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1、含参数不等式的解法关于含参数的一元二次不等式的解法探究 高二数学组 盛耀建 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论，笔者认为这层“纸”捅破了，问题自然得到了很好的解决，在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类有一个非常好的方法，下面我们通过三个例子找出其中的奥妙！ 一二次项系数为常数 例1解关于x的不等式：x2+(a-2)x+a0. 解：x2+(a-2)x+a0 (*
2、) D=(a-2)2-4a0a4-23或a4+23， 此时两根为xa)+(a-2)2-4a)-(a-2)2-4a1=(2-2，x(2-a2=2. 当a0， (2-a)-a2(*)解集为(-,-8a+4-a)+a2-8a+42)(22,+)；当a=4-23时，D=0，(*)解集为(-,3-1)(3-1,+)； 当4-23a4+23时，D4+23时，D0， 2(*)解集为(-,(2-a)-a2-8a+4a+42)(2-a)+a-82,+). 二二次项系数含参数 例2解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+10. 解：若a=0，原不等式-x+11. 若a0x1. 若a0，原不等式(x-1a)(x-1
3、)1时，式(*)1ax1； 1a当0a1时，式(*)1x1a. 综上所述，当a0时，解集为xx1；当0a1；时，解集为x1x1时，解集为x1ax1. 例3解关于x的不等式：ax2+ax-10. 解：ax2+ax-10. (*) a=0时，(*)-10或a-4， -a+a+4a2a2此时两根为x1=，x2=2-a-a+4a2a-a+2. 2当a0时，D0，(*)-a-a+4a2axa+4a2a； 当-4a0时，D0，(*)xR； 当a=-4时，D=0，(*)xR且x-a+212； -a-a+4a2a2当a0，(*)xa+4a2a或x0时，解集为(-a-a+4a2a122,-a+a+4a2a2)；
4、 当-4a0时，解集为R； 当a=-4时，解集为(-,-)(-212,+); 当a0 解：(a2-1)x2+3ax+30 (*) a2-1=0a=1或a=-1； D=9a2-4(a2-1)3=0a=2或a=-2； 当a0且D0且D=0，(*)解集为(-,1)(1,+)； 当-2a0且D0， -3a-12-3a2(*)解集为(-,-3a+12-3a22a2-2)(2a2-2,+)； 当a=-1时，(*)-3x+30x1，(*)解集为(-,1)； 当-1a1时，a2-10， -3a-12-3a2(*)解集为(3a+12-3a22a2-2,-2a2-2)； 当a=1时，(*)3x+30x-1，(*)
5、解集为(-1,+)； 当1a0且D0， (*)解集为(-,-3a-12-3a2a+12-3a22a2-2)(-32a2-2,+)； 当a=2时，a2-10且D=0，(*)解集为(-,-1)(-1,+)； 当a2时，a2-10且D0，(*)解集为R. 综上，可知当a2时，解集为R；当a=-2时，(-,1)(1,+)； 当-2a-1或1a2时，解集为 3 (-,-3a-12-3a222a-2)(-3a+212-3a22a-2-3a-12-3a22,+)；当a=-1时，解集为(-,1)； 当-1a1时，(*)解集为(2a-2,-3a+212-3a22a-2)；当a=1时，(*)解集为(-1,+)；当a=2时，解集为(-,-1)(-1,+). 通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式D=0时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。 4
