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1、复变函数与积分变换复习资料复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z=x+iy，x,y是实数, x=Re(z),y=Im(z).i2=-1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模有大小. 2.复数的表示 1）模：z=x+y； 222）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg(z)；主值arg(z)是位于(-p,p中的幅角。 3）arg(z)与arctanyx之间的关系如下： yx 当x0, argz=arctan； yy0,argz=arctan+px 当x0,； y0,argz=arctany-px4）三角表示：z=z(cosq+isinq)，其中q=argz；注：中间一定
2、是“+”号。 5）指数表示：z=ze，其中q=argz。 (二) 复数的运算 1.加减法：若z1=x1+iy1,z2=x2+iy2，则z1z2=(x1x2)+i(y1y2) 2.乘除法： 1）若z1=x1+iy1,z2=x2+iy2，则 z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)； iqz1z2=x1+iy1x2+iy2iq=(x1+(x2iyx2-1)(i)y(2iq2i)y2-x2)=i2yx+x212yy21+i2+2xy2-yx212+y2x。 12xy222）若z1=z1e1,z2=z2ez1z2=z1z2ei(q1+q2), 则 z1z2i(q1-q2)；z1z2=
3、e 3.乘幂与方根 1） 若z=z(cosq+isinq)=ze，则zn=z(cosnq+isinnq)=zeinq。 2） 若z=z(cosq+isinq)=ze，则 1niqnniqz=znq+2kpq+2kpcos+isinnn(k=0,1,2Ln-1) 复变函数 1复变函数：w=f(z)，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2复初等函数 1）指数函数：e=ezx(cosy+isiny)，在z平面处处可导，处处解析；且(ez)=ez。 注：ez是以2pi为周期的周期函数。 3） 对数函数： Lnz=lnz+i(argz+2kp)(k=0,1,2L)；
4、主值：lnz=lnz+iargz。 Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且(lnz)=1z； 注：负复数也有对数存在。 3）乘幂与幂函数：ab=ebLna(a0)；z=ebbLnz(z0) 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且(zb)=bzb-1。 4）三角函数：sinz=e-e2iiz-iz,cosz=e+e2iz-iz,tgz=sinzcosz,ctgz=coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且(sinz)=cosz,(cosz)=-sinz 注：有界性sinz1,cosz1不再成立； e-e2z-z4） 双曲函数 shz=,chz=e+e
5、2z-z； shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且(shz)=chz,(chz)=shz。 解析函数的概念 1 1复变函数的导数 f(z0+Dz)-f(z0)Dz1）点可导：f(z0)=lim； Dz02）区域可导： f(z)在区域内点点可导。 2解析函数的概念 1）点解析： f(z)在z0及其z0的邻域内可导，称f(z)在z0点解析； 2）区域解析： f(z)在区域内每一点解析，称f(z)在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f(z)的奇点； 3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； 函数可导与解析的
6、充要条件 1函数可导的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，且在(x,y) 处满足C-D条件：uxvxux=vy,uy=-vx 此时， 有f(z)=+i。 2函数解析的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)在D内可微，且满足C-D条件：uxvxux=vy,uy=-vx； 此时f(z)=+i。 注意： 若u(x,y),v(x,y)在区域D具有一阶连续偏导数，则u(x,y),v(x,y)在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导
7、且满足C-R条件时，函数f(z)=u+iv一定是可导或解析的。 3函数可导与解析的判别方法 2 1）利用定义 2）利用充要条件 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。 复变函数积分的概念与性质 n1 复变函数积分的概念：f(z)dz=limcnf(x)Dzkk=1k，c是光滑曲线。 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2 复变函数积分的性质 1） f(z)dz=-ccc-1f(z)dz ； -12） af(z)+bg(z)dz=af(z)dz+bg(z)dz,a,b是常数； cc3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则f(z)dz=cc1f(z)dz+cf2(z)dz。 3复变函数积分的
8、一般计算法 1）化为线积分：f(z)dz=ccudx-vdy+ivdx+udy； c2）参数方法：设曲线c： z=z(t)(atb)，其中a对应曲线c的起点，b对应曲线c的终点，则 f(z)dz=cabfz(t)z(t)dt。 关于复变函数积分的重要定理与结论 1柯西古萨基本定理：设f(z)在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 f(z)dz=0 c2复合闭路定理： 设f(z)在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,Lcn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,Lcn为边界的区域全含于D内，则 f(z)dz=cnf(z)dz, 其中c与ck=1ckk均取
9、正向； -1 f(z)dz=0，其中G由c及c(k=1,2,Ln)所组成的复合闭路。 G3闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续 3 变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z)不解析的奇点。 4解析函数沿非闭曲线的积分： 设f(z)在单连域B内解析，G(z)为f(z)在B内的一个原函数，则z2z1f(z)dz=G(z2)-G(z1)(z1,z2B) 说明：解析函数f(z)沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 5。 柯西积分公式：设f(z)在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，fz0为c内任
10、意一点，则(z)cz-z0dz=2pif(z0) 6高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 f (z)c(z-z0)dz=n+12pin!f(n)(z0)(n=1,2L) 其中c为f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7重要结论： 12pi,dz=0,n=0n0(z-a)cn+1。 8复变函数积分的计算方法 1）若f(z)在区域D内处处不解析，用一般积分法f(z)dz=cbafz(t)z(t)dt 2）设f(z)在区域D内解析， l l c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，f(z)dz=0 cc是D内的一条非闭曲线
11、，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有 cf(z)dz=z2z1f(z)dz=F(z2)-F(z1) 3）设f(z)在区域D内不解析 f(z)dz=2pif(z0)cz-z0曲线c内仅有一个奇点： f(z)2pi(n)dz=f(z0)c(z-z)n+1n!0l l 曲线c内有多于一个奇点：f(z)dz=cnf(z)dz 4 n 或：f(z)dz=2piResf(z),zk ck=1l 若被积函数不能表示成f(z)n+1(z-zo)，则须改用第五章留数定理来计算。 解析函数与调和函数的关系 jx221调和函数的概念：若二元实函数j(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足+jy22=0， j(x,
12、y)为D内的调和函数。 2解析函数与调和函数的关系 l l 解析函数f(z)=u+iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 两个调和函数u与v构成的函数f(z)=u+iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西 黎曼方程，则u+iv一定是解析函数。 3已知解析函数f(z)的实部或虚部，求解析函数f(z)=u+iv的方法。 1）偏微分法：若已知实部u=u(x,y)，利用C-R条件，得vv； ,xy对vy=ux两边积分，得v=xdy+g(x) vx=udy+g(x) xxudy+g(x)，可求出 g(x)； xxu再对式两边对x求偏导，得由C-R条件，uy=-vx，得
13、uy=-代入式，可求得 虚部v=xdy+g(x) 。 vxdx+vydy=-uydx+uxu2）线积分法：若已知实部u=u(x,y)，利用C-R条件可得dv= dy，故虚部为v=(x,y)x0,y0)-uydx+uxdy+c； 由于该积分与路径无关，可选取简单路径计算它，其中(x0,y0)与(x,y) 是解析区域中的两点。 5 3）不定积分法：若已知实部u=u(x,y)，根据解析函数的导数公式和C-R条件得知， f(z)=uxvyuxuy+i=-i将此式右端表示成z的函数U(z)，由于f(z)仍为解析函数，故 f(z)=U(z)dz+c 注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u. 复数项级数
14、1复数列的极限 1）复数列an=an+ibn收敛于复数a=a+bi的充要条件为 liman=a,nlimbn=b n2）复数列an收敛实数列an,bn同时收敛。 2复数项级数 1）复数项级数an(an=an+ibn)收敛的充要条件是级数an与bn同时收敛； n=0n=0n=02）级数收敛的必要条件是liman=0。 n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 幂级数的敛散性 n1幂级数的概念：表达式cn(z-z0)或cnzn为幂级数。 n=0n=02幂级数的敛散性 1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数cnzn在z00处收敛，那么对满足n=0zz0的一
15、切z，级数必发散。 2）幂级数的收敛域圆域 幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。 6 3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 cn+1cn1l 比值法 如果limn=l0，则收敛半径R=1l； l l 根值法 limncn=l0，则收敛半径R=l； 如果l=0，则R=；说明在整个复平面上处处收敛； 如果l=，则R=0；说明仅在z=z0或z=0点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 n=03幂级数的性质 1）代数性质：设anz,bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记R=min(R1,R2)， nn=0n=0则当zR时，有
16、 nnn(aan=0n+bbn)z=aanz+bbnz n=0n=0nn(anz)(bnz)=n=0n=0(an=0nb0+an-1b1+L+a0bn)z n2）复合性质：设当xr时，f(x)=axnn=0nn，当zR时，x=g(z)解析且g(z)r， 则当zR时，fg(z)=an=0ng(z)。 3） 分析运算性质：设幂级数anzn的收敛半径为R0，则 n=0l 其和函数f(z)=an=0nz是收敛圆内的解析函数； nl 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f(z)=nan=0znn-1 zR l 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；f(z)dz=0zann+1zn+1 zR n=0幂函数
17、的泰勒展开 7 1. 泰勒展开：设函数f(z)在圆域z-z0R内解析，则在此圆域内f(z)可以展开成幂级数 f(z)=n=0f(n)(z0)n!(z-z0)n；并且此展开式是唯一的。 注：若f(z)在z0解析，则f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R=z0-a； 其中R为从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a之间的距离。 2常用函数在z0=0的泰勒展开式 1）e=zn=01n!z=1+z+nz22!+z33!+L+znn!+L z 2）11-z=zn=0n2n=1+z+z+L+z+L z1 3）sinz=(2n+1)!zn=0(-1)n2n+1=z-z33!z4+z55!-L+(-1
18、)n(2n+1)!n2nz2n+1+L z 4）cosz=n=0(-1)n(2n)!z2n=1-z22!+4!-L+(-1)(2n)!z+L z 3解析函数展开成泰勒级数的方法 1n!(n)1）直接法：直接求出cn=f(z0)，于是f(z)=cn(z-z0)。 n=0n2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 幂函数的洛朗展开 n 1. 洛朗级数的概念：n=-cn(z-z0)，含正幂项和负幂项。 2洛朗展开定理：设函数f(z)在圆环域R1z-z0R2内处处解析，c为圆环域内绕z0的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f(z)
19、=n=-cn(z-z0) ，且展开式唯一。 n3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。 *4利用洛朗级数求围线积分：设f(z)在rz-z0R内解析，c为rz-z0R内的任何一8 条正向简单闭曲线，则 f(z)dz=2pic-1。其中c-1为f(z)在rz-z0R内洛朗展开式中c1z-z0的系数。 说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z-z0)-1的系数。 孤立奇点的概念与分类 1。 孤立奇点的定义 ：f(z)在z0点不解析,但在z0的0z-z0n时，z=a是j(z)y(z)j(z)y(z)j(z)y(z)的m-n级零点； 当mn时，z=a是的n-m级极点； 当m=n时
20、，z=a是的可去奇点； l 当mn时，z=a是j(z)+y(z)的l级零点，l=min(m,n) 当m=n时，z=a是j(z)+y(z)的l级零点，其中lm(n) 留数的概念 1留数的定义：设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0的去心邻域0z-z00) aa七、卷积及卷积定理 l l l l f1(t)*f2(t)=+-f1(t)f2(t-t)dt Ff1(t)*f2(t)=F1(w)F2(w) Ff1(t)f2(t)=12pF1(w)*F2(w) Lf1(t)*f2(t)=F1(s)F2(s) 八、几个积分公式 l l l l +-+-+0f(t)d(t)dt=f(0) f(t)d(t-
21、t0)dt=f(t0) f(t)tdt=-kt0Lf(t)ds=0F(s)ds13 +0f(t)edt=Lf(t)s=k模拟试卷一 一.填空题 13 1. 1-1+i=iz7 . 2. I=(zc-esinz)dz,其中c为z=a0的正向,则I= . 3. tan1z能否在0zR内展成Lraurent级数？ 4其中c为z=2的正向：zc2sin1zdz= 5. 已知F(w)=二.选择题 1.sinww，则f(t)= f(z)=zRe(z)在何处解析 (A) 0 (B)1 (C)2 (D)无 2.沿正向圆周的积分. z=2sinzz2-1dz = (A)2+pisin1. (B) 0. (C)p
22、isin1. (D)以上都不对. 41-n3n=-(z-1)n的收敛域为 (A) . 4z-14. (B)1z-2e (C) 1z-12. (D)无法确定 4. 设z=a是f(z)的m级极点,则f(z)f(z)在点z=a的留数是 . (A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1.f(z)=u+iv为解析函数，u-v=x+3xy-3xy322-y3，求u 2设函数f(z)与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数f(z)g(z).在z=a处极点如何？ 1z23求下列函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。 f(z)=,z0=-1 14 4求拉氏变换
23、f(t)=sin6t -t5. 求方程y+4y+3y=e四.证明题 1.利用ez满足条件y(0)=y(0)=1的解. zz的Taylor展式，证明不等式e-1ez-1ze2.若F(v)=f(t)vF (a为非零常数) 证明：f(at)=aa1模拟试卷一答案 一.填空题 0.5,f(t)=0,1. i 2. 0 3.否 4-1/6 5. 0.25,1. (D) 2. (A) 3(A) 4. (C) 三.计算题 1. 23t1二.选择题 t=1u=3xy-y+c2函数3ff(z)g(z)在z=a处极点为m+n级 1z2(z)=n=1n(z+1)n-1R=1 64 s+363425. y(t)=-e
24、-3t+74e-t+12te-t. 模拟试卷二 一.填空题 1. C为z=1正向，则zdzc= 2. f(z)=my3+nxy+ix+lxy2(32)为解析函数，则l, m, n分别为 .shzRes ,03.z2= 15 4. 级数n=1(z-2)nn2.收敛半径为 5. d-函数的筛选性质是 二.选择题 1 f(t)=eu(t-1)，则f(t)= -te (A) .-(s-1)e (B) -(s-1)e (C)2 -(s-1)s-1s-1s-1 (D) 以上都不对 2(A)f(t)=F(w)，则(t-2)f(t)= F(v)-2F(w) . (B)-F(v)-2F(w). (C) iF(v
25、)-2F(w). (D) 以上都不对 3C为z=3的正向，cdzz3(z10-2). (A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对 4. 沿正向圆周的积分sinzz=2pz-22dz = (A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对. 三.计算题 1. 求sin(3+4i). 2计算(z-a)(z-b),其中a、b为不在简单闭曲线c上的复常数，ab. cdz3求函数f(z)=z-1z+1,z0=1在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。 kt4求拉氏变换四.证明题 f(t)=eC1.n=0n收敛，而n=0Cn发散，证明n=0Cnz收敛半径为1 n 16 2.若
26、f(t)=F(s)sf(at)=F ，(a为正常数)证明：aa模拟试卷二答案 1一.填空题 1.5. 2pi 2. l=n=-3,m=1 3.1 4. 1 +-d(t)f(t)dt=f(0)- 二.选择题 1 (B) 2(C)3 (C) 4. (A) 三.计算题 e1. -4+3i-e2i4-3i2当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时 (z-a)(z-b)=0, cdz当a在c之内, b在c之外时 (z-a)(z-b)cdz=2pia-b-2pia-b, 当b在c之内, a在c之外时 (z-a)(z-b)cdz=, 3f(z)=z-1z+1=(-1)n=0nz-12n+1R=2. 14 s-k
27、模拟试卷三 一.填空题 1 z=0为f(z)=ze2(z2-1)的 级零点, 1Res,02. z2-z3 . 3. a,b,c均为复数，问(a)与abcbc一定相等吗？ . 4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？ 17 5. cosz= . cdz二.选择题 1. 设u和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数为 . (A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。 2级数n=1einn . (A) . 发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)无法确定 3C为z=2的正向, 则cedzz2z(z2+9)19= . (D) 以上都不对 (A) .
28、1 (B)2 (C)2pi4(A) f(t)=F(w)，则f(1-t)= . -iwF(w)e (B) F(-w)e-iw (C) F(w)eiw (D) 以上都不对 三.计算题 1.计算f(z)=z=1dzz+2,从而证明p01+2cosq5+4cosqdq=0. 2求在指定圆环域内的Laurent级数 f(z)=2pz-1z2,z-11. 3利用留数计算定积分: dq2+cosq kt04求拉氏变换四.证明题 1.说明Lnz2f(t)=te=2Lnz. 是否正确，为什么？ tf(t)dt=F(s)2.利用卷积定理证明0 s模拟试卷三答案 一.填空题 1 4 2. 1 3. 不一定 4. 否 5. 0 二.选择题 18 1. (B) 2 (A) 3 (C) 4 (D) 三.计算题 1.f(z)=z=1dzz+2=0, n+1-n-12f(z)=3p1z-1z2(-1)(n+1)(z-1)n=0. 2334 (s-k)2模拟试卷四 一.填空题 1. 复数z=1+i1-i2 三角表示形式 . 22. 设u=x-yn+xy为调和函数，其共轭调和函数为 3. n=0cn(z-i)能否在z=-2i处收敛而z=2+3i发散.
