圆锥曲线综合训练题.docx

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1、圆锥曲线综合训练题圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 、已知双曲线Cx2y211与椭圆C2：36+49=1有公共的焦点，并且双曲线的离心率e1与椭圆的离心率e72之比为3，求双曲线C1的方程 以抛物线y2=8x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程 解：C1的焦点坐标为(0,13).e13e2=7由1e=73得e131=设双曲线的方程为2322y2a+b=13a2-x2b2=1(a,b0)则a2+b213 解得a2=9,b2=4 双曲线的方程为y2-x2=1 a2=994x0+6解：设点M(x)，则x=2，x0=2x-60,y0),P(x,y y=y0y0=2

2、y2代入y220=8x0得：y=4x-12此即为点P的轨迹方程 2、DABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=35sinA,求点A的轨迹方程 解： 以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为(x，y)，由GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因a=10，c=8，有b=6，故其方程为x2y2100+36=1(y0)设A(x，y)，G(x，y)，则x2x=x100+y236=1(y0) 由题意有3，代入，得A的轨迹方

3、程为x2+y2=1(y9000)，y=y3243其轨迹是椭圆 分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R，可转化为边长的关系 解：sinC-sinB=335sinA 2RsinC-2RsinB=52RsinA AB-AC=35BC 即AB-AC=6 点A的轨迹为双曲线的右支 2a=6，2c=10 a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为x2y29-16=1 点评：要注意利用定义直接解题，这里由式直接用定义说明了轨迹 3、如图，两束光线从点M分别射向直线y= -2上两点P和Q后，x2y2反射光线恰好通过椭圆C：1a2+b2=1的两焦点，已知椭圆的离心率为2，且x62

4、-x1=5，求椭圆C的方程. 解：设a=2k，c=k，k0，则b=3k，其椭圆的方程为x2y24k2-3k2=1. 由题设条件得：0+21-k-x=(-2)， 1-4-x10+2-k-x=1-(-2)， 2-4-x2x62-x1=5， 由、解得：k=1，x11x21=-5，x2=-1，所求椭圆C的方程为4+y23=1. 4、在面积为1的DPMN中，tanM=12，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程 解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y) y=-2,x=5则x-c3cy=1,即x+c2y=4c且c=3所求椭圆方程为32cy=1

5、.4x2215+y3=1 25P(5212a2+42=1,21523,3)3b得a=4, a2-b2=34,b2=3.5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为 求线段PQ的中点的轨迹方程；设POQ的平分线交PQ于点R，求点R的轨迹方程 解：设线段PQ的中点坐标为M，由Q可得点P，代入圆的方程x2+y2=4可得2+2=4，整理可得所求轨迹为2+y2=1. 设点R，P，由已知|OP|=2，|OQ|=4，|OP|1|OQ|=2，由角平分线性质可得|OP|OQ|=|PR|RQ|=12，又点R在线段PQ上，|PR|=12|RQ|，点R分有向线段PQ的比1m+4x=22m+41=3为1m=

6、3x-42，由定比分点坐标公式可得1+2，即2，点P的坐标为3yn+102nn=2y=2=1+1323x-43y3x-4222, 2，代入圆的方程x2+y2=4可得23y+2=4， 22 即x-43+y2=169. 点R的轨迹方程为x-43+y2=169. 6、已知动圆过定点(1,0)，且与直线x=-1相切.(1) 求动圆的圆心轨迹直线l，使l过点，并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OPuuuvC的方程；(2) 是否存在OQuuuv=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：如图，设M为动圆圆心， F(1,0)，过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：MF=MN， 即动点M

7、到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(1,0)为焦点，x=-1为准线， 动点R的轨迹方程为y2=4x 由题可设直线l的方程为x=k(y-1)(k0)， 由x=k(y-1)2y2=4x得y-4ky+4k=0 =16k2-160，k1 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1+y2=4k，y1y2=4k 由uOPuuruOQuur=0，即 uOPuur=(xuuur1,y1)，OQ=(x2,y2)，于是x1x2+y1y2=0， 即k2(yy2221-1)(y2-1)+1y2=0，(k+1)y1y2-k(y1+y2)+k=0， 4k(k2+1)-k2g

8、4k+k2=0，解得k=-4或k=0， 又k=-40). 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/，B/2k2+1,k2+1）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=1+5251+2,p=5.所以直线L的方程为：y=52x,抛物线C的方程为y2=455x. x2y210、已知椭圆a2+b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|=2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PTTFP的横坐标，证明|Fc2=0,|TF2|0.设x为点1P|=a+ax；求点T的轨迹

9、C的方程；试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=b2.若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. 证法一：设点P的坐标为(x,y). 由P(x,y)在椭圆上，得 |FP|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2-b221a2x=(a+cax)2.由xa,知a+cax-c+a0，所以 |Fc1P|=a+ax.3分 证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|=r1,|F2P|=r2, 则r1=(x+c)2+y2,r2=(x+c)2+y2. 由r=4cx,得|Fc1+r2=2a,r21-r221P|=r1=a+ax. 证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线

10、方程为a+cax=0. 由椭圆第二定义得|F1P|c，即|Fca2c1P|=|x+|=|a+x|. +a2=|xaacac|由x-a,知a+cax-c+a0，所以|Fc1P|=a+ax.3分 解法一：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|=0时，点和点在轨迹上. 当|PT|0且|TF2|0时，由|PT|TF2|=0，得PTTF2. 又|PQ|=|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在QF1F2中，|OT|=1|F1Q|=a，所以有x2+y22=a2. 综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|=0时，点和点在轨迹上. 当|PT|0且|

11、TF2|0时，由PTTF2=0，得PTTF2. 又|PQ|=|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. x+c设点Q的坐标为，则x=2, yy=2. 因此x=2x-c, y=2y. 由|F2221Q|=2a得(x+c)+y=4a. 将代入，可得x2+y2=a2. 综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.7分 解法一：C上存在点M使S=b的充要条件是 x2+y2=a200, 122c|y2 0|=b. 2 由得|yb20|a，由得|y0|c. 所以，当abc时，存在点M，使S=b2； 当2ab时，不存在满足条件的点M.11分 c 当ab2c时，MF1=(-c-x0,-y0),MF2=(c-x

12、0,-y0)， 由MF1MF2=x20-c2+y20=a2-c2=b2， MF1MF2=|MF1|MF2|cosF1MF2， S=12|MF1|MF2|sinF1MF2=b2，得tanF1MF2=2. 解法二：C上存在点M使S=b2的充要条件是 x22 0+y0=a2, 122c|y20|=b. 由得|yb20|c. 上式代入得x22b4b2b20=a-c2=(a-c)(a+c)0. 于是，当2abc时，存在点M，使S=b2； 当2ab时，不存在满足条件的点M.11分 c 当2abc时，记kky0y01=F1M=x,k2=kF2M=， 0+cx0-c 由|F1F2|2a,知F1MF20符合题意

13、，2x+4y-3=0为所求 将y1-y2x=2代入得所求轨迹方程为： x+4y=0 1-x2将y1-y2x-x=y-1代入得所求轨迹方程为： x2+2y2-2x-2y=012x-2由得 ： x2+x2122+(y221+y2)=2， ， 将平方并整理得 x22 ， y221+x2=4x2-2x1x2， 1+y2=4y2-2y1y2， 将代入得： 4x2-2x1x24+(4y2-2y1y2)=2， 再将y-12x得： 2x2-x211y2=1x2代入式1x2+4y-2-2x1x2=2， 即 x2+y21=1 2此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 2213、椭圆C

14、:xa2+yb2=1(ab0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且PF4141F1F2,|PF1|=3,|PF2|=3.求椭圆C的方程；若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A,B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程. 解法一：()因为点P在椭圆C上，所以2a=PF1+PF2=6，a=3. 在RtPF1F2中，F1F2=PF22-PF21=25,故椭圆的半焦距c=5, 2从而b2=a2c2=4,所以椭圆C的方程为x29+y41. ()设A，B的坐标分别为、. 由圆的方程为2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代

15、入椭圆C的方程得 x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称.所以x1+x22=-18k2+9k4+9k2=-2. 解得k=89，所以直线l的方程为y=89(x+2)+1, 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 解法二：()同解法一. ()已知圆的方程为2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为. 设A，B的坐标分别为,(x2,y2).由题意x1x2且 22 x19+y14=1, 22 x2y9+24=1, -得(x1-x2)(x1+x2)(y1-y2)(y1+y9+2)4=0. 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2, 代

16、入得y1-y2x8，即直线l的斜率为8， 1-x299所以直线l的方程为y18y2x29，即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆92a2+b2=1(ab0)的一个焦点F1(0,-22)，对应的准线方程为y=-4.求椭圆的方程；直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被点P13-2, 2 平分，求直线l 的方程. -c=-22解：由-a2=-92得a=3,bc4=1 a2=b2+c2.y2即椭圆的方程为x2+9=1. 易知直线l的斜率一定存在，设l：y-32=kx+1k32,即y=kx+2+2. k3设M，N，由y=kx+2+2, 得(9+k)x+(3k+k

17、)x+k2222+3k-272=0. x2424+y9=1.222k2x1、x2为上述方程的两根，则D=(3k+k)-4(9+k)3274+2k-40 x=-3k+k21+x29+k2. MN的中点为P-12,32，x13k+k21+x2=2-2=-1. -9+k2=-1. 3k+k2=9+k2，解得k=3. 代入中，D=182-4(9+9)94+92-274=1820 直线l：y=3x+3符合要求. 设Fx2y215、31,F2分别是椭圆C：a2+b2=1(ab0)的左右焦点，(1)设椭圆C上的点(3,2)到F1,F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是中所得椭圆上的

18、动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为kPM,KPN 试探究kPMKPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论. 32(2解：由于点(3,3(3)2)2)在椭圆上，a2+b2=12a=4, 椭圆C的方程为 x2y24+3=1焦点坐标分别为 ， 设KF把K的坐标代入椭圆x2y21的中点为B则点K(2x+1,2y) 4+3=1中得(2x+1)2(2y)24+3=1的中点B的轨迹方程为(x+12线段KF2y12)+3=14过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设M(x0

19、,y0)N(-x0,-y0),p(x,y)M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得x220+y0=1，x2y2y-y0a2b2a2+b2=1kPM=x-xK+y0PN=y0x+x 0kKy-y0PMPN=x-xy+y0=y2-y202=-b20x-x20a2 0x+x故：kPMKPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关 16、已知椭圆的一个焦点为F-22) ，对应的准线为y=-924，离心率e满足23,e,41(0,3成等比数列求椭圆的方程；是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点A,B，且线段AB恰好被直线x=-12平分？若存在，求出直线l的倾斜角a的取值范围；若不存在，说明理由 解 ： (

20、)由题意知，e2=222343=89，所以e=3 设椭圆上任意一点P的坐标为(x,y)，则由椭圆的第二定义得， x2+(y+22)2=222y23，化简得x+9=1，故所求椭圆方程为x2+y2y+929=1 4设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0)，依题意有 xx1+x210=-22，可得x1+x2=-1 y=y1+y2y1+y2=2y0022若直线l存在，则点M必在椭圆内，故(-12y332)+091，解得0y02或-332y00 2x2y11=1(1)将A(x+91,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程，有2 x22+y29=1(2)(2)-(1)得，(x(y-y1

21、)(y2+y1)2-x1)(x2+x1)+29=0， 故ky2-y1AB=x=-9(x2+x1)=-9(-1)， 所以y90=， 2-x1y2+y12y02kAB则有092k33或-3392k3或kAB0) tanEPF=tan(EPM-FPM) =(32t-2t)(1+32222t223t2)=t2+6=t+6t-13， 当t=6时，tanEPF=3EPF=30o3 23、已知定点A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0)，动点P满足：APBP=k|PC|2.求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；当k=2时，求|AP+BP|的最大值和最小值 解：(1)设动点P的坐标为(x,y)， 则AP

22、=(x,y-1)，BP=(x,y+1)，PC=(1-x,y). APBP=k|PC|2，x2+y2-1=k(x-1)2+y2， 即 (1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0. 若k=1，则方程为x=1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线. 若k1，则方程为(x+k211-k)+y2=(1-k)2， 表示以(k11-k,0)为圆心，以为半径|1-k|的圆. (2)当k=2时，方程化为(x-2)2+y2=1. AP+BP=(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y) |AP+BP|=2x2+y2. 又(x-2)2+y2=1， 令x=2+cosq,y=sinq，则 |AP+BP|=2x

23、2+y2=25+4cosq 当cosq=1时，|AP+BP|的最大值为6，当cosq=-1时，最小值为2. 、B分别是以双曲线x2y224、点A16-20=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，PAPF=0 求椭圆C的的方程；求点P的坐标；设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值 解已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=25，半焦距c1=16+20=6， 椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2=62-42=20， 所求的椭圆方程为x2y236

24、+20=1 由已知A(-6,0),F(4,0)，设点P的坐标为(x,y)，则 AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),由已知得 x2+y2=1 3620(x+6)(x-4)+y2=0则2x2+9x-18=0，解之得x=32或x=-6， 由于y0，所以只能取x=352，于是y=23，所以点P的坐标为32,5239分 直线AP:x-3y+6=0，设点M是(m,0)，则点M到直线AP的距离是m+62，于是m+62=m-6， 又点M在椭圆的长轴上，即 -6m6m=2 当m=2时，椭圆上的点到M(2,0)的距离 2d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-5x9=49(x-92)2+15 又-

25、6x6 当x=92时，d取最小值15 25、已知在平面直角坐标系xoy中，向量j=(0,1),DOFP的面积为23，且OFuuuruuFPr=t,OMuuur=3uuurruuvuuv3OP+j .设4t43,求向量OF与FP的夹角q的取值范围；设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|OF|=c,t=(3-1)c2,当|OP|取最小值时，求椭圆的方程. 解：由23=1|OF|FP|sinq,得|OF|FP|=43q,由cosq=OFFP|OF|FP|=tsinq， 2sin43 得tanq=43t.3分 Q4t431tanq3Qq0,p 夹角q的取值范围是 6分 设

26、P(x0,y0),则FP(x0-c,y0),OF=(uOFuuruFPuurc,0). =(x0-c,y0)(c,0)=(x0-c)c=t=(3-1)c2x0=3cS=12|uOFuur|y43DOFP0|=23y0=c8分 |uOPuur|=x22=(3c)2+(432430+y0c)23cc=2610分 当且仅当3c=43c,即c=2时,|OP|取最小值26,此时,OP=(23,23) OM=33(23,23)+(0,1)=(2,3) 或OM=33(23,-23)+(0,1)=(2,-1) 12分 椭圆长轴2a=(2-2)2+(3-0)2+(2+2)2+(3-0)2=8a=4,b2=12 或2a=(2-2)2+(-1-0)2+(2+2)2+(-1-0)2=1+17a=1+1721+2,b=172 故所求椭圆方程为x216+y212=1.或x22+y=1 14分 9+171+172226、已知点F(0,1)，一动圆过点F且与圆x2+(y+1)2=8内切 求动圆圆心的轨迹C的方程；设点A(a,0)，点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d(a)；