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1、基本不等式变形技巧的应用基本不等式变形技巧的应用 基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。 技巧一：加减常数 1(x1)的值域。 x-110， 解：当x1时，有x-10,x-1例1、求函数y=x+y=x+111=(x-1)+12(x-1)+1=3， x-1x-1x-1当且仅当x-1=1，即x2时，等号成立，此时y的最小值为3. x-1110,0， 当x1时，x-10,x-11-x1111=(x-1)+1=-(1-x)+12(1-x)+1=-1， x-1x-11-x1-xy=x+当且仅当
2、1-x=1，即x0时，等号成立，此时y的最大值为1， 1-x综上所述，该函数的值域为(-,-1U3,+). 点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。 技巧二：巧变常数 1，求函数yx的最大值。 21解法一：因为0x0， 2112x+(1-2x)21=. 所以y=x(1-2x)=2x(1-2x)222811解法二：因为0x0，所以 221x+(-x)11112y=x(1-2x)=2x(-x)22=，当且仅当x=-x，即x=时，2242811等号成立，所以当x=时，y的最大值为. 48例2、已知0x22点评：形如f(x)=x(1-ax)或f(x)=x(1-ax)等可有两
3、种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。 技巧三、分离常数 5x2-3x+3例3、已知x，则f(x)=有 22x-4A、最大值5533 B、最小值 C、最大值 D、最小值 4422分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。 x2-3x+3(x-1)(x-2)+1113=(x-2)+1)， 解：f(x)=2(x-2)2x-222x-4当且仅当x-2=13，即x3时，函数有最小值，故选D. x-22 点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。 技巧四、活用常数 例4、若x,
4、yR+且满足416+=1，求xy的最小值。 xy解：由x,yR+且4164164y16x+=1得x+y=(x+y)(+)=+20 xyxyxy24y16x4y16x=，即x12且y24时，等号成立，所以x+20=36，当且仅当xyxyy的最小值是36. 点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。 技巧五、统一形式 11+)的最小值。 a+bc1111ca+b+)=(a+b)+c(+)=2+解：(a+b+c)( a+bca+bca+bc例5、已知a,b,cR，求(a+b+c)(+2+211ca+b+)的最小值为4. =4，所以当abc时，(a+b+c)(a+bca+bc 点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一。 x2(1-x2)
