《圆的切点弦方程的九种求法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆的切点弦方程的九种求法.docx（9页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、圆的切点弦方程的九种求法圆的切点弦方程的解法探究 在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。 一、预备知识： 1、在标准方程 下过圆上一点P与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。 223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 外一点P外一点22Pxx1+yy1+Dx+x1y+y1。 +E+F=022二、
2、题目 已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P，过点P作圆y的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。 三、解法 A解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k，那么过点P的切线x方程为：y-(-1)=kx-(-4) B 即 kx-y+4k-1=0 POkx-y+4k-1=0由 2 消去y并整2x+y-2x-4y-4=0理得 1(1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 2222令 D=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 15解得 k=0或k= 8 1 1528分别代入解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A
3、(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。 将k=0或k=解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k，那么过点P的切线方程为： y-(-1)=kx-(-4) 即 kx-y+4k-1=0 由圆心C(1,2)到切线kx-y+4k-1=0的距离等于圆的半径3，得 |k1-2+4k-1|k2+(-1)2=3 解得 k=0或k=158所以切线PA、PB的方程分别为：15x-8y+52=0和y=-1 从而可得切点 A(-285817,17)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。
4、 解法三：用夹角公式求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k，根据已知条件可得 |PC|=1-(-4)2+2-(-1)2=34 ，r=3，k2-(-1)3PC=1-(-4)=5在RtDPAC中，|PA|=5，tgCPA=35 k-3由夹角公式，得 5=3 1+355k解得 k=0或k=158所以切线PA、PB的方程分别为：15x-8y+52=0和y=-1 从而可得切点 A(-285817,17)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。 解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1，根据已知条件可得 |PC|=1-(-4)2+2-(-1)2
5、=34 ，r=3，k2-(-1)PC=1-(-4)=35 2 在RtDPAC中，|PA|=5，AHPC，从而可得 l=由定比分点公式，得 H(-又因为 kABPH25= HC9y1141,) 343415=-=- kPC3AHOCx再根据点斜式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。 2解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一 如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P为圆心|PA|为半径的圆C与圆x2+y2-2x-4y-4=0的交点的直线，由切线长公式得 22|PA|=、C为直径端点的圆的方程为 Ax-(-4)(x-1)+y-(-1)(y-2)=0 即 x2+y2
6、+3x-y-6=0 根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 5x+3y-2=0 HCx即 直线AB的方程为：5x+3y-2=0。 P解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 3设切点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为 xx1+yy1-2x+x1-4y+y1-4=0 和 22x+x2y+y2xx2+yy2-2-4-4=0 22因为P是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得 C1OB5x1+3y1-2=0 5x+3y-2=022由式知，直线 5x+3y-2=0经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)， 所以，直线AB的方程
7、为：5x+3y-2=0。 解法八：直接运用圆的切点弦方程 因为P是圆x+y-2x-4y-4=0外一点，根据切点弦所在直线的方程xx1+yy1+Dx+x1+Ey+y1+F=0 得 2222 3 x+y+-4-4=0 22整理得，直线AB的方程为：5x+3y-2=0。 -4x+y-2解法九：运用参数方程的有关知识 如图4，将圆的普通方程x2+y2-2x-4y-4=0 化为参数方程： x=1+3cosq y=2+3sinq设切点A的坐标为，由PACA得 (2+3sinq)-(-1)(2+3sinq)-2=-1化简，整理得 (1+3cosq)-(-4)(1+3cosq)-15cosq+3sinq+3=0 y2-(-1)3= 又因为kPC=1-(-4)5A15q kAB=-=- kPC3C可设直线AB的方程为5x+3y+c=0，O将点A代入并BP整理，得 411+c=0 5cosq+3sinq+3 x11+c=3，从而得 c=-2 3所以，直线AB的方程为：5x+3y-2=0 由式和知， 4
