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1、1.问题的引入,4.3 泰勒(Taylor)级数,2.泰勒级数展开定理,3.简单初等函数的泰勒展开式,4.小结,一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。,1.问题的引入,问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,幂级数性质回顾：,定理（泰勒级数展开定理）,2.泰勒(Taylor)级数展开定理,代入(1),分析：,联合(I),(II),(*)式,证明：,注：,(2)展开式的唯一性,分析：设f(z)用另外的方法展开为幂级数:,直接法,间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数 运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开,函数展开成Taylor级数的方法：,3.简单初等函数的泰勒展开式
2、,例1,解：,直接法,间接法,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:,解：,(2)由幂级数逐项求导性质得：,注:通过奇点判断收敛范围。,4.小结：F(z)在z0点解析,1.引入,4.4 罗朗(Laurent)级数,2.双边幂级数,3.Laurent级数展开定理,4.函数的Laurent级数展开式,5 小结,回顾：f(z)在z0解析,思考：若 f(z)在z0点不解析，但在圆环域:R1z-z0R2 内解析，那么，f(z)能 否用级数表示呢？,1.引入,f(z)在z0的某一个 圆域z-z0R 内展开成 z-z0的幂级数。,例：,由此推想，若f(z)在R 1z-z0R2 内解析,f(z)可以展开成含有
3、负幂次项的级数,即,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。,2.双边幂级数,-含有负幂项的级数,定义 形如,-双边幂级数,负幂项部分,正幂项(包括常数项)部分,是一幂级数，设收敛半径为R2，收敛域：z-z0R2。,收敛域：,注：,(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,3.洛朗级数展开定理,定理,(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把f(z)展成洛朗（Laurent）级数来展开。,级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主
4、要部分。,(3)展开式的唯一性,一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。,分析：,由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要用间接法。,例1,解,4 函数的Laurent级数展开式,例2,解,例3,解,例4,解:,无奇点,注意首项,解(1)在(最大的)去心邻域,例5,(2)在(最大的)去心邻域,练习：,(1)Laurent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求收敛半径R,找出收敛域。Laurent级数先求 f(z)的奇点，然后以 z0为中心 奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z)解析的环域，在环域上展成级数。,5 小结,(3)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成 洛朗(Laurent)级数。,(1)对于无理函数及其它初等函数的洛朗展开式，可以利用已知基本初等函数的泰勒展开式，经过代换、逐次求导、逐次积分等计算获得。,(4)把f(z)展成洛朗级数的方法：,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,ENDING,THANKS,
