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1、含参数不等式的解法含参数的不等式 一、解不等式问题 1解关于x的不等式 x2-4mx+4m2m+3 解：原不等式等价于 |x-2m|m+3 当m+30即m-3时， x-2mm+3或x-2m3m+3或x0 x-6 当m+30即m0的解集为A，B=x|1x3,AIBf，求实数a的取值范围。 点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。 3 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间-11，上有零点，求a的取值范围 解析：由函数f(x)的解析式的形式，对其在定区间上零点
2、问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就a=0和a0两类情况进行讨论。 答案：函数y=f(x)在区间-1，1上有零点，即方程f(x)=2ax2+2x-3-a=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解f(-1)f(1)0或af(-1)0af(1)0-3-7-3-7或a5a或a1. D=4+8a(3+a)01a5或a22-1-1.1a所以实数a的取值范围是a-3-7或a1. 2点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。 - 1 - 4
3、已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b 解关于a的不等式f(1)0 当不等式f(x)0的解集为时，求实数a,b的值 4解：f(1)=-3+a(6-a)+b =-a+6a+b-3 f(1)0 -a+6a+b-30的解集为；- 4分 当b-6时，3-b+6a0的解集为x|3-b-6a0的解集为 f(x)0与不等式(x+1)(x-3)0同解 3x2a(6-a)x-b0恒成立，求实数m的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于f(x)0在给定区间a，b上恒成立问题可以转化成为f(x)在a，b上的
4、最小值问题，若f(x)中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由()fcos2q+2msinq+f(-2m-2)0()得到：fcos2q+2msinq-f(-2m-2) 因为f(x)为奇函数， 故有fcos2q+2msinqf(2m+2)恒成立， 又因为f(x)为R减函数， t=m g(t) ()()p从而有cosq+2msinq0对于t(0,1)恒成立， o 1 t 图1 在设函数g(t)=t2-2mt+2m+1,对称轴为t=m. 当t=m0时，g(0)=2m+10， 即m-g(t) t=m t 1，又m0 2g(t) o 1 t=m 图2 1m0(如图1) 2当t=m0,1，即0m1时
5、, D=4m2-4m(2m+1)0,即m2-2m-10, 1-2m1时，g(1)=1-2m+2m+1=20恒成立. m1(如图3) 故由可知：m- 1 t o 图3 1. 2- 3 - 变式一：条件改为：若fk3x+f3x-9x-20，即f(x)在上是增函数。 故t的取值范围是t5. 数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化因此，更要重视转化的数学思想 三、能成立问题(部分成立) 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立, 即f(x)A在区间D上能成立, f(x)max A 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立, - 4 - 即f(x)A在区间D上能成立, f(x)min -1 2,令f(x)=0得x=-2(舍),0 1+x当x0,1时f(x)0,故f(x)为增函数f(x)=2(1+x)-1. f(x)min=f(0)=1m1,即m的最小值为- 6 -
