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1、因数和倍数难题第二讲 约数与倍数 基础知识 分解质因数的方法，掌握约数个数和约数和的求法和具体意义。 设自然数n的质因子分解式如n= p1a1 p2a2.pkak那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1) n的所有约数和： 最大公约数和最小公倍数的求法。 短除法，分解质因数法，辗转相除法。分数最小公倍数和最大公约数的求法。 约数与倍数的相关性质：两个数的公约数是它们最大公约数的约数；两个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数；(a,b)a,ba,b；(a,b)a,b=ab。 例题 1. 求(68, 142)；68, 142；(160, 2180, 3524)；160, 2
2、180, 3524。 分析与解答：(68, 142)2， 68, 1424828 (160, 2180, 3524) 4 160, 2180, 352415364640 2. 分数1113917、的最大公约数是_；最小公倍数是_；。 361442201113917、） 712803614422031161113917 1、 436144220分析与解答：18个。 180的约数的和为：546 因为72024325 720的奇约数的个数为：6 720的奇约数的和为：78 4. 120中，有_个数的约数之和是4的倍数； 分析与解答： 3，；6，；12， 7，；14，；11，；19， 15， 共有8个
3、。 5. 7663和81 的最大公约数最大是_，最小公倍数最小是_； 分析与解答：76637997 81489784. 所以最大公约数最大是97. 因为 791038137 81489784，所以最小公倍数最小是799784643692 6. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540。这样的自然数一共有_组； 分析与解答：设这两个数是6a，6b，且=1.那么6ab540，可得ab=90. a=1,b=90或a=2,b=45或 a=5,b=18或 a=9,b=10.共四组。 7. 两个自然数的和是99，它们最大公约数和最小公倍数的和是231，那么这两个数分别是_、_； 分析与解答：设这两数
4、的最大公约数是m,这两数分别为ma,mb. 最小公倍数是mab，那么 mambm(a+b)=99 m+mab=m(1+ab)=231 从以上式子可看出：m为99与231的公约数，且m必为奇数。所以m=1,3,5,9,231. 33，所以m为33的约数，m=33，11，3.这样就可以得到： 当m=33时，a+b=3, 1+ab=7，不成立。 当m=11时，a+b=9, 1+ab=21,此时a=4,b=5. 所以这两个数分别是44，55. 8. 5位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只
5、有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问: (1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数? (2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数. 分析与解答： (1)根据2号15号同学所述结论同学所述结论,将合数学4,6,，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论. 4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=223,14=27,15=35 由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求). (2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也
6、就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是 223571113=60060 因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060. 9. 已知a与b的最大公约数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组? (例如:a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组) 分析与解答：先将12、300分别进行质因数分解： 12=23 2 300=235 22(1)确定a的值.依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300). (2)确定b的值.
7、 当a=12时,b可取12,或125,或1225； 当a=60,300时，b都只能取12. 所以,满足条件的a、b共有5组： a=12 a=12 a=12 a=60 a=300 b=12, b=60, b=300, b=12, b=12. (3)确定a,b,c的组数. 对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值： 5，52，52，53，523，523，即25，50，100，75，150，300. 所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30 习题： 1. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_块. 分析与解答： 依题意，正方体的棱长应
8、是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块 22222222126126126967 =142118=5292(块) 2. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_分钟又同时发第二次车. 分析与解答： 依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数. 因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车. 3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_粒. 分析与解答： 依题意得 花生总粒数=12第一群猴子只数 =15第二群猴子只数 =20第三群猴子只数 由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,，那么 第一群猴子只数是5，10，15， 第二群猴子只数是4，8，12， 第三群猴子只数是3，6，9， 所以，三群猴子的总只数是12，24，36，.因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.
