用1计算下列反常积分的值： p0xln(sinx)dx；0pp+xsinxlnxdx；dx。2ln(tanx)dx； 2001-cosx1+x提示：用适当换元x=p-t和区间可加性推出 其中 p0p0xln(sinx)dx=pp202pln(sinx)dx+pln(sinx)dx。 2用分部积分法推出， pppxsinxdx=xdln(1-cosx)=xln(1-cosx)-ln(1-cosx)dx， 00
14、01-cosxxln(1-cosx)0=limxln(1-cosx)=0， x0p0ln(1-cosx)dx=p0ln2sinxdx=pln2+22p0ln(sinx)dx。 用线性性及1，并注意到ln(tanx)=ln(sinx)-ln(cosx)。 用换元x=tant及。 3、通过计算的方法探索无穷积分提示：先用区间可加性得， +01dx与a的关系，并计算出它的值。 2a(1+x)(1+x)+01+111dx=dx+0(1+x2)(1+xa)1(1+x2)(1+xa)dx， (1+x2)(1+xa)11+11ta再用换元x=得， dx=-dt=dt，2a2a0+111t(1+x)(1+x)(1+t)(1+t)(1+2)(1+a)tt1t2从而 表明+0+p11dx=dx=arctanx=， 11(1+x2)(1+xa)1+x24+01dx与a无关。 (1+x2)(1+xa)4、计算无穷积分+0e-axcosbxdx和+0e-axsinbxdx的值，其中a0。 提示：用分部积分法。
