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1、参数方程与极坐考点面面看 选修参数方程与极坐标“考点”面面看 “参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析： 一、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t).一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标 t-tx=2-2例1、方程表示的曲线是 t-ty=2+2A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
2、 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略. 解析：注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，t即可消去含t的项，x2-y2=2t-2-t()-(22t+2-t2)22即有y-x=4，又注意到 =-4，2t0，2t+2-t22t2-t=2，即y2，可见与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性. 趁热打铁1：与普通方程x+y-1=0等价的参数方程是 2x=sintx=tgtx=c
3、ostx=1-tA.B.C.D. 222y=costy=1-tgty=sinty=t2解析：所谓与方程x+y-1=0等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且x,y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. ，1； 对于A化为普通方程为x+y-1=0，x-11y0，21； 对于B化为普通方程为x+y-1=0，xR，y(-，+)，y(-，1; 对于C化为普通方程为x+y-1=0，x0，1. 对于D化为普通方程为x+y-1=0，x-11y0，2221，而已知方程为x+y-1=0，xR，y(-，显然与之等价的为B. 例2、设P是椭圆2x+3y=12上的一个动点，则x+2y的最大值
4、是 ，最小值为 . 分析：注意到变量(x,y)的几何意义，故研究二元函数x+2y的最值时，可转化为几何问题.若设x+2y=t，则方程x+2y=t表示一组直线，显然(x,y)既满足2x+3y=12，又满足x+2y=t，故点(x,y)是方程222222x2+3y2=12组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的x+2y=t一元二次方程的判别式D0问题. 第 1 页 共 6 页 解析：令x+2y=t，对于(x,y)既满足2x+3y=12，又满足x+2y=t，故点(x,y)222x2+3y2=1222是方程组的公共解，依题意得11y-8ty+(2t-12)=0，由x+2y=tD=
5、64t2-411(2t2-12)0，解得：-22t22，所以x+2y的最大值为22，最小值为-22. 点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数x+2y有困难，也常采用消元，但由这对进一步求函数最值依x,y满足的方程2x2+3y2=12来表示出x或y时会出现无理式，然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即x2y2x=6cosq+=1 ，因此可通过转化为q的一元函数.以上二个思路都叫“参64y=2sinq数法”. 趁热打铁2：已知线段BB=4，直线l垂直平分BB，交BB于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P,P，使OPOP=9，求直线BP与直线BP的交点M的轨迹方程.
6、解析：以O为原点，BB为y轴，l为x轴建立直角坐标系，则B(0,2)，B(0,-2)，设P(a,0),a0，则由 y B M P P O x B xy9得P,0，则直线BP的方程为+=1；OPOP=9，a2a直线BP和方程为xy+=19(-2)a；18ax=2x+ay-2a=0a2+9设M，则由解得： 22ax-9y-18=0y=2a-18a2+9消去a，可得：4x2+9y2=36，因此点M的轨迹为长轴长为6，短轴长为4的椭圆. 二、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是极点与原点重合；极轴与x轴正方向重合；取相同的单位长度.设点
7、Pr2=x2+y2x=rcosq的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(r,q)，则 ；若把或yy=rsinqtgq=x直角坐标化为极坐标，求极角q时，应注意判断点P所在的象限，以便正确地求出角q. 例3、极坐标方程4rsin2q2=5表示的曲线是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解析：由4rsin2q2=4r1-cosq=2r-2rcosq=，化为直角坐标系方程为52第 2 页 共 6 页 2x2+y2-2x=5，化简得y2=5x+25.显然该方程表示抛物线，故选D. 4点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲
8、线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究. 趁热打铁3：已知直线的极坐标方程为rsinq+ 解析：极点的直角坐标为p2=，则极点到该直线的距离是 42o(0,0)，对于方程rsinq+p222=rsinq+cosq=化为直角坐标方程，22，可得rsinq+rcosq=142为x+y-1=0，因此点到直线的距离为22. 222例4、极坐标方程rcosq-r=0转化成直角坐标方程为 Ax+y=0或y=1 Bx=1 Cx+y=0或x=1 Dy=1 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析：r(rcosq-1)=0,r=22x2+y2=0,或rcosq=x=1，因此选C.
9、点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解. 趁热打铁4：点M的直角坐标是(-1,3)，则点M的极坐标为 p2pp) B(2,-) C(2,) D(2,2kp+),(kZ) 33332p 解析：(2,2kp+),(kZ)都是极坐标，因此选C. 3A(2,p三、参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题. 例5、已知DABC的三个顶点的极坐标分别为A5，B5，C-43，,判p6p2p3断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积. 分析：判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算
10、边长较为容易，不妨先计算边长. p5p5p解析：如图，对于AOB=，BOC=， ，AOC=366又OA=OB=5,OC=43，由余弦定理得： AC=OA+OC-2OAOCcosAOC222=5+43-2543cosDABC为等腰三角形h=2()25p 6AC=BC，=133，AC=133，同理，BC=133，2 B A O x C 又AB=OA=OB=5，所以AB边上的高(AC(213311336531-(AB(=5=, SDABC= 22242趁热打铁5：如图，点A在直线x=5上移动，等腰OPA的顶角OPA为120，求点P的轨迹方程. 第 3 页 共 6 页 解析：取O为极点，x正半轴为极轴
11、，建立极坐标系，则 y 直线x=5的极坐标方程为rcosq=5，设A， P A r0cosq0=5 P(r,q)，因点A在直线rcosq=5上，为等腰三角形，且 QDOPA O x OPA=120，而OP=r，OA=r0，以及POA=30 r0=3r，且q0=q-30，把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为： 3rcos(q-30)=5. 即时训练 一、选择题 p1. 已知点M的极坐标为-5，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是 3p A. 5，- 34pB. 5， 32pC. 5，- 35pD. -5，- 3x=1+2t(t为参数)，则直线的斜率为 2若直线的参数方程为y=2-3t2233
12、A B- C D- 3322x=sin2q(q为参数)上的点是 3下列在曲线y=cosq+sinq131A(,-2) B(-,) C(2,3) D(1,3) 2422x=2+sinq(q为参数)化为普通方程为 4将参数方程2y=sinqAy=x-2 By=x+2 Cy=x-2(2x3) Dy=x+2(0y1) 1x=t+5参数方程为t(t为参数)表示的曲线是 y=2A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线 1x=1+t2(t为参数)和圆x2+y2=16交于A,B两点，则AB的中点坐标 6直线y=-33+3t2为 A(3,-3) B(-3,3) C(3,-3) D(3,-3) 7极坐标方程
13、rcosq=2sin2q表示的曲线为 A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 8直线l的参数方程为x=a+t(t为参数)，则点Pl上的点P1对应的参数是t1，1与P(a,b)y=b+t之间的距离是 第 4 页 共 6 页 At1 B2t1 C2t1 D二、填空题 2t1 29. 点2，-2的极坐标为 ()p10. 圆心为C3，半径为3的圆的极坐标方程为 611. 极坐标方程为r-cosq+3sinq=0表示的圆的半径为 pp12 若A3，B-3，则|AB|=_，SDAOB=_ 36三、解答题 x2y213. 求椭圆+=1上一点P与定点之间距离的最小值。 9414. 若方程
14、mrcos2q+3rsin2q-6cosq=0的曲线是椭圆，求实数m的取值范围. x=2cosq15. 已知曲线C：，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平y=sinq分线交x轴于P，求a的取值范围. 即时训练参考答案 一、选择题： 1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D. 2D 解析：k=y-2-3t3=- x-12t2231时，y= 424C 解析：转化为普通方程：y=x-2，但是x2,3,y0,1 3B 解析：转化为普通方程：y=1+x，当x=-5、D 解析：y=2表示一条平行于x轴的直线，而x2,或x-2，所以表示两条射线 6D 解析： (1+1232t
15、+tt)+(-33+t)=16，得t2-8t-8=0，t1+t2=8,12=4 2221x=1+42x=3 因此中点为 y=-3y=-33+34227C 解析：rcosq=4sinqcosq,cosq=0,或r=4sinq,即r=4rsinq，则q=kp+p2,或x2+y2=4y 228、C 解析： 距离为t1+t1=2t1 而点x2+y2=6，二、填空题： p7p9、6，-或写成6，解析：由x=2，y=-2，得r=44y-2)位于第四象限且tgq=-(2，xq=7p，故点4 C 第 5 页 共 6 页 O x 7p成6，. 410、r=6cosq-6 RtDOAP中，(OP(=(OA(cos
16、POA 解析：如下图，设圆上任一点为P，则6p Aq-，A23=6(OP(=r，PO=(O(=pp r=6cosq- 6p11、1 解析：方程变形为r=cosq-3sinq=2cosq+，该方程表示的圆的半径与圆6r=2cosq的半径相等，故所求的圆的半径为r=1 12、9 解析：在极坐标系中画出点A、B，易得AOB=150， 4222DAOB中，由余弦定理，得：AB=OA+OB-2OAOBcosAOB 32(6+2 )AB=32+32-233cos150=18+93=32+3=SDOAB=119OAOBsinAOB=33sin150= 22432(6+2)三、解答题： 设P(3cosq，2s
17、inq)，则P13. 解析：到定点的距离为 d(q)=2(3cosq-1)+(2sinq-0)22=5cos2q-6cosq+5 316345=5cosq-+， 当cosq=时，d(q)取最小值 555514. 解析：将方程两边同乘以r，化为： m(rcosq)+3(rsinq)-6rcosq=0 223x-y2m22 即mx+3y-6x=0，整理，得：+=1，若方程表示椭圆，则m须满足：93m2m9m203m0且m3m(0，3)U(3，+) 0m39m2m15. 解析：设A(2cosa，sina)，B(2cosb，sinb)，QA、B关于坐标轴不对称 2a2kpb，且a(2k1)p-b，kz，QAB的垂直平分线与x轴交于点P 2222PA=PB， (a-2cosa)+(sina)=(a-2cosb)+(sinb) 解之，得：a=3(cosa+cosb)4，当cosa=cosb=1时，a取最大值； 32 当cosa=cosb=-1时，a取最小值-3.a的取值范围为-， 222第 6 页 共 6 页 33
