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1、复变函数补充题复变函数补充习题 一、判断下列命题是否正确，并简单说明理由或举反例。 1、若函数f(z)在区域D解析，则f(z)也在D解析。 2、若函数f(z)在区域D解析，则f(z)在D有单值的原函数。 3、若函数f(z)在区域D有一阶导数，则f(z)在D有任意阶导数。 4、若z=a是解析函数f(z)的m阶零点，则z=a是函数f(z)-1的m阶极点。 5、设f(z)是整函数，|f(z)|1, 则f(z)为常数。 6、若函数f(z)在区域D解析，f(z)不恒等于零，则f(z)在D内不可能有无穷多个零点。 7、若解析函数f(z)在区域D有无穷个零点，则f(z)在区域D恒等于零。 8、设级数an(z
2、-a)n在其收敛圆盘内的和函数为f(z)，则f(z)在|z-a|R内n=0+-点点解析，在|z-a|=R上点点不解析。 9、设级数an(z-z0)n在其收敛圆盘|z-z0|R内的和函数为f(z)，则 n=0+f(z)在|z-z0|R点点不解析。 10、 设f(z)在0|z-z0|R解析，z0是f(z)的本性奇点，则Res(f(z),z0)=。 11、 设f(z)在0|z-a|0解析，在D连续，并且对于任何实数y， - |f(iy)|1,则在D内|f(z)|1。 22、 23、 sinz是整函数， 若anz的收敛半径为R，则的n3anzn收敛半径是R。 nn=0n=0+24、 函数f(z)在0|
3、z-a|R解析，则z=a是f(z)可去奇点的充要条件是 Res(f(z),a)=0。 25、 函数f(z)在0|z|R解析，若z=a是f(z)的可去奇点，则Res(f(z),a)=0. 26、 函数F(z)在0|z|p1.pn0, 证明在|z|1中不可能有p0+p1z+p2z2+.+pnzn的零点。 2，点z1,z2,.zn位于通过坐标原点的某一直线的一侧，证明的性质。 111,.具有同样z1z2zn3，z2在复平面C上是否一致连续？ 4，证明e-1z2在D=0|z|R,|argz|p6一致连续，但在D=0|z|R,|arz|gp3不一致连续。 第二章：复变函数 1，证明f(z)=xy在z=0
4、满足Cauch-Riemann方程，但在z=0处并不可导，问有无矛盾？ 2，找出适当的c，使得下列函数在z=1的一个邻域内解析 1cf(z)=4-。 z+z3+z2+z-4z-1证明f(z)在某个包含闭圆盘z:|z|1的开集内解析。 3，已知f(z)=ez-e-zsinz. f(z)在那个区域是单值的和解析的， 刻画其奇点， 计算z=25f(z)dz 4，设a是图中从原点出发的“8”字形围道，当z沿着a走一圈，问下列函数值有何变化？ log(z2-1), (1-z)p(1+z)q. 第三章：复积分 1, 找出复平面上满足|f(z)|f(z)|的所有解析函数。 2,设f(z)在包含z:|z|1的
5、一个开集解析， dnfn!证明：n(0)=e-niqRef(eiq)dq. pdz如果f(0)=1,并且在z：|z|0，证明 dnf |n(0)|2(n!). dz3, 设f(z)在0|z|1解析，并且0|z|1|f(z)|z2dxdy，则z=0是f(z)的可去奇点。 4, 设f(z)在|z|+解析，并且lim5,设f(z)在z：|z|2 解析，证明：1ezf(z)=0，则f(z)为常数。 z2ptf(eit)cos2dt=2f(0)+f(0). 26，计算积分： |z|=2edz。 第四章：级数 1，设f1(z),.,fn(z)在|z|1解析，并且fk(z)=0，则必有fk(z),(1kn)
6、，满k=1n足fk(z)=0。 12，f(z)在|z|+解析，在点列(n=1,2,.)上取实值，则f(z)必在实轴上取n实值。 3，设f(z)=cnzn在r|z|R解析，并且将其一一映射为D，则D的面积为-+S=pn|cn|(R2n-r2n)。 -+4，设f(z)和g(z)是复平面上的解析函数，|f(z)|g(z)|, 证明：f(z)=cg(z)其中c为常数。 5，设f(z)在|z|1解析，在0|z|1单叶，则f(z)在|z|1单叶。 6，f(z)是区域D上的亚纯单叶函数，则f(z)在D内只有一个一阶级点。 7，设D是有界区域，fn(z)是从D到D的解析函数，并且存在aD,limfn(a)=b
7、D，证明：对于任何zD,limfn(z)=b。 nn8，设anzn的收敛半径是r，其收敛函数f(z)在|z|=r上只有一个奇点a，且a为n=0+一阶极点，则liman=a. nan+19，下列命题是否正确：对于任何正整数n，存在整函数fn(z)，使得 max|Refn(z)-log|z|1z21. n10，证明：h(z)=(1+zte-t)-1e-tcos(t2)dt在|z|e解析。 011，设c0， F是|z|1上的解析函数族并且满足：对于f(z)F成立，2psup0r1|f0(reiq)dqc，证明F是正规族。 第五章：留数 pp1，方程z4+z+5=0在第一象限有几个根，有几个根的幅角属
8、于,？ 422，设f(z), g(z)在|z|1除去可能有极点外处处解析。在|z|=1成立，|f(z)+g(z)|f(z)|+|g(z)。, 证明：f(z)与g(z)在|z|1, 证明: a-z=e-z在右半平面z:Rez0上只有一个实根。 4，证明：sinz=z有无穷多个解。 5，设为n1的整数，计算积分：1dx。 n1+x06，计算积分：|cos(x2)dx。 0第六章：保形映射 1，设f(z)在0|z|1解析，若|f(z)|log1, 则f(z)0 |z|2，f(z)在|z|1解析，Re证明f(z)-f(z0)f(z)+f(z0)_-|z-z0|1-zz0|_,其中 |z|1,|z0|0
9、共形映射成上半平面的函数f(z)一定是分式线性变换。 5，设f(z)在|z|1解析，|f(z)|1，且f(a)=0，这里|a|1。证明：在|z|1内，成立不等式|f(z)|z-a1-za-. 6，设f(z)在|z|1解析, |f(z)|M,a1,.,an是f(z)在|z|1中的零点, 则 n |f(z)|Mk=1z-ak1-zak-. 7，设f(z)在|z|1解析，|z|=1时, |f(z)|=1, 且f(z)在|z|1只有一个零点，求f(z)。 8，f(z)在|z|1解析，在|z|1连续；|z|=1时，|f(z)|=1, 则f(z)为有理函数。 9，设f(z)、g(z)在区域D及其边界上解析
10、，则|f(z)|+|g(z)|必在D的边界上取得最大值。 10，设f(z)在|z|1解析，在|z|1连续，若在g=eiq,0qp上，f(z)1, 则在|z|1上, f(z)1。 411，设f(z)在|z|1解析，f(0)=0，|Ref(z)|1，则|f(0)|p。 12，记W=z:-1Imz1，设F是下列函数组成的函数族，fi:WC, |f(z)|1, f(0)=0, 求sup|f(1)|.。 fF13，设f(z)在z：|z| 1 解析，f(0)=-1。 对于任何|z|1, |1+f(z)|1+f(z)|。证明：|f(0)|4。 14，设f(z)是一个整函数，满足：|f(z)|1，则f(z)恒
11、等于0。 |Rez|15，设f(z)在U=z：|z|1解析，f(0)=0, 对于任何zD,|f(z)1,如果 fn(z)=f(f(f(z)为f(z)的n重复合函数，并且对于任何zD,fn(z)g(z)，证明：g(z)=0或者g(z)=z。 第七章：解析开拓 1，设Q=0,1X0,1, f(z)在Q的一个邻域解析，f(z+1)-f(z)0,z0,i;f(z+i)-f(z)0,z0,1.则f(z)为常数。 2，构造一个共形映射，它把单位圆映射成复平面切去n条射线w=rei2kpn;n14r,k=0,1,n-1的n次对称区域。 3、把Z平面实轴上从-到-1的射线、从1到+的射线以及从原点出发的下半虚
12、轴作为割线，得到一区域。作一个单叶解析函数，把这区域保形映射成为W平面的上半平面。 第八章：调和函数 11，f(z)在|z|解析，limRef(z)=0,证明：f(z)为常数。 zz12，f(z)在z=的邻域解析，limref(z)=0，则极限limf(z)存在。 zzz3，实值函数u(z)在0|z|r内调和，limzu(z)=0，证明：u(z)=Alog|z|+v(z),其中z0v(z)在|z|r解析，A为实常数。 4，u(z)在|z|调和，|u(z)|K|y|, 则u(z)=ky,，k为实常数，|k|K. 5，设函数f(z)=u(z)+v(z)在|z|R解析，证明：f(z)=1u(x)dx
13、,|z|rR. 2pi|x|=r(x-z)6，设f(z)是解析函数，问|f(z)|, log|f(z)|, f(|z|), |f(z)|n是调和函数吗？ 7，设f(z)是整函数且满足|Ref(z)|z|n，n为正整数，证明f(z)是不超过n阶的多项式。 第九章：杂题 1、设f(z)在|z|R解析，f(0)=0,f(0)0,当0|z|rR时，f(z)0证明：当pr,|w|m=min|f(eiq)|时,g(w)=q1tf(t)dt,是关于w的解析函2pi|z|f(t)-w=pw0数，并且z=g(w)是方程f(z)=w的唯一解，并且limg(w)=0.。 2、设fn(z)是区域D上的解析函数列，fn(z)至多有m个零点，fn(z)在D内闭一致收敛于f(z)，则f(z)在D上或者恒等于0，或者至多有m个零点。
