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1、圆中成比例的线段圆中成比例的线段 知识考点： 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。 2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题： 已知如图，AD为O的直径，AB为O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB2。求： BC的长； O的半径r。 分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：设BMMNNCx，由切割线定理可得：AB=BNBM 即22=x(x+x)解得：x=BC3x=32； 2，MNCDO2B在RtABC中，ACBC2-AB2
2、=14 由割线定理可得：CDAC=CNCM CD=ACNCM214 =AC7例1图 r=11214514(AC-CD)=(14-)= 22714如图，PA为O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA10，PB5，BAC的平分线与BC和O分别交于点D和E，求ADAE的值。 分析：由切割线定理有PA=PBPC，可得直径BC的长，要求ADAE，由ACEADB得ADAE=CABA，也就是求CA、BA的长。 解：连结CE PA是O的切线，PBC是O的割线 PA=PBPC 又PA10，PB5，PC20，BC15 PA切O于A，PABACP 又P为公共角，PABPCA 22ABPA101= ACPC20
3、2A222BC为O的直径，CAB900 AC+AB=BC=225 CODBPE例2图 AC65，AB35 又ABCE，CAEEAB ACEADB，ABAD= AEACADAE=ABAC=6535=90 如图，AB切O于A，D为O内一点，且OD2，连结BD交O于C，BCCD3，AB6，求O的半径。 分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。 解：延长BD交O于E，两方延长OD交O于F、G，设O的半径为r BA切O于A，AB=BCBE AB6，BC3，BE12，ED6 E又FDDG=EGDC，FDrOD，DGrOD (r+OD)(r-OD)=63，OD2 G2FDACOBr-2
4、=18，r=2222 例3图 探索与创新： 如图，已知AB切O于点B，AB的垂直平分线CF交AB于C，交O于D、E，设点M是射线CF上的任一点，CMa，连结AM，若CB3，DE8。探索： 当M在线段DE上时，延长AM交O于点N，连结NE，若ACMNEM，请问：EN与AB的大小关系。 分析：如图1，由ACMNEM可得NEM900，连结BO并延长交EN于G，可证BO垂直平分EN，即可证明ENAB，结论就探索出来了。 解：AB的垂直平分线CF交AB于C，CB3 AB6，ACM900 N 又ACMNEM，NEM900 O连结BO并延长交EN于点G BG0CB切O于B，GBC90 DMCEF GBCBC
5、EGEC900 A四边BCEG是矩形 EGB900，G为NE的中点 问题图1 EN2EG2CB6AB 如图，当M在射线EF上时，若a为小于17的正数，问是否存在这样的a，使得AM与O相切？若存在，求出a的值；若不存在，试说明理由。 分析：先满足AM与O相切，求出相应的a值，看它是否是小于17的正数即可。 解：当AM与O相切于点P时，有MPAMAPAMABAM6 MCa，AC3，ACM900 AMa2+9，又MDMCCDa-1 BOMEMCCEa-9，MP=MDME CA2DEMF问题图2 (a2+9-6)2=(a-1)(a-9) 2即11a-180a=0，解得a=180 11018017 11
6、存在这样的正数a，使得AM与O相切。 跟踪训练： 一、选择题： 1、PT切O于T，割线PAB经过O点交O于A、B，若PT4，PA2，则cosBPT A、4133 B、 C、 D、 52842、如图，四边形ABCD内接于O，ADBC12，AB35，PD40，则过点P的O的切线长是 A、60 B、402 C、352 D、50 PCACCDADOOBPABQBTP第2题图 第3题图 第4题图 3、如图，直线PQ与O相切于点A，AB是O的弦，PAB的平分线AC交O于点C，连结CB并延长与PQ相交于Q点，若AQ6，AC5，则弦AB的长是 A、3 B、5 C、1024 D、 354、如图，PT切O于T，P
7、BA是割线，与O的交点是A、B，与直线CT的交点是D，已知CD2，AD3，BD4，那么PB A、10 B、20 C、5 D、85 二、填空题： 1、如图，PA切O于A，PB4，PO5，则PA 。 2、如图，两圆相交于C、D，AB为公切线A、B为切点，CD的延长线交AB于点M，若AB12，CD9，则MD 。 ACCMBDPBODAMAOB第1题图 第2题图 第3题图 3、如图，O内两条相交弦AB、CD交于M，已知ACCMMD，MB1AM1，则2O的半径为 。 4、如图，在ABC中，ABAC，C720，O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC5-1，则AC 。 AAODB
8、CCOB第6题图 第4题图 5、已知O和O内一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PAPB=24，OP5，则O的半径长为 。 6、如图，在RtABC中，C900，AB13，BCa，ACb，半径为1.2的O与AC、BC相切，且圆心O在斜边AB上，则a 。 三、计算或证明题： 1、如图，已知RtABC是O的内接三角形，BAC900，AHBC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交O于点F，且AEBE。 求证：AB=AF； 若BEEF=32，AD6，求BD的长。 2、如图，AB是O的直径，AC切O于A，CB交O于D，DE切O于D，BEDE于E，BD10，DE、BE是方程x-2(m+2)x+2m-m
9、+3=0的两个根22b(DEBE)，求AC的长。 AFCDEDCBEDOCAHOBAHOEBPF第1题图 第2题图 第3题图 3、如图，P是O直径AB延长线上一点，割线PCD交O于C、D两点，弦DFAB于点H，CF交AB于点E。 求证：PAPB=POPE； 若DECF，P150，O的半径为2，求弦CF的长。 4、如图，O与P相交于A、B两点，点P在O上，O的弦AC切P于点A，CP及其延长线交P于D、E，过点E作EFCE交CB的延长线于F。 求证：BC是P的切线； 若CD2，CB22，求EF的长； 若设kPECE，是否存在实数k，使PBD是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
10、BFCODAPE第4题图 跟踪训练参考答案 一、选择题：AACB 二、填空题： 1、26；2、3；3、三、计算或证明题： 1、略；23；10；4、2；5、7；6、8或9 275； 822、略解：由已知可得DE+BE=2(m+2)，DEBE=2m-m+3 又DE+BE=10 2(m+2)-2(2m2-m+3)=100 2222 解得：m=5，故BE8，DE6 15 275 由ADCBED可得：AC 8 由ADBDEB可得：AD3、提示：连结OD，证PCEPOD得POPE=PCPD=PAPB；证ODE150得HDOEDC300，OD2，则DH3，DE6，CE2。CFCEEF6+2 4、连结PA、PB，证PBC900；EF2；存在k=为等边三角形。 1，使PBD3
