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1、同济高等数学习题答案习题7-2 1. 设a=3i-j-2k, b=i+2j-k, 求 (1)ab及ab; 解 ab=31+(-1)2+(-2)(-1)=3, ijk ab=3-1-2 =5i+j+7k. 12-1 (2)(-2a)3b及a2b; 解 (-2a)3b =-6ab=-63=-18, a2b=2(ab)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k . (3)a, b夹角的余弦. 解 cos(a, b)=|ab|=3=3. |a|b|146221 2. 设a, b, c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求ab+bc+ca. 解 因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)(a+b+c)
2、=0, 即 aa+bb+cc+2ab+2ac+2ca=0, 于是 ab+bc+ca=-1(aa+bb+cc)=-1(1+1+1)=-3. 222 3. 已知M1(1, -1, 2), M2(3, 3, 1)和M3(3, 1, 3). 求与M1M2, M2M3同时垂直的单位向量. 解 M1M2=(3-1, 3+1, 1-2)=(2, 4, -1), M2M3=(3-3, 1-3, 3-1)=(0, -2, 2). ijk n=M1M2M2M3=24-1 =6i-4j-4k, 0-22 |n|=36+16+16=217, 所求向量为 e=1(6i-4j-4k)=1(3i-2j-2k). 21717
3、 4. 设质量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线称动到点M2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m, 重力方向为z轴负方向). 解 F=(0, 0, -1009. 8)=(0, 0, -980), S=M1M2=(1-3, 4-1, 2-8)=(-2, 3, -6), W=FS=(0, 0, -980)(-2, 3, -6)=5880(焦耳). 5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处, 有一与OP1成角q1的力F1作用着; 在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处, 有一与OP2成角q1的力F1作用着. 问q1, q2, x1, x2, |F1|,
4、 |F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ 解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为 x1|F1|sinq1-x2|F2|sinq2=0, 即 x1|F1|sinq1=x2|F2|sinq2. 6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影. 解 Prjba=aeb=ab=1ab |b|b|11(42-32+41)=2. (4, -3, 4)(2, 2, 1)=322+22+12 7. 设a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 问l与m有怎样的关系, 能使得la+mb与z轴垂直? =
5、 解 la+mb=(3l+2m, 5l+m, -2l+4m), la+mb与z轴垂la+mb k (3l+2m, 5l+m, -2l+4m)(0, 0, 1)=0, 即-2l+4m=0, 所以l=2m. 当l=2m时, la+mb与z轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证 设AB是圆O的直径, C点在圆周上, 则OB=-OA, |OC|=|OA|. 因为 ACBC=(OC-OA)(OC-OB) =(OC-OA)(OC+OA)=|OC|-|OA|2=0, 2所以ACBC, C=90. 9. 设已知向量a=2i-3j+k, b=i-j+3k和c=i-2j, 计算: (1)(ab)
6、c-(ac)b; 解 ab=21+(-3)(-1)+13=8, ac=21+(-3)(-2)=8, (ab)c-(ac)b=8c-8b=8(c-b) =8(i-2j)-(i-j+3k)=-8j-24k . (2)(a+b)(b+c); 解 a+b=3i-4j+4k, b+c=2i-3j+3k, ijk (a+b)(b+c)=3-44=-j-k. 2-33 (3)(ab)c . ijk 解 ab=2-31=-8i-5j+k, 1-13 (ab)c=-81+(-5)(-2)+10=2. 10. 已知OA=i+3j, OB=j+3k, 求DOAB的面积. 解 根据向量积的几何意义, |OAOB|表示
7、以OA和OB为邻边的平行四边形的面积, 于是DOAB的面积为 1 S=|OAOB|. 2 因为 ijk OAOB=103=-3i-3j+k, 013 |OAOB|=(-3)3+(-3)2+12=19, 所以三角形DOAB的面积为 1 S=|OAOB|=119. 22 12. 试用向量证明不等式: 222a12+a2+a3b12+b2+b32|a1b1+a2b2+a3b3|, 其中a1, a2, a3, b1, b2, b3为任意实数, 并指出等号成立的条件. 解 设a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 则有 ab=|a|b|cos(a, b)|a|b|, 于是 222a12+a2+a3b12+b2+b32|a1b1+a2b2+a3b3|, 其中当cos(a, b)=1时, 即a与b平行是等号成立.
