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1、反证法练习题2.2.2 反证法 双基达标 (限时20分钟) 1实数a，b，c不全为0等价于 ( ) Aa，b，c均不为0 Ba，b，c中至多有一个为0 Ca，b，c中至少有一个为0 Da，b，c中至少有一个不为0 解析 不全为0即至少有一个不为0，故选D. 答案 D 2下列命题错误的是 ( ) A三角形中至少有一个内角不小于60 B四面体的三组对棱都是异面直线 C闭区间a，b上的单调函数f(x)至多有一个零点 D设a、bZ，若a、b中至少有一个为奇数，则ab是奇数 解析 ab为奇数a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误 答案 D 1113设x，y，z都是正实数，axy，byz，czx，则
2、a，b，c三个数 ( ) A至少有一个不大于2 C至少有一个不小于2 B都小于2 D都大于2 解析 若a，b，c都小于2，则abcB，则ab”的结论的否定应该是_ 答案 ab 5命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是_ 答案 至少有两个内角是直角 6设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直 证明 假设AC平面SOB，如图， 直线SO在平面SOB内， SOAC. SO底面圆O，SOAB. SO平面SAB. 平面SAB底面圆O. 这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直 综合提高 (限时25分钟) 7已知l，a，b，
3、若a，b为异面直线，则 ( ) Aa，b都与l相交 Ba，b中至少有一条与l相交 Ca，b中至多有一条与l相交 Da，b都不与l相交 解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B. 答案 B 8以下各数不能构成等差数列的是 ( ) A3,4,5 C3,6,9 B.2，3，5 D.2，2，2 解析 假设2，3，5成等差数列，则2325，即127210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列 答案 B 9“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_ 解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个” 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 1
4、0用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为_ 解析 “a，b全为0”即是“a0且b0”，因此它的反设为“a0或b0” 答案 a，b不全为0 11设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根 证明 设f(x)0有一个整数根k，则 ak2bkc. 又f(0)c，f(1)abc均为奇数， ab为偶数，当k为偶数时，显然与式矛盾； 当k为奇数时，设k2n1(nZ)， 则ak2bk(2n1)(2naab)为偶数，也与式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)0无整数根 x212(创新拓展)已知函数f(x)
5、，如果数列an满足a14，an1f(an)，求2x2证：当n2时，恒有an3成立 2an证明 法一(直接证法) 由an1f(an)得an1， 2an2221111a2a2a2222， nan1nn1an10或an12； (1)若an10，则an103， 结论“当n2时，恒有an3”成立； (2)若an12， 2an2anan(an2)a2n则当n2时，有an1anan0， 2an22(an1)2(an1)an1an，即数列an在n2时单调递减； a21681由a233， 2a1282可知ana23，在n2时成立 综上，由(1)、(2)知：当n2时，恒有an3成立 法二 (用反证法) 假设an3(n2)， a2n则由已知得an1f(an)， 2an211an113an11a1120，当n2时，an12时，anan1a2； a21681而当n2时，a233， 2a1282当n2时，an3； 这与假设矛盾，故假设不成立， 当n2时，恒有an3成立
