变速行程问题解题方法.docx

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1、变速行程问题解题方法变速行程问题 课程简介： 变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算 行程问题常用的解题方法有 公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对

2、公式非常熟悉，可以推知需要的条件； 图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； 比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； 分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

3、 方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解 例题精讲： 例1. 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？ 1 解： 小红速度不变,则两次从出发到A点相遇时间不变 那么小强第二次就比原来少用了4分钟，就要多走470=280米 即同样路程,提速后每分钟多走90-70=20米 小强每分钟90米,从家到A处用时:28020=14分钟 小华和小强家相距:(

4、52+70)(14+4)=2196米 例2. A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇。如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇。如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇则A、B两地相距多少千米？ 解：甲提速而乙速度不变，则乙到达桥上仍然用3小时，那么甲用3-0.5=2.5小时 甲提速后2.5小时多走2.52=5千米才到达桥 甲原速度为5=10千米小时 乙减速而甲速度不变，则甲到达桥上仍然用3小时，那么甲用3+0.5=3.5小时 乙减速后3.5小时少走3.52=7千米刚好到达桥 乙原速度为

5、7=14千米小时 AB相距路程：3=72千米 答： 例3. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时行多少千米？ 解：甲原速度与乙提速速度比为12:=2:3 甲提速与乙原速度比为:16=7:8 乙提速后甲到相遇点占全程的2/5 甲提速后到相遇点占全程的7/15 两相遇点相距28千米,占全程的7/15-2/5=1/15 全程为2815=420千米 甲乙原速度和为420/6=70千米/小时

6、 2 甲原速度为(70+5)*2/5=30千米/小时 乙原速度为70-30=40千米/小时 答: 例4. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 解: 甲原速度与乙提速速度比为10:=1:1 甲提速与乙原速度比为:5=2:1 乙提速后甲到相遇点占全程的1/2 甲提速后到相遇点占全程的2/3 两相遇点相距15千米,占全程的2/3-1/2=

7、1/6 全程为156=90千米 甲乙原速度和为90/5=18千米/小时 甲原速度为(18+4)/2=11千米/小时 乙原速度为18-11=7千米/小时 答: 例5. 甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲骑自行车，乙步行。两人在距A地500米处第一次相遇。甲继续走到C地后发现忘带东西，于是将速度提高一倍，立即返回A地，并在距A地400米处追上乙。甲到达A地后不作停留立即前往B地，在距A地300米处与乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。那么BC两地相距多少米？ 解: 设500米处为D点 依据题意甲提速后甲乙速度比为(100+300+300):100=7:1 全程长度为300+300*7=

8、2400米 甲从D到C与C到D的速度比为1:2,时间比为2:1此段总时间与乙从D向A走(100-100/7)米的时间相等, DC长度为:(100-100/7)/3*7=200米 3 BC长度=2400-500-200=1700米 答: 例6. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步。如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是多少米？ 解: 开始甲乙速度比为2:5 他们在距离起点行驶环形跑道2/(5-2)=2/3的位置追上 后来速度比为甲:乙=5

9、:8 第二次相遇在第一次后的5/(8-5)=5/3的位置即两次相遇点距离为全周1/3 周长为100*3=300米 答: 例7. 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的三分之二。甲跑第二圈的速度比第一圈提高了三分之一，乙跑第二圈的速度提高了五分之一，已知沿跑道看，从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？ 解: 第一次相遇点距离甲起跑点占全程的3/5 甲到头时乙跑了全程的132=2/3 甲转头而乙未转头的速度比为2:1 乙到转头点时甲距离乙全

10、程1/3 都转头后的甲乙速度比为5:3 相遇点距离甲起跑点1/33/8=1/8 两相遇点距离占全程的3/5-1/8=19/40 跑道长19019/40=400米 答: 例8. 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟4 跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快四分之一，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？ 解： 甲领先1圈,需要: 400(400-360)=10分钟 此时, 甲剩余10000-40010=6000米 乙剩余6000+400=

11、6400米 甲还需:6000(400+18)=14又74/209分钟 乙还需:6400360(1+1/4)=14又2/9分钟14又74/209分钟 所以乙先到达终点 答： 9 某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后能在约定时间到达学校，搭载满学生在预定时间到达目的地，已知学校的位置在车站和目的地之间，大巴车空载的时候的速度为60千米/小时，满载的时候速度为40千米/小时，由于某种原因大巴车晚出发了56分钟，学生在约定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往目的地，在途中搭载上赶上来的大巴车，最后比预定时间晚了54分钟到达目的地，求学生们的步行速度 解：

12、大巴车空载速度为1千米/分,满载为2/3千米/分 因为大巴车晚到学校56分钟，假设学生没走，到达目的地也应该晚56分钟，实际提前2分钟，却大巴到达学校时学生已经走了56分钟。 大巴车提前2分钟的路程2/32=4/3千米实际是由大巴车的速度差完成的. 即大巴车追上学生用的时间为4/3(1-2/3)=4分钟 学生走的路与大巴车追的路程相同:41=4千米 学生走的总时间为56+4=60分钟=1小时 学生的速度为41=4千米/小时 答: 10 两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学校出发的同时，第二班学生开始步行 ；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二

13、班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里， 载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，要使两个班的学生同5 时到达少年宫，第一班的学生步行了全程的几分之几？ 解：学生与汽车的速度比分别为1:10及2:25； 设一班步行点为A点，学校到A点的距离为1； 一班到达A点时二班走了1/10; 二班与汽车相遇走的路程为(1-1/10) 2/27=1/15; 汽车此时距离A点路程为9/10-1/15=5/6; 一班从A点向前走的路程与二班的路程相同也为1/15 汽车追击路程差为5/6+1/15=9/10 一班又走了路程为9/10(10-1) 1=1/10 一班走的总路程为1/15+1

14、/10=1/6 全程为1+1/6=7/6 一班步行走了全程的1/67/6=1/7 答: 巩固练习： 11 小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时速度的3倍，所用时间减少了40分钟。小张送货时，从甲地到乙地用了多少分钟？ 12 上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是8点多少分？ 13 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。他们相遇时，甲比乙多跑90米。相遇后，乙的速度减少50%，甲到B后立即调头，追上乙时离A地还有90米，

15、那么AB两地的之间的距离是多少？ 14 甲、乙两人同时从环形跑道的同一点出发，同向而行，甲以相同的速度跑了3圈，乙第一圈的速度是甲速度的二分之一，第二圈速度是甲的1.5倍。第三圈跑完后，与甲同时到达终点，乙第三圈的平均速度是甲的多少倍？ 6 15 甲车以每小时160千米的速度，乙车每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速三分之一而乙车则加速三分之一。问在两车的速度刚好相等的时刻，他们分别行使了多少千米？ 16 丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫比原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次，使丁丁的玩具以原来的速度的N10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按多少次遥控器？ 7