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1、复合函数极限条件书中这样定义： 设函数y = fg(x)是由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成，fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义，若lim(x-x0)g(x) = u0, lim(u-u0)f(u) = A，且存在 0,当x属于x0的去心邻域时，有g(x)不等于u0，则lim(x-x0)fg(x) = A u 与u0的接近程度是用0 |u - u0| u0的过程中不等于u0 函数在某点的极限值是自变量逼近这一点时函数值无限接近的一个值，这个值与函数在这一点的函数值无关 如果能进一步针对这条举出反例就更好了， g(x)=xsin(1/x) 若u0，f(u)=0 若u=0，f
2、(u)=1 在0的去心邻域中，f(g(x)有定义 (*) 对任意的正数 ，在0的去心 邻域中，都有无数个点使得g(x)=0, 而f(g(x)=f(0)=1 limx0g(x)=0 limu0f(u)=0 而根据(*)，limx0f(g(x)不存在。 可见这个条件确实不能去掉。如果f(u)在u0处连续，那么这个复合函数的极限运算法则仍然是成立的，g(x)是否在其他点取值u0并无影响，因而很多时候在实际应用这条法则时并不去验证这条，因为我们通常面对的是连续函数。确实是这样的，因为g(x)在0的任意去心邻域内总是存在使得g(x)为0的点，而f(0) = 1 =/= lim(u-0)f(u)。所以就不存在0的某个去心邻域使得|f(g(x)-0|能够小于任意0，自然极限也就不存在了。 另一种情况：设lim(u-u0)f(u) = A，且f(u)在u0的某个去心邻域是连续函数，那么就有f(u0) = lim(u-u0)f(u) = A，再设lim(x-x0)g(x) = u0，那这时候就不用考虑在x0的某个去心邻域中，g(x) =/= u0这个条件了，因为g(x) =u0时，|f(g(x) - A| = 0 0 。
