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1、多元函数微分学其他题其它题型 x2+y2=51、求椭圆的长半轴与短半轴之长。 x+2y+3z=62、求椭球面x2+2y2+4z2=70上距离平面2x-3y+6z=105的最近点和最远点。 3、求平面x+2y+3z=6和柱面x2+y2=5交线上与xy平面距离最短点的坐标。 4、利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面Z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离。 5、利用拉格朗日乘数法，试在椭球面2x2+y2+z2=1上，求距离平面2x+y-z=6的最近点和最近距离、最远点和最远距离。 6、将p分成三个正数的和，使它们的正弦值之和取最大值。 7、求函数u=xy2z在条件x2+y2+z2=4R2,x
2、0,y0,z0下的极大值，并证明对任意正数a,b,c,成立abc2164(a+b+c)。其中R0。 48、在空间直角坐标系原点处有一单位正电荷，设另有一单位负电荷p在椭圆z=x2+y2上移动，问两电荷间的引力何处最大及何处最小？ x+y+z=19、求函数u=lnx+2lny+3lnz在条件x2+y2+z2=6R2,x0,y0,z0下的极大值，从而证明对任意正数a,b,c,成立abc231432(a+b+c)。其中R0。 610、在xy平面上求一点M(x,y)，使它到三条直线x+2y=4,x-2y=4,x=-2的距离平方和为最小。 11、在空间找一点P(x,y,z)，使它到三个平面x+y+z=1
3、,x-y+z=1,y-z=1的距离平方和为最小。 12、作一个容积为V立方米的圆柱形无盖容器，应如何选择尺寸，方能使用料最省。 13、作一个容积为V立方米的长方体有盖容器，应如何选择尺寸，方能使用料最省。 14、求棱长之和为12l(l0)，且具有最大体积的长方体体积。 15、横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于S，当容器的断面半径与长度各为多大时，容器具有最大容积？ 16、求内接于半径为R的球且具有最大体积的圆柱体的尺寸。 17、在旋转抛物面z=x+y和平面z=h所围成的立体内，求底面平行于xy平面的最大长方体的体积。 18、用拉格朗日乘数法求解下面的问题：隧道截面的上部为半圆，下部
4、为矩形，若隧道截面的周界长L固定，问矩形的边长各为多少时，隧道截面的面积最大？ 2219、求外切于半径为R的圆，且具有最小面积的三角形的尺寸。 20、求体积为常数V，且棱长之和为最小的长方体的尺寸。 21、求内接于椭圆x2+4y2=16且边平行于坐标轴，并具有最大面积的长方形的面积。 xa2222、在椭球体+yb22+zc221位于第一卦限的部分内，作各侧面平行于坐标面的内接长方体，问长方体的尺寸如何，方能使其体积为最大？ 23、在圆x2+y2=1的x0,y0部分上找点 P，使其到点 M(2,1)的距离为最小。 24、求表面积为S，而体积为最大的圆柱体的体积。 25、求表面积为a2而体积为最大
5、的长方体的尺寸(a0)。 x226、已知平面上两点A(1,3),B(4,2)，试在椭圆4+y29=1的x0,y0部分上找点 C，使得 DABC的面积为最大。 27、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 28、造一容积为V形状为圆柱体的煤气罐，已知其顶部和侧壁每单位面积的造价分别是底部每单位面积造价的2倍和3倍，问如何设计，方能使其造价最低？ 29、修建一座容积为V，形状为长方体的厂房，已知屋顶每单位面积的造价是墙壁每单位面积造价的两倍，地面造价不计，问如何设计，可使其造价最低？ 30、计划作一批形状为圆柱体的油
6、桶，每只油桶造价定为a元，已知油桶侧壁每单位面积的造价是其上下两面每单位面积造价的1.5倍，问如何设计油桶的尺寸，才能使每只油桶的容积达到最大？ 31、修建一座容积为V形状为长方体的地下仓库，已知仓库顶和墙壁每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的4倍和3倍，问如何设计可使其造价最低？ 32、某厂生产容积为0.176p立方米形状为圆柱体的盒子，其顶部，底部和侧面用不同的材料制成，它们每平方米的价格分别为4元，1.5元和2元，问应如何设计才能使盒子成本最小？ 33、修建一座形状为长方体的仓库，已知仓库顶每平方米造价为300元，墙壁每平方米造价为200元，地面每平方米造价为100元，其它的固定费
7、为2万元，现投资14万元，问如何设计方能使仓库的容积最大？ 34、沿厂房的后墙修建一座容积为V形状为长方体的仓库，已知仓库的屋顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的2倍和1.5倍，厂房后墙的长和高足够，因而这一面墙壁的造价不计，问如何设计，方能使仓库的造价最低？ 35、现投资a万元修建一座形状为长方体的厂房，已知每单位面积征地费用为 b元，2设厂房的长、宽、高分别为 x,y,z单位，则其造价 C=kxyz，其中常数 k0，问如何设计厂房的长、宽、高，方能使其容积最大？ 36、已知函数f(x,y)=x+2xy-3y-4x+5在点 (0,0)处带余项的一阶泰勒322公式是f(x,y)=
8、5-4x+R1，试用拉格朗日型的余项表达 R1。 37、已知函数f(x,y)=ln(1+x2+2y)在点 (0,0)处带余项的一阶泰勒公式是f(x,y)=2y+R1，试用拉格朗日型的余项表达 R1。 38、若x-1,y-2同1相比是很小的量，试利用关于(x-1),(y-2)的二次多项式来近似表示函数f(x,y)=xy。 39、设函数f(u,v)对各变元具有一阶连续偏导数，试用(x+3)和(y-2)的一次项近似表示函数z=f(x+2y,x2y)。 40、若x,y同1相比是很小的量，试将函数f(x,y)=ex+3y用 x,y的二次多项式来近似表达。 41、设由方程z3-4xy-2y2z=3确定函数
9、z=z(x,y)，且z(1,-1)=1，试写出函数z(x,y)在点处的二阶泰勒多项式。 42、设由方程ez+x+2y-2z-3=0确定函数z=z(x,y)，且z(0,1)=0，将函数z(x,y)在点(0,1)处展开为二阶带拉格朗日型余项的泰勒公式。 43、设函数f(x,y)=ln2(x+3y)在点(-1,1)处的一阶泰勒多项式为2(x+1)+3(y-1)，试写出其拉格朗日型余项R1。 44、设函数x+y+12!2f(x,y)=ln(1+x+y)2的二阶麦克劳林多项式为(-x-2xy-y)，试写出其拉格朗日型余项R2。 x45、设函数f(x,y)=eln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为y+(2x
10、y-y)，试写出2251其拉格朗日型的余项R2。 46、设x+y12，用x,y的多项式(x+y)-13!(x+y)+315!(x+y)近似代替函数f(x,y)=sin(x+y)，能否使其误差不超过 10-5，试说明。 47、设x+y1，用x,y的多项式近似代替函数f(x,y)=cos(x+y)，要求使其误差不超过0.01。 48、在点(1,2)根据泰勒公式展开函数f(x,y)=x到二次项为止，并利用结果计算y1.022.01的近似值。 49、写出函数f(x,y)=exln(1+y)的二阶麦克劳林多项式，并由此计算e0.03ln0.98的近似值。 50、设由方程ez+x+2y-2z-3=0确定函
11、数z=z(x,y)，且z(0,1)=0，在点(0,1)根据泰勒公式展开函数z(x,y)到二次项为止，并利用结果计算z(-0.03,1.02)的近似值。 51、已知坐标平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，在此平面上找点 M，使其到点 A,B的距离平方和为最小。 52、已知坐标平面上三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，在此平面上找点 M，使其到点A,B,C的距离平方和为最小。 53、已知坐标平面上n个点Mi(xi,yi),(i=1,2,n)，在此平面上找点 M，使其到点 Mi的距离平方和为最小。 54、设f(x)在0,1上连续，试利用最小二乘法的思想，以直线段y=a
12、x+b拟合曲线段y=f(x)(0x1)，即使f(x)-ax-bdx最小，求常数 a,b的值。 20155、在椭圆xa22+yb22椭圆在第一象=1的第一象限部分上求一点使椭圆在该点的切线、限的部分及坐标轴所围成的图形的面积最小，其中a0,b0。 56、在椭圆2x+9y22=36的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线与坐标轴所围三角形的面积最小，并求最小三角形面积。 57、在椭圆x+9y=4的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线位于两坐标轴之间的一段长度为最短，并求最短长度。 58、在椭圆x+64y=64的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线在坐标轴上的截距之和最小。 59、惠更斯问
13、题：设0ab，在a,b之间插入n个数，ax1x2xn0,b0,c0。 66、求过点的平面，使此平面在三个坐标轴上的截距都是正数，且平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小，并求最小四面体的体积。 67、求过点的平面，使此平面在三个坐标轴上的截距都是正数，且截距之平方和为最小。 68、在椭球面x2+y2+3z2=9的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为最小。 69、在椭球面xa22+yb22+zc22=1的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处的切平面、椭球面及三个坐标面在第一卦限部分所围成的立体体积为最小，并求最小体积，其中a0,b0,c0。 70、在周长为2P的三角形中，求这样的三角形，使它绕自己的一边旋转所得旋转体的体积最大。
