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1、基本不等式应用技巧之高级篇基本不等式应用技巧之高级篇 基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大的方便，但有时很想用基本不等式，却感到力不从心。这需要一点技巧，就是要能适当的配凑，即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题1。 15已知x，求函数y=4x-2+4x-5的最大值。 例题1. 4解：因x5，所以4x-504。 这可以先调整式子的符号，但(4x-2)y=4x-2+1不是常数，所以必须对4x-2进行拆分。 4x-511=-(5-4x+)+3-2+3=1 4x-55-4x1x5-4x，即当且仅当5-4x=1时取等号。 故当x=1时，ymax=1 但是有些题目的
2、配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑，又有何规律可循呢？请看下面的例题2. 例题2. 设x,y,z,w是不全为零的实数，求xy+2yz+zw的最大值。 2222x+y+z+w显然我们只需考虑x0,y0,z0,w0的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数a,b满足： x2+y2+z2+w2=(x2+ay2)+(1-a)y2+bz2+z2+w22axy+2(1-a)byz+2(1-b)zw故依据取等号的条件得， 12a=21=t，参数t就是我们要求的最大值。 2(1-a)b21-b消去a,b我们得到一个方程4t2-4t-1=0 此方程的最大根为我们所求的最大值 得到t=
3、2+1 2从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式12a=，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为21=2(1-a)b21-b了取得最值。 我们再看一些类似的问题，请大家细心体会。 16x+92xy+933xyz例题3. 设x,y,z,w是不全为零的实数，求的最大值。 x+2y+z引入参数a,b ,g使其满足： x+2y+z=(1-a-b)x+ax+gy+bx+(2-g)y+z(1-a-b)x+2agxy+3b(2-g)xyz31692933依据取等号条件，我们有=t 1-a-b2ag33b(2-g)xyz消去参数a,b ,g我们得到一个方程 (t-18)(
4、16t5-224t4-584t3-1440t2+1377t-1458)=0 解得 t=18 这就是我们所求的最大值。因此， 33x18y36z16x+92xy+933xyz16x+3x18y+2=x+2y+zx+2y+z3(x+18y)x+18y+36z16x+22=18x+2y+z当且仅当x:y:z=1:18:36取等号。 再看看下面这个题目。 10x2+10y2+z2例题4. 设x,y,z是正实数，求的最小值。 xy+yz+zx解：引进参数k，使之满足： z2z2210x+10y+z=kx+ky+(10-k)x+(10-k)y+22 2kxy+2(10-k)(yz+zx)222222依据取
5、等号的条件，有：2k=2(10-k)=tt=4 10x2+10y2+z2故的最小值4. xy+yz+zx例题5. 设x,y,z是正实数且满足x+y+z=3，求x2+y2+z3的最小值。 解：观察题目的结构考虑到x,y,z的对称性，引进参数k,l x2+k22xk22232222y+k2ykx+y+z+2(k+l)2k(x+y)+3lz z3+l3+l33zl2由取等号的条件有：2k2=3l2,k=x,k=y,z=l2k+l=3 解得 k=19-37-1+37，l= 126317+4337108所以，x2+y2+z32k(x+y)+3l2z-2(k2+l2)=6k-2(k2+l2)=例题6. 设
6、x,y是正实数且满足x+y=1，求18+的最小值。 22xy解：考虑到x+y=1，为了使用基本不等式，我们引进参数k：k=k(x+y) 218181kxkx8kykyk则2+2+k=2+2+k(x+y)=2+2+ 93xyxyx22y2241kxx2=2218ky3=k=54 由取等号的条件：2=2k3yx+y=1218k所以 2+293-k=27xy4 例题7. 若x+2xya(x+y)对任意的正实数x,y恒成立，求a的最小值。 解：x+2xya(x+y)对任意的正实数x,y恒成立， 所以 x+2xya 对任意的正实数x,y恒成立。 x+y设 x+y=(1-k)x+kx+y(1-k)x+2k
7、xy 由取等号条件：12=t 1-kk5+1 2消去k，可以得到：t2-t-1=0 解得：t=因此a的最小值为 5+1。 2例题8. 若a-,b-且a+b=1，求证：2a+1+2b+122 分析：使用柯西不等式很简单处理了，但我们还是玩一下基本不等式。 12122a+12m+22a+1m2a+1=mm22设 2b+1m2+2b+1=m2b+1m2m22m2+2a+1+2b+1考虑到取等号的条件，有 2a+12b+12m+m2+m2=m2+2 22m222a+1m=m21222b+1a=b=,m=2 m=2m2a+b=1所以，2a+1+2b+1m2+2=22 m2例题9. 有一边长为a,b的长方
8、形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？ 分析：这是一个高考题，很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基本不等式来处理它。 解：设裁去的正方形的边长为x，则做成的无盖长方体容积为 bV=x(a-x)(b-2x)，(0x) 2引入参数 m,n，则 V=x(a-x)(b-2x)=1(mx)n(a-2x)(b-2x) mnmx+n(a-2x)+(b-2x)3)(m-2n-2)x+na+b)33= mn27mn(由取等号的条件得mx=n(a-2x)=b-2x 当m-2n-2=0时，右边为常数。 故当二者同时
9、成立时，函数有最大值。 消去参数得到：12x2-4(a+b)x+ab=0 (a+b)a2-ab+b2b解之得 x= (0x0)的最小值。 2x11-ll=x2+x+数用单调性的方法。但2x2x2x32232例题10. 求函数y=x2+x+分析：单变量函数优选求导y=x2+x+本题也是可以使用基本不等式的。 解：引进参数l0， 则 y=x2+x+11-ll=x2+x+ 2x2x2xll1-l=(x2+)+(x+)4x4x2x33l216+21-l2由取等号的条件得：x2=l4x消去参数l得，4x3+2x2-1=0 解之得 x=，x=1-l 2x化简得，(2x-1)(2x2+2x+1)=0 1 2
10、此时l= 17，ymin= 24例题11. 问q取何值时，y=cos2qsinq取最大值。 (a+b+(b+1-a)sinq)31a(1-sinq)b(1+sinq)sinq由 y=cosqsinq= ab27ab2由取等号成立的条件得： a(1-sinq)=b(1+sinq)=sinq1p2sinq=,0q 32b+1-a=03q=aresin, 33+13-1所以 a=,b=; 22(a+b)3232所以 y=cosqsinq =27ab9基本不等式是一个非常有用的结论，从上面的例子中我们可以看出，适当的配凑可以解决很多看似无法使用基本不等式解决的一些问题。同学们在学习基本不等式时时要细心体会，才能达到灵活应用的。
