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1、圆锥曲线高考数学必胜秘诀在哪？ 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如已知定点F1
2、(-3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A2PF1+PF2=4 BPF1+PF2=6 C2PF1+PF2=10 2DPF1+PF22；方程(x-6)2+y2-=12(x+6)+y=8表示的曲线是_ 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q(22,0)及抛物线y=x24上一动点P,则y+|PQ|的最小值是_ 2.圆锥曲线的标准方程在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
3、 椭圆：焦点在x轴上时xa2222+yb2222=1acosj，焦点在y轴上时yxab圆的充要条件是什么？。如已知方程2211xy；若+=1表示椭圆，则k的取值范围为_223+k2-k22221。方程Ax+By=C表示椭且3x2+2y2=6，则x+y的最大值是_，x+y的最小值是_ x,yR，双曲线：焦点在x轴上：22xa522-yb22 =1，焦点在y轴上：ya22-xb221。方程Ax+By=C表示双曲线的充要条件是什么？。如双曲线的离心率等于的方程_设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，-y=1）2的双曲线C过点P(4,-10)，则C的方程为_ 22抛物线：开口向右时y=2px(
4、p0)，开口向左时y=-2px(p0)，开口向上时x2=2py(p0)，开口向下时x2=-2py(p0)。 3.圆锥曲线焦点位置的判断： 椭圆：由xx22,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程32m-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_双曲线：由x,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭
5、圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；在椭圆中，a最大，a2=b2+c2，在双曲线中，c最大，c2=a2+b2。 4.圆锥曲线的几何性质： ：范围：-axa,-byb；+2=1为例）2ab焦点：两个焦点(c,0)；对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心，四个顶点(a,0),(0,b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线x=离心率：e=若椭圆x2椭圆1055+y2m=1的离心率e=，则m的值是_；以椭圆上一点22）和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_，22双曲线为例）：范围：x-a或xa,yR；两个顶点(a,0)，其中实
6、轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2-y2=k,k0；准线：两条准线x=心率：e=caa2c； 离，双曲线e1，等轴双曲线e=ba2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：y=双曲线的离心率等于_双曲线的渐近线方程是3x2y=0，则该132或13322）；双曲线ax-by=1的离心率为5，）；设双曲线xa22-yb22=1中，离心率e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_抛物线：范围：x0,yR；焦点：一个焦点(p2,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y=0，没有p2对称中心，只有一个顶点；准线：一条准
7、线x=-； 离心率：e=ca，抛物116a线e=1。如设a0,aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为_xa22+yb22点P(x0,y0)在椭圆=1的关系：x0a22+yb2022点P(x0,y0)在椭圆上1；+y0b221；点P(x0,y0)在椭圆+20直线与椭圆相交； D0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有D0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故D0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；D0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有D0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故D0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但
8、不是必要条件。如若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值x0y0范围是_；直线ykx1=0与椭圆x25+y2mx=1恒有公共点，2则m的取值范围是_）；过双曲线12焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线有_条； 相切：D=0直线与椭圆相切；D=0直线与双曲线相切；D=0直线与抛物线相切； 相离：D0直线与椭圆相离；D0直线与双曲线相离；D0直线与抛物线相离。 特别提醒：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果-y2=1的右直线与抛物线的轴平行时,直
9、线与抛物线相交,也只有一个交点；过双曲线-212ab外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且x2y2不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线
10、有_；过点(0,2)与双曲线x29-y216=1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范245y42围为_过双曲线x-=1的右焦点作直线l交双曲线）233于A、B两点，若AB=4，则满足条件的直线l有_条；对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y00)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2F1F2=0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 ；椭圆x-y=4）22x29+y24F2，点P为椭圆上的动点，当PF2 PF1 =1的焦点为F1、双曲线的虚轴,)）550中，以)。如如果椭圆x236+y29=1弦被点A平分，那么这条弦所在的直线方程是 已知直线y=x+1与椭圆x+2y-8=0）+yb22B两
11、点，=1(ab0)相交于A、22且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_；4+y23=1上有不同的两点关于直线y=4x+m对称）； 特别提醒：因为D0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验D0！ 12你了解下列结论吗？ 双曲线xa22-yb22=1的渐近线方程为xa22-yb22=0； 以y=xa22ba22yx为渐近线的双曲线方程为2ab-yb22=l(l为参数，l0）。如与双曲线4x92x29-y216且过点(-3,23)=1有共同的渐近线，的双曲线方程为_ 22中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx+ny=1
12、； 椭圆、双曲线的通径为相应准线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p； c通径是所有焦点弦中最短的弦； 若抛物线y=2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|=x1+x2+p；x1x2=p222ba2，焦准距若OA、OB是过抛物线y=2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0) 13动点轨迹方程： 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0；如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求P的轨迹方程； 2待定系数法：
13、已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M(m0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 ； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆x2+y2=1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60，则动点P的轨迹方程为 2022 ；点M22与点F(4,0)的距离比它到直线l：x+5=0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_ ；(3) 一动圆与两圆M：x+y=1和N：x+y-8x+12=0都外切，则动圆圆心
14、的轨迹为 ； 代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线y=2x2+1上任一点，定点为A(0,-1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为_； 参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP|=|MN|，求点P的轨迹。；若点P(x
15、1,y1)在圆x2+y2=1上运动，则点Q(x1y1,x1+y1)的轨迹方程是_；过抛物线x=4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是_； 注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆+2=1(ab0)的左、右焦2ab点分别是F1、F2，Q是椭圆外的动点，满足x22y2|F1Q|=2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PTTF2=0,|TF2|0.设x为点P的横坐标，证明|F1P|=a+cax；求点T的轨迹C
16、的方程；试问：2在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=b.若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. 略；x+y=a；当当b2222b2ca时不存在；ca时存在，此时F1MF22） 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的
17、点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： rr 给出直线的方向向量u=(1,k)或u=(m,n)； 给出OA+OB与AB相交,等于已知OA+OB过AB的中点; r给出PM+PN=0,等于已知P是MN的中点; rr 给出以下情形之一：AB/AC；存在实数l,使AB=lAC；若存在实uuuruuuruuur数a,b,且a+b=1,使OC=aOA+bOB,等于已知A,B,C三点共线. 给出AP+AQ=lBP+BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线; () 给出OP=AP=lPB OA+lOB1+l，等于已知P是AB的定比分点，l为定比，即 给出
18、MAMB=0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMB=m0,等于已知AMB是锐角, MAMB给出l+=MP,等于已知MP是AMB的平分线/ MAMB在平行四边形ABCD中，给出(AB+AD)(AB-AD)=0，等于已知ABCD是菱形; 矩形; uuuruuuruuuruuur 在平行四边形ABCD中，给出|AB+AD|=|AB-AD|，等于已知ABCD是222在DABC中，给出OA=OB=OC，等于已知O是DABC的外心； 在DABC中，给出OA+OB+OC=0，等于已知O是DABC的重心； 在DABC中，给出OAOB=OBOC=OCOA，等于已知O是DABC的垂心； uuuruuurABAC在DABC中，给出OP=OA+l(uuur+uuur)(lR+)等于已知AP通过|AB|AC|DABC的内心； 在DABC中，给出aOA+bOB+cOC=0,等于已知O是DABC的内心； 在DABC中，给出AD=线; uuurruuur1uuuAB+AC,等于已知AD是DABC中BC边的中2()
