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1、复变函数与积分变换 复旦大学出社 习题二 答案习题二 1. 求映射w=z+1z下圆周|z|=2的像. w=u+iv解：设z=x+iy, u+iv=x+iy+1则 2x+iy=x+iy+x-iyx+y2=x+xx+y2+i(y-2yx+y2)2 因为所以 x+y=45422,所以34yu+iv=54x+34yiu=u54xv=+, x=,y=v34=2u5222u所以()542+v()342即()+v3222()=1，表示椭圆. ij22. 在映射w=z下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w=re或w=u+iv. 4； (3) x=a, y=b.(a, b为实数) 0r2,q=0r
2、2,0q4; 解：设w=u+iv=(x+iy)=x-y+2xyi22222所以u=x-y,v=2xy. (1) 记w=re，则0r4,j=2.ij0r2,q=4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即 (2) 记w=reij0q4,0r20r4,0j2.，则映成了w平面上扇形域，即 (3) 记w=u+iv，则将直线x=a映成了u=a-y,v=2ay.22即v=4a(a-u).222是以原点为焦22点，张口向左的抛物线将y=b映成了u=x-b,v=2xb. 222 即v=4b(b+u)是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示. 3. 求下列极限. lim11+z1t2 (1) 解：令z; z=,则
3、z,t0. 2lim11+z于是z=limt0t221+t=0. limRe(z)z(2) z0; Re(z)z=xx+iy解：设z=x+yi，则limRe(z)z=limx有 z0x0y=kx0x+ikx=11+ik显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. limz-iz(1+z)2zi； limz-iz(1+z)2解：zilimz-iz(i+z)(z-i)=zi=limzi1z(i+z)=-12. limzz+2z-z-2z-12z1. =(z+2)(z-1)(z+1)(z-1)=z+2,z+1 zz+2z-z-2解：因为limz-12zz+2z-z-2z-12所以z1=li
4、mz+2z+1z1=32. 4. 讨论下列函数的连续性： (1) xy,22f(z)=x+y0,z0,z=0;xyx+y22limf(z)=解：因为z0(x,y)(0,0)lim, 若令y=kx,则(x,y)(0,0)limxyx+y22=k1+k2, 因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在. 从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2) x3y,f(z)=x4+y20,z0,z=0.3x30xyx+yxyx+y42342y2解：因为lim2xy=x2, 所以(x,y)(0,0)=0=f(0)所以f(z)在整个z平面连续. 5. 下列函数在何处求导？
5、并求其导数. (1) f(z)=(z-1)n-1 (n为正整数)； 解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导. n-1f(z)=n(z-1). f(z)=z+2(z+1)(z+1)2(2) . 2解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在(z+1)(z+1)=0处不可导. 从而f(z)除z=-1,z=i外可导. (z+2)(z+1)(z2+1)-(z+1)(z+1)(z2f(z)=+1)(z+1)2(z2+1)2=-2z3+5z2+4z+3(z+1)2(z2+1)23z+8(3) f(z)=5z-7. z=7f(z)=3(5z-7)-(3z+8)5解：f(z)除5外处处可导，且(5z
6、-7)2=-61(5z-7)2. f(z)=x+y+ix-y(4) x2+y2x2+y2. 解：因为 f(z)=x+y+i(x-y)x-iy)iy)(1+i)z(1+i)1+ix2+y2=x-iy+i(x2+y2=(x-x2+y2=z2=z.所以f(z)除z=0外处处可导，f(z)=-(1+i)z2. 6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) f(z)=xy2+ix2y; 解：u(x,y)=xy2,v(x,y)=x2y在全平面上可微. yvx=y2,uy=2xy,x=2xy,vy=x2所以要使得 uvuvx=y=-， yx, 只有当z=0时, 从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析
7、. (2) f(z)=x2+iy2. 解：u(x,y)=x2,v(x,y)=y2在全平面上可微. ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y且u只有当z=0时,即(0,0)处有x=vuyy=-vy,. 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析. (3) f(z)=2x+3iy33; 33解：u(x,y)=2x,v(x,y)=3y在全平面上可微. ux=6x,2uy=0,vx=9y,2vy=0所以只有当2x=3y时，才满足C-R方程. 从而f(z)在2x3y=0处可导，在全平面不解析. 2(4) f(z)=zz. 解：设z=x+iy，则 f(z)=(x-iy)(x+iy)=x+xy+i(y+
8、xy)u(x,y)=x+xy,v(x,y)=y+xyux=3x+y,22232323232vy=3y+x22uy=2xy,vx=2xy,所以只有当z=0时才满足C-R方程. 从而f(z)在z=0处可导，处处不解析. 7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) f(z)=0; uuyvvy证明：因为f(z)=0，所以x=0,x=0. 所以u,v为常数，于是f(z)为常数. (2) f(z)解析. f(z)=u-ivux=-证明：设uxuyux=yxvy在D内解析,则 (-v)vy-(-v)=+uyvy=vx=-,u而f(z)为解析函数，所以xvx=-vx,vy=-vy,=uy
9、,uyuyvx=-vxux=vy=0所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数. u证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, ux=uy=0=0 即u=C2 uy因为f(z)解析，C-R条件成立。故从而f(z)为常数. (4) Imf(z)=常数. xv证明：与类似，由v=C1得ux=vy=0因为f(z)解析，由C-R方程得所以f(z)为常数. x=uy=0,即u=C2 5. |f(z)|=常数. 证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数. 若Cux0，则f(z) vx0,但f(z)f(z)=C2，即u2+v
10、2=C2 则两边对x,y分别求偏导数，有 2u+2v=0,2uuy+2vvy=0利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有 ux=vyuy=-vxuvu+v=0xxvu-uv=0xx所以 u即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数. (6) argf(z)=常数. 所以x=0,vx=0varctan=Cu证明：argf(z)=常数，即u(u22, -vuy2v(v/u)于是得 1+(v/u)=xx22u(u+v)2-vu)=u(u22vy2)=0u(u+v)uv-vuxx=0uv-vuyy=0 C-R条件 v-vuu=0xxv+vuuxx=0uvuvx=y=y=0解得x=，即u,v为常数，于是
11、f(z)为常数. 8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值. 解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件. ux=2nxy,uy=3my2+nx2v=3x2+ly2x,vy=2lxyux=vyn=luy=-vxn=-3,l=-3m所以n=-3,l=-3,m=1. 9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数. (1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i 证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且 ux=3x2-3y2,uy=-6xy,vx=6xy,vy=3x2-3y2所以f(z)在全平面上满足C-R
12、方程，处处可导，处处解析. f(z)=u2222x+ivx=3x-3y+6xyi=3(x-y+2xyi)=3z2f(z)=ex(xcosy-ysiny)+iex(ycosy+xsiny). 证明： u(x,y)=ex(xcosy-ysiny),v(x,y)=ex(ycosy+xsiny)处处可微，且 ux=ex(xcosy-ysiny)+ex(cosy)=ex(xcosy-ysiny+cosy)uxy=e(-xsiny-siny-ycosy)=ex(-xsiny-siny-ycosy)vx=ex(ycosy+xsiny)+ex(siny)=ex(ycosy+xsiny+siny).(2) vy
13、=e(cosy+y(-siny)+xcosy)=e(cosy-ysiny+xcosy)xxu所以x=vyu, y=-vx所以f(z)处处可导，处处解析. f(z)=uxxz+ivxz=e(xcosy-ysiny+cosy)+i(e(ycosy+xsiny+siny)xxxxxxx=ecosy+iesiny+x(ecosy+iesiny)+iy(ecosy+iesiny)=e+xe+iye=e(1+z)zz10. 设 z0.z=0.x3-y3+i(x3+y3),22f(z)=x+y0.求证：(1) f(z)在z=0处连续 (2)f(z)在z=0处满足柯西黎曼方程 (3)f(0)不存在 limf(
14、z)=z0证明.(1)lim(x,y)(0,0)limu(x,y)+iv(x,y)而(x,y)(0,0)u(x,y)=(x,y)(0,0)limx-yx+y2332xy=x-y1+()2222x+yx+y x-yx+y3x-y333320232x-y (x,y)(0,0)limx-yx+y3232=032同理(x,y)(0,0)limx+yx+y2=0(x,y)(0,0)limf(z)=0=f(0)f(z)在z=0处连续 limf(z)-f(0)z(2)考察极限z0当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有 lim1iyy0()=limf(iy)-f0y01iy3-y(1-i)y2=1+i 当z沿实轴
15、趋向于零时，z=x，有 lim1xx0f(x)-f(0)=1+iu它们分别为xu=vy,+ivx,vy-iuyuyx=-vx满足C-R条件 (3)当z沿y=x趋向于零时，有 x=y0limf(x+ix)-f(0,0)x+ix=lim33x(1+i)-x(1-i)x=y02x(1+i)3=i1+iz0Dz不存在即f(z)在z=0处不可导 11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证F(z)=f(z)limDf在区域D1内解析 证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析 u=vy,uy=-vx所以u(x,y),v(x,y)
16、在D内可微且满足C-R方程，即xf(z)=u(x,-y)-iv(x,-y)=j(x,y)+iy(x,y)jxyx ，得 =u(x,-y)jy=u(x,-y)y=+=-u(x,-y)y=-v(x,-y)xxj=yy,jy=-yxyv(x,-y)yv(x,-y)yy故(x,y),(x,y)在D1内可微且满足C-R条件x()从而fz在D1内解析 13. 计算下列各值 (1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1) 2-pi2-i3(2)(3) e3=ee3=ecos-+isin-=e33332213-22i)Re(e=Re(eex-iy2x+y2xx+y22-yx+y22i)2x2x+y=
17、Reexyycos-2+isin-2x2+y2x+y=ex+y22ycos22x+y(4) ei-2(x+iy)-2x=ee-2iyi-2(x+iy)=ee=e-2x14. 设z沿通过原点的放射线趋于点，试讨论f(z)=z+ez的极限 解：令z=rei， (1) 3ln(-2+3i)=ln13+iarg(-2+3i)=ln13+i-arctan2 对于，z时，r 故lim(reriq+ereiq)=lim(reiqr+er(cosq+isinq)= 所以zlimf(z)= 15. 计算下列各值 (2)ln(3-3i)=ln23+iarg(3-3i)=ln23+i-=ln23-i6 6(3)ln
18、(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i (4) 16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性 解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续 设z=x+iy，u(x,y)=uxvxln(ie)=lne+iarg(ie)=1+2ig(z)=|z|=22x+y=u(x,y)+iv(x,y)22x+y,v(x,y)=012在复平面内可微 u2=12(x2+y2)-2x=xx+y2y=yx+y22=0vy=0故g(z)=|z|在复平面上处处不可导 从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导 f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续 17. 计算下
19、列各值 (1) (1+i)=e=e=eln21-i=e4ln(1+i)1-i=e2i+2(1-i)ln(1+i)=e(1-i)ln2+4i+2ki+44i-lne4+2kln2+2ki-ln4ln2+2kcos-ln4cos-ln42+isin-ln42+isin-ln422 =2e2k+4 (2) (-3)=e=e=35=eln(-3)5=e5ln(-3)5(ln3+i+2ki)=e5ln3+5i+2k5i5ln3(cos(2k+1)5+isin(2k+1)5)5+isin(2k+1)5)-i(ln1+i0+2ki)5(cos(2k+1)1-i=e=eln1-i=e-iln1=e(3)-i(
20、2ki)=e2k=e(1+i)ln1-i21+i1-i(4)21+i=e1-iln2=e=e(1+i)ln1+i-+2ki444=e-2k(1+i)2ki-i4i2k-42ki-i-2k+=e4e=e4-2kcos+isin-4422-22i=e4-2k18. 计算下列各值 (1) cos(+5i)=-e-5ei(+5i)+e2-5-i(+5i)=5e5i-5+e2-5-i+55+e(-1)2=-e-e2=-e+e2=-ch5-i-5(2) sin(1-5i)=ei(1-5i)-e2i2i-i(1-5i)=ei+5-e2i5-5e(cos1+isin1)-e(cos1-isin1)e+e25-
21、5sin1-ie+e25-5cos1etan(3-i)=sin(3-i)cos(3-i)=ei(3-i)-e-i(3-i)i(3-i)sin6-isin22i=-i(3-i)22+e2(ch1-sin3)2i(3)sinz2(4) =12i2(e2-y+xi-ey-xi)=sinxchy+icosxshy222=sinxchy+cosxshy222222=sinx(chy-shy)+(cosx+sinx)shy2=sinx+shyarcsini=-iln(i+1-i222(5) )=-iln(12)k=0,1,L-iln(2+1)+i2k=-iln(2-1)+i(+2k)arctan(1+2i
22、)=-i2ln1+i(1+2i)i21=-ln-+i1-i(1+2i)255arctan2+i4ln5=k+12(6)19. 求解下列方程 (1) sinz=2 解： z=arcsin2=-iln(21iln(2i3i)=-ln(23)i13)+2k+i23),k=0,1,L1=2k+iln(2+2z(2)e-1-3i=0 z解：e=1+3i 即 z=ln(1+3i)=ln2+i3+2ki1=ln2+2k+i3(3) lnz=2i2ilnz=解： 2即z=e=ii(4)z-ln(1+i)=0 z-ln(1+i)=ln2+i4+2ki=ln12+2k+i4 解：20. 若z=x+iy，求证 (1
23、) sinz=sinxchy+icosxshy 证明： sinz=e-e2i12i.(eiz-iz=ei(x+iy)-e2i-(x+yi)i-y+xi-ey-xi)=sinxchy+icosx.shy(2)cosz=cosxchy-isinxshy 证明： cosz=e+e21212iz-iz=12(ei(x+yi)+e-i(x+yi)(e-y+xi+ey-xi)(e-y(cosx+isinx)+ey.(cosx-isinx)y-y-yy-e+e.cosx-isinx.2e+e2=cosx.chy-isinx.shy(3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明： sinz=12i(e-y+
24、xi-ey-xi)=sinxchy+icosxshy2sinz=sinxchy+cosx.shy222222=sinx(chy-shy)+(cosx+sinx)shy2222=sinx+shy22(4)|cosz|2=cos2x+sh2y 证明：cosz=cosxchy-isinxshy cosz2=cosx.chy+sinx.shy222222=cosx(chy-shy)+(cosx+sinx).shy2222=cosx+shy2221. 证明当y时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大 证明： sinz=12i(eiz-e-iz)=1(e-y+xi-ey-xi)2i-ey-xisinz=12e-y-y+xi e-y+xi=eey-xi=ey 22而 当y+时，e-y0，ey+有|sinz| 当y-时，e-y+，ey0有|sinz| cos(x+iy)=1e-y+xisinz1(e-y+xi-ey-xi)=1(e-yy-e)2同理得所以当y时有|cosz| +ey-xi12(e-y-ey)
