《向量中的隐藏圆.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量中的隐藏圆.docx（11页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、向量中的隐藏圆寻找向量中的“隐藏圆” 浙江省东阳市顺风高级中学 刘光红 向量具有代数的运算性质和图形的直观感知功能，体现了数与形的结合，向量问题中有很多都具有它特有的几何意义，若能挖掘出问题本质，问题就会迎刃而解。其中寻找问题中的 “隐藏圆”就是一种常用的方法，这样既可以避免大量繁杂的运算，又可以直观的知道向量的变化趋势，进而轻松快速有效地解决问题。 若问题中给出两个运动着向量的夹角为定值，或者间接给出夹角为定值，或某两个向量差(或和)向量的模为定值等有关条件，求有关向量模或夹角的范围等问题，可以试着通过寻找向量终点所在的“隐藏圆”来解决问题。下面几例就是通过寻找“隐藏圆”来解决问题的。 rr
2、rrrrr例1若非零向量a、满足|a|=2，则向量a、 b，b夹角的最大值为 。|a-b|=1，rrrr解析：由|a-b|=1可知，向量b可以看作是与向量ar相同起点O，终点在以向量a的终点A为圆心的单位圆r上，如图1所示，显然向量b所在的直线与圆相切时，rrr即终点在点B处时，向量a、b夹角最大，由|a|=2，O rb rra-bra A B rrrpp图1 |a-b|=1，ABO=，易知AOB=，所以向量a、26rpb夹角最大值为。 6rrr评注：要想找到“隐藏圆”，首先要观察到|a-b|=1这个定值，即向量a终点固定rr后，同起点的向量b的终点在以a的终点为圆心的单位圆上运动。从而容易发
3、现两个向量夹角的变化情况，找到最大角。 rrruurr例2若非零向量a、b，满足|a|=1，|2a+b|=3，rrr则当向量a、b夹角最小时|b|的值为 。 rrr解析：由|2a+b|=3可知，向量b可以看作是与向量rr2a的终点O为起点，终点在以向量a的起点A为圆心，半rbB rr2a+b A arO 图2 r径为3的单位圆上，如图2所示，显然向量b所在的直线与圆相切时，即终点在点Brrrrrpp处时，向量a、b夹角最小，由|a|=1，|2a+b|=3，ABO=，易知AOB=，23rrr2p向量a、b夹角最小值为。此时|b|=1。 3rrrr评注：观察到|2a+b|=3这个定值，由三角形法则
4、向量b可以看作是以向量2a的r终点O为起点，终点在以向量a的起点A为圆心，半径为3的单位圆上的向量，找到rrr了这个“隐藏圆”，就容易发现向量a、b夹角的变化情况以及夹角最小时向量b终点所在的位置. urururur120例3已知|b|=1，a与b-a的夹角为，则|a|的范围是 。 ururuurrur解析：因为向量a与b-a的夹角为120，向量a的终点C urC可以看作以b的长AB为弦，且所对的圆周角为60的圆O上，由DABO顶角为120，底边|AB|=|b|=1，ura urgO urururb-a ur3可求圆的半径为，显然，当向量a过圆心O时，它的模3urur23最长，此时|a|=，当
5、a的起点和终点接近重合时，|a|接3A bB ur图3 近于0，所以|a|的范围为(0,ur23 3评注：由AB=|b|=1和ACB=60两个条件，利用同弧所对的圆周角相等可以找到ururur“隐藏圆”，显然，向量a的起点为A不动，终点D在圆上运动，|a|的取值范围一目了然。 rr例4已知a、b为平面内两个互相垂直的单位向量，若rrrrrr向量c满足(a-c)(b-c)=0，则c的最大值为 。 D rra-c C rrrrrrr解析：由ab和(a-c)(b-c)可知，向量c可以看作是rrrr与a、b共起点A，终点在以a-b为直径的圆上的向量，因为a、显然c最大值为该圆的直径2。 b为平面内两个
6、互相垂直单位向量，rrrrr评注：由(a-c)(b-c)找到“隐藏圆”，使向量c为起点A固定，而终点C在圆上游动的向量，显然最大的模长为2，解法简单直观。 rrrrrrrrrrrrr例5已知向量a、b、c满足|a|=|b|=ab=2，且(a-c)(b-2c)=0，则|b-c|的最小值为 。 rrrrrr解析：根据|a|=|b|=ab=2可知，向量a、b的A F rrrrp模长相等，夹角为，由(a-c)(b-2c)=0可知，向3rrrrrr1rr量a-c与向量b-2c垂直，即a-c与b-c垂直，如2rrrr图5所示，向量a、b、c起点相同，向量c的终点rra-c ra g M rr在以AD为直径
7、的圆M上。则|b-c|的大小即为|BC|长度的大小，显然当点C在BM连线与圆M的交点E、F处时，|BC|分别取得最小值和最大值。又rc 1rrb-c 2C E O D 图5 rb B rr377-37-3|BD|=1，|MD|=，所以|MB|=，|BE|=，所以|b-c|的最小值为 2222rrrrrr1rr评注：将向量a-c与向量b-2c垂直，转化为a-c与b-c垂直，从而找到“隐藏2r圆”，向量c的终点在该圆上运动，再转化为动点与定点的距离的最值问题， rrrrrrruurr1p例6已知|a|=|b|=1，ab=-，a-c与b-c的夹角为，则|c|的最大值23为 。 rrrr12p解析：由
8、已知ab=-可知，向量a、b夹角为，而23rrrrpa-c与b-c的夹角为，联想到四边形ABCD四点共圆，找D 3rrr到向量c终点所在的圆，当c过圆心时|c|最大。rra-c C ra A gO rb rcr由正弦定理可知该园的半径为1，所以|c|的最大值为2. rrrr评注：通过观察各个向量之间的关系，由a-c与b-c的rrb-c B 图6 夹角为p，向量动而夹角定，并且还有四点共圆的条件，容易找到“隐藏圆”，进而轻3松求解。 rrrruur1例7.已知|a|=1，|b|=2，向量b在a方向上的投影为，向量c满足2rrrrr(a-c)(b-c)=，则0|c|的取值范围 。 rrrrrrrr
9、r解析：由(a-c)(b-c)=0可知(a-c)(b-c)，找到向量c的终点D所在的圆，显然是以BC为直径的圆O，rrrr向量c的终点D在该圆周上运动，因为|a|=1，向量b在a方向C 上的投影为1，所以DABC为等腰三角形，2B rra-c D rrgO b-c uuur1rrr2。又|AO|=|a+b|，由模长R=BC=2R=|b|=，222uuur1rr2|(a+b)=1，又因为公式可以求得AO|=2ra rc A 图7 rb uuurruuurr22，所以,1+。 |AO-|R|c|A+O|cR|1-22rrrrrrrrrr评注：根据(a-c)(b-c)=0可以知道(a-c)(b-c)恒成立，向量c的终点在以a、r将问题转化为圆上的动点D与圆外一点的距离的最大值与b的终点为直径的圆上运动，最小值问题，进而求解。 从上面的几例可以看出，若向量问题中给出了动向量中夹角保持不变，或者模长保持不变，就可以试着找出运动向量终点所在的隐藏圆，从而使问题变得直观，清晰，给了问题以生机和活力。
