同济高等数学下册练习题.docx

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1、同济高等数学下册练习题第八章 测 验 题 一、选择题： (C)(2,3,4)； (D)(2,-1,-4). 1、若a，b为共线的单位向量，则它们的数量积 ab= 9、已知球面经过(0,-3,1)且与xoy面交成圆周 ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(a,b). 向量ab与二向量a及b的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q与三轴正向夹角依次为a,b,g，当 cosb=0时，有( ) (A)Qrxoy面；(B)Qryoz面;(C)Qrxoz面;(D)Qrxoz面 5、(ab)2=( ) 2222(A)ab； (B)a

2、2ab+b； 2222(C)aab+b； (D)aab+2b. 6、设平面方程为Bx+Cz+D=0，且B,C,D0平面( ). (A) 平行于x轴；(B) 平行于y轴； (C) 经过y轴；(D) 经过y轴. 7、设直线方程为A1x+B1y+C1z+D1=0B2y+D且 2=0 A1,B1,C1,D1,B2,D20,则直线( ). (A) 过原点； (B)平行于x轴； (C)平行于y轴； (D)平行于x轴. 8、曲面z2+xy-yz-5x=0与直线xy-5-1=3 =z-107的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,-1,-4)；(B)(1,2,3)； x2+y2=16z=0，则此球面的方

3、程是( ). (A)x2+y2+z2+6z+16=0； (B)x2+y2+z2-16z=0； (C)x2+y2+z2-6z+16=0； (D)x2+y2+z2+6z-16=0. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)x2+y2+z2=1； (B)x2+y2=4z； (C)x2-y2x24+z=1； (D)+y2z229-16=-1. 二、已知向量ar,br的夹角等于p3，且a=2,b=5，求(a-2b)(a+3b) . ， 则 三、求向量a=4,-3,4在向量b=2,2,1上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 a=1,-3,1;b=2,-1,3b=2,-1,3，求其面

4、积 . 五、已知a,b,为两非零不共线向量，求证：(a-b)(a+b)=2(ab). 六、一动点与点M(1,0,0)的距离是它到平面x=4的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz面的交线方程 . x=3-t七、求直线L：y=-1+2t在三个坐标面上及平面z=5+8tpx-y+3z+8=0上的投影方程 . 八、求通过直线x-12=y+2z-2-3=2且垂直于平面3x+2y-z-5=0的平面方程 . 九、求点(-1,-4,3)并与下面两直线 (C) y(x+ 3、lim(x+y)x0y02212y)； (D) (1+y)2. xx2x2y2x=2+4t2x-4y+z=1，L2:y=-1-t都垂直的

5、直线L1：x+3y=-5z=-3+2t方程 . 十、求通过三平面：2x+y-z-2=0， =( ). (A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e . 4、函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续,且两个偏导数 fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点可微的( ). (A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件； (D)既不是充分条件,也不是必要条件. x-3y+z+1=0和x+y+z-3=0的交点，且平行于平面x+y+2z=0的平面方程 . 十一、在平面x+y+z+1=0内，求作一直线，使它通12222(x+y)s

6、in,x+y022x+y 5、设f(x,y)= 0,x2+y2=0y+z+1=0过直线与平面的交点，且与已知直线垂x+2z=0 则在原点(0,0)处f(x,y)( ). 直 . 十二、判断下列两直线 L1:x+1yz-1=, 112 (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 . 6、设z=f(x,v),v=v(x,y)其中f,v具有二阶连续偏导xy+1z-2L2:=,是否在同一平面上，在同 一平面134上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 . 第九章 测 验 题 一、选择题: 2z数.则2=( ). y2fvf2vf2v (A)+2； (B)2； vyyv

7、yvy2fv2f2v2fvf2v (C)2+2； (D)2+2. vyvyvyvy41 7、曲面xyz=a3(a0)的切平面与三个坐标面所围 1、二元函数z=ln2的定义域+arcsin2x+y2x+y2 成的四面体的体积V=( ). (A) 2222是( ). (A)1x+y4； (B)1x+y4； 32336a； (D) . a3； (B) 3a3； (C) 9a2 8、二元函数z=3(x+y)-x-y的极值点是( ). (C)1x+y4； (D)1x+y0,y0,z0)的条件极值是( ). 1612x2 (A)x(y+)； (B) (1+y)； yy2 (A) 1 ； (B) 0 ； (

8、C) ； (D) 18 . 10、设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)的某邻 域内可微分,则 在点(x,y)处有 grad(uv)=( ). x2y2z2九、在第一卦限内作椭球面2+2+2=1的切平面, 使abc该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最 小,求这切平面的切点,并求此最小体积 . 第十章 测 验 题 一、选择题: 1、(A)(B)gradugradv;ugradv+vgradu;ugradv;vgradu.(C)(D)二、讨论函数z=x+y的连续性，并指出间断点类型. 1-x111-x33x+y (A)dyf(x,y)dx； (B)dyf(x,y)dx； 000

9、010dx1-x0f(x,y)dy=( ) 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、z=xlny (C) ； dy0110f(x,y)dx； (D)dy011-y0f(x,y)dx. 2、设D为x2+y2a2,当a=( )时, 2、u=f(x,xy,xyz),z=f(x,y)； x2y 3、f(x,y)=x2+y20Da2-x2-y2dxdy=p. x+y0x2+y2=022 . (A) 1 ； (B) 33 ； 23四、设u=f(x,z),而z(x,y)是由方程z=x+yf(z)所 确的函数,求du . (C) 33； (D) 41 . 2五、设z=(u,x,y),u=xey,其中f具有连续的二阶

10、偏导 3、当D是( )围成的区域时二重积分Ddxdy=1. 11,y=; 232z数,求. xy六、设x=eucosv,y=eusinv,z=uv,试求(A)x轴,y轴及2x+y-2=0;(B)x=(C)x轴,y轴及x=4,y=3;(D)x+y=1,x-y=1; zz和 . 4、xyDxexydxdy的值为( ).其中区域D为七、设x轴正向到方向l的转角为f,求函数0x1,-1y0. 11; (B) e ; (C) -; (D) 1. ee22222D,其中由所 x+y=a(x+y)dxdyf(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿方向l的方向导数,并(A) 分别确定转角f,使这导数有(1

11、)最大值；(2)最小值；(3)5、设I=等于零 . 八、求平面D 围成,则I=( ). 2paxyz+=1和柱面x2+y2=1的交线上与 (A)dqa2rdr=pa4; 003452paxoy平面距离最短的点 . 142(B)dqrrdr=pa; 0022p(C)(D)02dqr2dr=pa3; 03a (A) 3m； (B) 5m； (C) 4m； (D) 6m. 二、计算下列二重积分: 1、2p0dqa2adr=2pa4. 0a 6、设W是由三个坐标面与平面x+2y-z=1所围成的 空间区域,则xdxdydz=( ). W(xD2-y2)ds,其中D是闭区域: 1111(A) ； (B)

12、- ； (C) ； (D) - . 48242448 0ysinx,0xp. 2、z2x2y2 7、设W是锥面2=2+2(a0,b0,c0)与平cab面 x=0,y=0,z=c所围成的空间区域在第一卦限的arctgDyds,其中D是由直线y=0及圆周 x x2+y2=4,x2+y2=1,y=x所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、2(y+3x-6y+9)ds,其中D是闭区 D部分,则Wxyzdxdydz=( ). 122abb； 361cab. 36122abc； (B) 36122bca； (D) (C) 36 (A) 8、计算I=W 域:x2+y2R2 4、xD02+y2-2ds,其中D

13、:x2+y23. 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 01022212y33-y,其围成的 中W为z=x+y,z=1zdv 1、dyf(x,y)dx+dyf(x,y)dx； 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)I=(B)I=2p02pdqrdrzdz； 0011 2、 3、dx011+1-x2xf(x,y)dy； 0dqrdrzdz； 0r11a0dqf(rcosq,rsinq)rdr. 0q (C)I= (D)I=2p01dqdzrdr； 0r2pz0011四、将三次积分 xyz. dxdy0x11yxf(x,y,z)dz改换积分次序为 0dzdqzrdr. x2+y2包

14、含在圆柱x2+y2=2x内部的五、计算下列三重积分: 1、ycos(x+z)dxdydz,W:抛物柱面y=Wx 9、曲面z=那 部分面积s=( ). 及平面y=o,z=o,x+z= 2、p2所围成的区域 . 22(y+z)dv,其中W是由xoy平面上曲线 W3p； (B) 2p； 2 y=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围 5p； (D) 22p. 成的闭区域 . 10、由直线x+y=2,x=2,y=2所围成的质量分布均匀 (设面密度为m)的平面薄板,关于x轴的转动惯量 Ix=( ). zln(x2+y2+z2+1) 3、dv,其中W是由球面 222x+y+z+1W x+y+z=1所围成

15、的闭区域 . 222xyz+=1被三坐标面所割出的有限部分 6、若为z=2-(x2+y2)在xoy面上方部分的曲面 , abc 的面积 . 则ds等于( ). 六、求平面七、设f(x)在0,1上连续,试证: 第十一章 测 验 题 一、选择题: 设L为x=x0,0y0x11yx11f(x)f(y)f(z)dxdydz=f(x)dx3 . 60 (A) (C)2p0dqr01+4rrdr;(B)222p0dq201+4r2rdr; 2p0dq01+4r2rdr. 7、若为球面x2+y2+z2=R2的外侧,则 x2y2zdxdy等于( ). 3,则4ds的值为( ). 2L (A) Dxy22222

16、xyR-x-ydxdy; (A)4x0， (B)6, (C)6x0. 设L为直线y=y0上从点A(0,y0)到点B(3,y0)的有向直线段,则 (B) 2Dxy22222xyR-x-ydxdy; (C) 0 . 8、曲面积分22zdxdy在数值上等于( ). L2dy=( ). r向量zi穿过曲面的流量； 面密度为z的曲面的质量； 2 (A)6; (B) 6y0; (C)0. 若L是上半椭圆 x=acost,取顺时针方向,则 y=bsint,r向量zk穿过曲面的流量 . 2Lydx-xdy的值为( ). 9、设是球面x2+y2+z2=R2的外侧,Dxy是xoy面 上的圆域x2+y2R2,下述等

17、式正确的是( ). (A) (A)0; (B)pab; (C)pab. 24、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续 偏导数,则在D内与x2y2zds=x2y2R2-x2-y2dxdy； DxyLPdx+Qdy路径无关的条件 (B)QP=,(x,y)D是( ). xy(x2+y2)dxdy=Dxy(x2+y2)dxdy； (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设为球面x+y+z=1,1为其上半球面,则 ( )式正确. (A) (B) (C)222 (C) zdxdy=2DxyR2-x2-y2dxdy. 10、若是空间区域W的外表面,下述计算中运用奥-高 公式

18、正确的是( ). zds=2zds; 1 (A)zdxdy=2zdxdy; 1外侧xdydz+(z+2y)dxdy =(2x+2)dxdydz； W2zdxdy=2zdxdy. 122 (B)外侧(x3-yz)dydz-2x2ydzdx+zdxdy 22(3x-2x+1)dxdydz； =rrrr222已知流速函数V=xzi+yxj+zyk,求流体在单位时间内流过曲面:x2+y2+z2=2z的流量(流向外侧)和沿曲线L:x2+y2+z2=2z,z=1的环流量(从z轴正向看去逆时针方向) . 第十二章 测 验 题 一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ). 11 (A)； (B)； nn=1

19、n=1nn (C)内侧x2dydz+(z+2y)dxdy =(2x+1)dxdydz. W二、计算下列各题: x=tcost,1、求zds,其中G为曲线y=tsint,(0tt0)； Gz=t,2、求L(exsiny2-)ydx(+coesx2)y-dy,其中L为上 半圆周(x-a)2+y2=a2,y0,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题: 1、求ds其中是界于平面z=0及z=H 222x+y+z222 (C)n=113n2； (D)(-1)n=1n. 之间的圆柱面x+y=R； 2、求222(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy， 2、下列级数中,收敛的是( ). 5n-1

20、4n-1 (A) ； (B)； n=14n=155n-154； (D)(+)n-1. 45n=14 其中为锥面z=x2+y2(0zh)的外侧； 其中xdydz+ydzdx+zdxdy(x+y+z)2223为曲面 (C)(-1)n=1n-1z(x-2)2(y-1)21-=+(z5169四、证明:3、下列级数中,收敛的是( ) 0的上侧 . xdx+ydy在整个xoy平面除去y的负半轴及 x2+y2(n!)23nn! (A)； (B)n； 2n=12nn=1n (C) pn=212sinpn； (D)n+1. n(n+2)n=1原点的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .

21、五、求均匀曲面z= 4、部分和数列sn有界是正项级数un收敛的 n=1a-x-y的重心的坐标 . 222rrrr六、求向量A=xi+yj+zk通过区域W:0x1, 0y1,0z1的边界曲面流向外侧的通量 . 七、流体在空间流动,流体的密度m处处相同(m=1), ( ) (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a为非零常数,则当( )时,级数 (A)r1； (B)r1； rn=1an收敛 . (C)r1. 6、幂级数(-1)n-1(x-1)nn的收敛区间是( ). n=1 (A) (0,2； (B) 0,2)； (C) (0,2； (D) 0,

22、2. 7、若幂级axnn的收敛半径为R1:0R1+; n=0bnnx的收敛半径为R2:0R20时,级数(-1)nk+n是( n=1n2) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k值无关. 9、limnun=0是级数un收敛的( ) n=1 (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 10、幂级数n(n+1)xn的收敛区间是( ) n=1 (A) (-1,1； (B) (-1,1； (C) (-1,1； (D) -1,1. 二、判别下列级数的收敛性: 2np2ncos 1、(n!)3n=12n2； 2、n=12n. 三、判别级数

23、(-1)nlnn+1n=1n的敛散性 . 1111四、求极限 lim239nn4827L(2n)3 . 五、求下列幂级数的收敛区间: 3n+5n1、xn； 2、1n2nn=nnx. n=12六、求幂级数xn的和函数 . n=1n(n+1) 七、求数项级数n2的和 . n=1n!八、试将函数1(2-x)2展开成x的幂级数. 九、设f(x)是周期为2p的函数,它在-p,p上的表达式为f(x)=0,x-p,0)ex,x0,p)将f(x)展开成傅立叶级数 . 十、将函数f(x)=1,0xh0,hxp分别展开成正弦级数 和余弦级数 . 十一、证明:如果f(x-p)=-f(x),f(x)以2p为周期, 则

24、f(x)的傅立叶系数 a0=0,a2k=0,b2k=0(k=1,2,L). 第八章 测 验 题 答 案 一、1、D； 2、C； 3、C； 4、A； 5、B； 6、B； 7、C； 8、A； 9、D； 10、D. 二、-103. 三、2. 四、310. y2z2六、=13+3. x=0x=3七、ty=-1+2t, x=3-tx=0y=0, y=-1+2t, z=0z=5+8tz=5+8t 14x+11y-z-26=0x-y+3z+8=0. 八、x-8y-13z+9=0. x=-1-12t九、y=-4+46t. z=3+t十、x+y+2z-4=0. 十一、2x+y-z+1=0x+y+z+1=0. 十

25、二、直线L,d=31与L2为异面直线3. 第九章 测 验 题 答 案 一、1、A； 2、B； 3、B； 4、B； 5、D； 6、C； 7、A； 8、A； 9、D； 10、B. 二、(1)当x+y0时,在点(x,y)函数连续； (2)当x+y=0时,而(x,y)不是原点时, 则(x,y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点. 三、1、z1,zlnxx=(lny)xlny-y=yxlny； 2、ux=f1+yf2+(yz+xyzx)f3, uy=xf2+(xz+xyzy)f3. 3、f=2xy3(x2+y2)2,x2+y20x(x,y), 0,x2+y2=0x2(x2-y2) fy)=(x2+y2

26、)2,x2+y20y(x,. o,x2+y2=0四、(ff21-yf(z)-1)dx-f2f(z)yf(z)-1dy. 五、xe2yfuu+eyfuy+xeyfxu+fxy+eyfu. 六、zx=(vcosv-usinv)e-u,zy=(ucosv+vsinv)e-u.七、fl=cosf+sinf, (1)f=p4(2)f=5p4(3)f=3p7p4及4 八、(45,35,3512). 九、切点(ab33,3,c3),Vmin=2abc. 第十章 测 验 题 答 案 1、D； 2、C； 3、A； 4、A； 5、B； 6、A； 7、A； 8、B,D； 9、B； 10、C. 二、1、p2-4032

27、9；2、64p； 3、p4R4+9pR2；4、52p. 三、1、23-x0dxxf(x,y)dy； 22、1dyy2x,y)dx+22y-y200f(1dy0f(x,y)dx； 3、aa0rdrrf(rcosq,rsinq)dq. 四、11z0dzzdy0f(x,y,z)dx. 五、1、p216-12502； 2、3p； 3、0. 六、1a2b2+b2c2+c2a22. 七、提示： F(x)=x0f(t)dt,则F(x)=f(x)且F(t)=10f(x)dx,F(0)=0第十一章 测 验 题 答 案 一、1、B； 2、C； 3、C； 4、C； 5、B； 6、C； 7、B； 8、C； 9、C；

28、10、B. 3(2+t2二、1、0)2-223； 2、pa2. 三、1、2parctgHR； 2、-p44h； 3、0. 四、u(x,y)=122ln(x+y2). 五、(0,0,a2). 六、3. 七、3215p,0. 第十二章 测 验 题 答 案 一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、C； 7、D； 8、A； 9、B； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛. 12n四、48. (提示:化成23+32+L+3n+L) 五、1、-1,155)； 2、(-2,2). 六、s(x)=1+(1-1)ln(1-x),x(-1,0)(0,1)x. 0,x=0七、2e. 八、1(2-x)2=n+1xn-1,x(-2,2) n=12n九、f(x)=ep-11(-1)nep-12p+pcosnxn=11+n2 +n(-1)n+1ep+1)n2+1sinnx, (-x+且xnp,n=0,1,2,L). 十、f(x)=21-cosnhpsinnx,x(0,h)(h,p)n=1n f(x)=h+2sinnhppcosnx,x0,h)(h,p) n=1n