名师帮你元素与集合的关系.docx

2、B)-card(BIC)-card(CIA)+card(AIBIC). l 集合a1,a2,L,an的子集个数共有2 个；真子集有21个；非空子集有2 1个；非空的真子集有22个. l 集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射；二次函数，二次方程 l 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)=ax+bx+c(a0); (2)顶点式f(x)=a(x-h)+k(a0); (3)零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). l 解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式 22nnnnNf(x)Mf(x)-Mf(x)-N0 M+NM-Nf(x)-N

3、|0 |f(x)-22M-f(x)11. f(x)-NM-Nl 方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax+bx+c=0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或2f(k1)=0且k1-k+k2k+k2bb1-0时，若x=-bbp,q，则f(x)min=f(-),f(x)max=maxf(p),f(q)； 2a2a选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 bp,q，f(x

4、)max=maxf(p),f(q)，f(x)min=minf(p),f(q). 2abbp,q，则f(xmx=-p,q，则(2)当a0时，若x=-，若)i=minfp(f),qn2a2af(xm)a=maxfp()f，,qf(x)min)=minf(p),f(q). xx=-l 一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n)m2f(m)0f(n)0f(m)=0方程f(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0m-p0p2-4q0方程f(x)=0在区间(-,n)内有根的充要条件为f(m)0或p . -m2l 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间(-,+

5、)的子区间L上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL). (2)在给定区间(-,+)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL). a0a0恒成立的充要条件是b0或2. b-4ac0选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库简易逻辑 l 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 l 常见结论的否定形式原结论反设词原结论是不是至

6、少有一个都是不都是至多有一个大于不大于至少有n个小于不小于至多有n个对所有x，存在某x， p或q 成立不成立对任何x，不成立存在某x， p且q 成立反设词一个也没有至少有两个至多有个至少有个 p且q p或q l 四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非 l 充要条件充分条件：若pq，则p是q充分条件. 必要条件：若qp，则p是q必要条件. 充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 选校网

7、专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库函数 l 函数的单调性 (1)设x1x2a,b,x1x2那么 f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是增函数； x1-x2f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1-x2)f(x1)-f(x2)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0l 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这

8、个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0; l 若函数y=f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a)；若函数y=f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a). l 对于函数y=f(x)(xR),f(x+a)=f(b-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x=a+b;两个函数2a+b对称. 2al 若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)=-f(x+a),则函数y=f(x)2为周期为2a的周期函数. l 多项式函数P(x)=anxn+an-1xn-1+L+a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项

9、(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. l 函数y=f(x)的图象的对称性 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称f(a+x)=f(a-x) f(2a-x)=f(x). a+b(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=对称f(a+mx)=f(b-mx) 2f(a+b-mx)=f(mx). y=f(x+a)与y=f(b-x) 的图象关于直线x=l 两个函数图象的对称性 (1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称. (2)函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=(3)函数y=f

10、(x)和y=f-1a+b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称. l 若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)+b的图象；若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象. l 互为反函数的两个函数的关系 f(a)=bf-1(b)=a. l 若函数y=f(kx+b)存在反函数,则其反函数为y=1-1f(x)-b,并不是y=f-1(kx+b),而函数k选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 y=f-1(kx+b)是y=1f

11、(x)-b的反函数. kl 几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=c. (2)指数函数f(x)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=a0. (3)对数函数f(x)=logax,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(a0,a1). (4)幂函数f(x)=xa,f(xy)=f(x)f(y),f(1)=a. (5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx，f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)， f(0)=1,limx0g(x)=1. xl 几个函数方程的周期(约定a0) f(x)=f(x+a)，则

12、f(x)的周期T=a； f(x)=f(x+a)=0，或f(x+a)=或f(x+a)=-1(f(x)0)， f(x)11(f(x)0),或+f(x)-f2(x)=f(x+a),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a； 2f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)=1-f(x+a)f(x1)+f(x2)(4)f(x1+x2)=且f(a)=1(f(x1)f(x2)1,0|x1-x2|2a)，则f(x)的周期T=4a； 1-f(x1)f(x2)(5)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f

13、(x+4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x+a)=f(x)-f(x+a)，则f(x)的周期T=6a. 指数与对数 l 分数指数幂 (1)amn=1nam.(2)a*-mn=1amn. *l 根式的性质 (na)n=a.当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，nan=|a|=l 有理指数幂的运算性质 (1) aa=arsr+sa,a0. -a,a0,r,sQ). rsrs(2) (a)=a(a0,r,sQ). rrr(3)(ab)=ab(a0,b0,rQ). 注：若a0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. l 指数式与对数式的互

14、化式 plogaN=bab=N(a0,a1,N0). l 对数的换底公式选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0). logmann推论 logamb=logab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0). mlogaN=l 对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则 (1)loga(MN)=logaM+logaN;(2) loga(3)logaMn=nlogaM(nR). 2l 设函数f(x)=logm(ax2+bx+c)(a0),记

15、D=b-4ac.若f(x)的定义域为R,则a0，且D0，且D0.对于a=0的情形,需要单独检验. l 对数换底不等式及其推广 1,则函数y=logax(bx) a11 (1)当ab时,在(0,)和(,+)上y=logax(bx)为增函数. aa11)和(,+)上y=logax(bx)为减函数. ， (2)当a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则 logm+p(n+p)logmn.logamloganlogal 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y=N(1+p)x. 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 2m+n. 2n=

16、1s1,( 数列an的前n项的和为sn=a1+a2+L+an). an=s-s,n2nn-1数列 l 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(nN*)； n(a1+an)n(n-1)d1=na1+d=n2+(a1-d)n. 2222ann-1*l 等比数列的通项公式an=a1q=1q(nN)； q其前n项和公式为sn=其前n项的和公式为 a1(1-qn)a1-anq,q1,q1sn=1-q或sn=1-q. na,q=1na,q=111l 等比差数列an:an+1=qan+d,a1=b(q0)的通项公式为选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网

17、高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 b+(n-1)d,q=1an=bqn+(d-b)qn-1-d； ,q1q-1其前n项和公式为 nb+n(n-1)d,(q=1)sn=. d1-qnd(b-1-q)q-1+1-qn,(q1)l 分期付款(按揭贷款) ab(1+b)n每次还款x=元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1+b)-1三角函数 l 常见三角不等式若x(0,)，则sinxxtanx.(2) 若x(0,)，则1a(|a|1)x(2kp+arcsina,2kp+p-arcsina),kZ. sinxa(|a|1)x(2kp-arccosa,2kp+a

18、rccosa),kZ. cosxa(aR)x(kp+arctana,kp+p2),kZ. 选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 tanx0,b0,c0). a,bR+柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,a,b,c,dR. a-ba+ba+b. l 极值定理已知x,y都是正数，则有若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p；若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值12s. 4选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道

19、专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库推广已知x,yR，则有(x+y)2=(x-y)2+2xy 若积xy是定值,则当|x-y|最大时,|x+y|最大；当|x-y|最小时,|x+y|最小. 若和|x+y|是定值,则当|x-y|最大时, |xy|最小；当|x-y|最小时, |xy|最大. l 一元二次不等式ax2+bx+c0(或0)，如果a与ax+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. x1xx2(x-x1)(x-x2)0(x1x2)； 22xx2(x-x1)(x-x2)0(x1 0时，有 xa

20、x2a-axax2a2xa或xg(x)g(x)0 . f(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0. 或f(x)g(x)2g(x)0f(x)0f(x)0. f(x)1时, af(x)ag(x)f(x)g(x); f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0. f(x)g(x)(2)当0aag(x)f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0 f(x)0或0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 Ax+By+C0，若A0，Ax+By+C0或0或0所表示的平面区域上下两部分； (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)r点P在圆外;d=r点P在圆上;dr相离D0; d=r相切D=0; d0. 选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库其中d=Aa+Bb+CA+B22. l 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2=d dr1+r2外离4条公切线; d=r1+r2外切3条公切线;

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