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1、同济大学高等数学课后答案全集 同济大学高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), A(AB)=-10, -5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC BC . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 设映射f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B);
2、 (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因为xA或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使gof=IX, fog=IY, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f
3、 -1. 证明 因为对于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : XY, AX . 证明: (1)f -1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A . 证
4、明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f -1(y)=xf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A. 另一方面, 对于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)y=3x+2; 解 由3x+20得x-2. 函数的定义域为-2, +). 33 (2)y=12; 1-x 解 由1-x20得x1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)y=1-1
5、-x2; x 解 由x0且1-x20得函数的定义域D=-1, 0)(0, 1. (4)y=1; 4-x2 解 由4-x20得 |x|0得函数的定义域D=(-1, +). (10)1y=ex. 解 由x0得函数的定义域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=x2; (3)f(x)=3x4-x3,g(x)=x3x-1. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x0时,
6、g(x)=-x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. p|sinx| |x|0, 1-x20. 因为当x1x2时, y1-y2=x1xx1-x2-2=0, 1-x11-x2(1-x1)(1-x2)所以函数y=x在区间(-, 1)内是单调增加的. 1-x (2)对于任意的x1, x2(0, +), 当x1x2时, 有 y1-y2=(x1+lnx1)-(x2+lnx2)=(x1-x2)+lnx10, x2所以函数y=x+ln x在区间(0, +)内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加,
7、证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 证明 对于x1, x2(-l, 0)且x1-x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以 f(-x2)f(-x1), -f(x2)f(x1), 这就证明了对于x1, x2(-l, 0), 有f(x1)0); 解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函数f(x+a)的定义域为-a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a0). 解 由0x+a1且0x-a1得: 当01时, 无解. 因此22当01时函数无意义. 22|x|1-1 222作出这两个函数的图形. 1 |ex|1x0|ex|1-1 e1 |x | 1 e |x|1|x
8、 | 1 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 解AB=DC=hosin40, 又从1hBC+(BC+2cot40oh)=S02得BC=S0o-cot40h, 所以 hS02-cos40oL=+oh. hsin40 自变量h的取值范围应由不等式组 Soh0, 0-cot40h0 h确定, 定义域为0hS0cot40. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多
9、订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0x100时, p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此当x1600时, p=75. 当100x1600时, p=90-(x-100)0.01=91-0. 01x. 综合上述结果得到 0x10090 100x1600. p=91-0.01x 75 x160030x 0x100 (2)P=(p-60)x=31x-0.01x2 100xN时, xn
10、与其 2. 设数列xn的一般项xn=nnn极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 解 limxn=0. n|consp|21. e 0, 要使|x n-0|e , 只要11. 取 |xn-0|=nnneN=1, e则nN, 有|xn-0|e . 当e =0.001时, N=1=1000. e 3. 根据数列极限的定义证明: (1)lim12=0; nn11, 即n1. 分析 要使|1-0|=en2n2e1=0. 证明 因为e0, $N=1, 当nN时, 有|1, 所以-0|elimnn2n2e (2)lim3n+1=3; n2n+123n+1-3|=11e 分析 要
11、使|, 只须11. 2n+122(2n+1)4n4e4n 证明 因为e0, $N=1, 当nN时, 有|3n+1-3|e, 所以lim3n+1=3. n2n+122n+124e (3)limnn2+a2=1; n2222222an+an+a-naa 分析 要使|-1|=. 22nnen(n+a+n)n222an+a证明 因为e0, $N=, 当nN时, 有|-1|e, 所以nenlimn2+a2=1. nnn个 (4)lim0.4999 4 9=1. 1231e , 即1. 分析 要使|0.99 9-1|=1, 只须1+lge10n-110n-1证明 因为e0, $N=1+lg1, 当nN时,
12、 有|0.99 9-1|0, $NN, 当nN时, 有|un-a|e, 从而 n|un|-|a|un-a|0, $NN, 当nN时, 有|yn|N时, 有 nM |xnyn-0|=|xnyn|M|yn|0, $K1, 当2k-12K1-1时, 有| x2k-1-a|2K2时, 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|e . 因此xna (n). 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)lim(3x-1)=8; x3 分析 因为 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|e , 只须|x-3|0, $d=1e, 当0|x-3|d时, 有 3 |(3x
13、-1)-8|e , 所以lim(3x-1)=8. x3 (2)lim(5x+2)=12; x2 分析 因为 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|e , 只须|x-2|0, $d=e, 当0|x-2|d时, 有 |(5x+2)-12|e , 所以lim(5x+2)=12. x2152x-4=-4; (3)limx-2x+2 分析 因为 22x-4x+4x+4=|x+2|=|x-(-2)|, -(-4)=x+2x+22所以要使x-4-(-4)e, 只须|x-(-2)|0, $d=e, 当0|x-(-2)|d时, 有 2x-4-(-4)e, x+22
14、x-4=-4. 所以limx-2x+2 31-4x (4)lim=2. 12x+1x-2 分析 因为 3 1-4x-2=|1-2x-2|=2|x-(-1)|, 2x+123所以要使1-4x-2e, 只须|x-(-1)|0, $d=1e, 当0|x-(-1)|d时, 有 2231-4x-2e, 2x+131-4x所以lim=2. 12x+1x-2 2. 根据函数极限的定义证明: 31; (1)lim1+x=x2x32 分析 因为 31=1+x3-x3=1, 1+x-2x322x32|x|331+x1e, 只须11. 所以要使-32x322|x|32e 证明 因为e 0, $X=31, 当|x|X
15、时, 有 2e31+x1e, -2x3231. 所以lim1+x=x2x32 (2)limsinx=0. x+x 分析 因为 x|1x-0=|sin sin. xxx所以要使sinx-0e, 只须112. exx 证明 因为e0, $X=1, 当xX时, 有 e2x-0e, sinx所以limsinx=0. x+x 3. 当x2时, y=x24. 问d等于多少, 使当|x-2|d时, |y-4|0.001？ 解 由于当x2时, |x-2|0, 故可设|x-2|1, 即1x3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001, 只要|x-2|0.001=0.0002. 5 取d=0
16、.0002, 则当0|x-2|d时, 就有|x2-4|X时, |y-1|0.01? x+32 解 要使x2-1-1=244-3=397, 故X=397. 0.01x+3x+3 5. 证明函数f(x)=|x|当x0时极限为零. 证明 因为 |f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|e, 只须|x|0, $d=e, 使当0|x-0|d, 时有 |f(x)-0|=|x|-0|0, $X10, 使当x-X1时, 有|f(x)-A|0, 使当xX2时, 有|f(x)-A|X时, 有|f(x)-A|0, $d0, 使当0|x-x0|d 时, 有 |f(x)-A|e .
17、因此当x0-dxx0和x0xx0+d 时都有 |f(x)-A|0, $d10, 使当x0-d1xx0时, 有| f(x)-A0, 使当x0xx0+d2时, 有| f(x)-A|e . 取d=mind1, d2, 则当0|x-x0|d 时, 有x0-d1xx0及x0xx0+d2 , 从而有 | f(x)-A|0及M0, 使当|x|X时, |f(x)|0, 当|x|X时, 有|f(x)-A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|0及M0, 使当|x|X时, |f(x)|0, $d=e , 当0|x-3|d时, 有 x+32x-9=|x-3|0, $d=e , 当
18、0|x-0|d时, 有 x|y|=|x|sin1|x-0|104？ 证明 分析|y|=1+2x=2+11-2, 要使|y|M, 只须1-2M, 即xx|x|x|x|1. M+21, 使当0|x-0|M, xM+2所以当x0时, 函数y=1+2x是无穷大. x1. 当0|x-0|104. 取M=104, 则d=410+2104+2 4. 求下列极限并说明理由: (1)lim2x+1; xx21-x (2)lim. x01-x 解 (1)因为2x+1=2+1, 而当x 时1是无穷小, 所以lim2x+1=2. xxxxx221-x1-x (2)因为=1+x(x1), 而当x0时x为无穷小, 所以l
19、im=1. x01-x1-x 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 证明 因为M0, $d= xx0 f(x)A e0, $d0, 使 当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M. x+ x- 解 xx0 f(x)A e0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x0-xd时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当x-X时, 有恒
20、|f(x)-A|0, $d0, 使当0|x-x0|M. M0, $d0, 使当0x-x0M. M0, $d0, 使当0x0-xM. e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M. e0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)|M. e0, $X0, 使当xM. f(x)+ M0, $d0, 使当0|x-x0|M. M0, $d0, 使当0x-x0M. M0, $d0, 使当0x0-xM. e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒f(x)M. e0, $X0, 使当xX时, 有恒f(x)M. e0, $X0, 使当xM. f(x)- M0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒f(x)0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒f(x)0, $
