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1、大一微积分下册经典题目及解析微积分练习册第八章多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： 若f(x,y)=x+y-xytan22x，则f(tx,ty)=_ yyx2+y2若f(x,y)=，则f(2,-3)=_,f(1,)=_ x2xyy若f=xx2+y2 (yf0)，则f(x)=_yyx22_ 若f(x+y,)=x-y，则f(x,y)=_函数z=4x-y2ln(1-x-y)22的定义域是_ 函数z=x-y的定义域是_ y的定义域是_ x(7)函数z=arcsiny2+2x函数z=2的间断点是_ y-2x2.求下列极限： lim2-xy+4x0xyy0 (2)limsinxyx0
2、xy01-cos(x2+y2)(3)lim x0(x2+y2)x2y2y03.证明 (x,y)(0,0)limxyx+y22=0 x2y4.证明：极限lim=0不存在 (x,y)(0,0)x4+y21xsin,(x,y)(0,0)5.函数f(x,y)=在点处是否连续？为什么 x2+y20, (x,y)=(0,0)习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 设z=lntanxzz，则; =_,=_yxyzz=_,=_; xy设z=exy(x+y)，则设u=xyuuu=_,=_,=_，则; zxyzy2z2z2z设z=axctan，则2=_,2=_, =_xxyxyxz2u设u=，则; =
3、_yxy设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则limx0f(a+x,b)-f(a-x,b)=_ x2.求下列函数的偏导数 (1)z=(1+xy)y (2)u=arcsin(x-y)z 3.设z=y，求函数在点的二阶偏导数 x3z3z4.设z=xln(xy)，求2和 2xyxy5.z=e11-(+)xy，试化简x2zz+y2 xy3xy,(x,y)(0,0)22f(x,y)=x+y6.试证函数在点处的偏导数存在，但不连续. 0, (x,y)=(0,0)习题8-3全微分及其应用 1.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：Px=1000-5Qx;PY=1
4、600-4QY 公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位。 X和Y当前的价格弹性是多少？ 假定Y降价后，使QY增加到300个单位，同时导致X的销量Qx下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？ (利用弧交叉弹性公式：Erx=Qx2-Qx1Py2-Py1/) Qx2+Qx1Py2+Py12.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为： DA=(Pr+KAIA)/Px;DB=KBIB/Px 商品X的市场需求函数； 计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，Pr是其价格，求商品X对Y的需求交叉弹性 3.求下列函数的全微分 u=s+t s-t1x设f(
5、x,y,z)=z，求df(1,1,1) yz=ln(1+x2+y2)，求当x=1,y=2,Dx=0.1,Dy=0.2的全增量Dz和全微分dz 334.计算(1.02)+(1.97)的近似值 习题8-4多元复合函数的求导法则 1.填空题 设z=ulnv而u=2xzz,v=3x-2y，则=_,=_ yxydz=_ dt设z=arsin(x-y)而x=3t，则dueax(y-z)=_ 设u=,而，则y=asinx,z=cosx2dxa+1设z=arctan(xy),而y=ex，则设u=f(x2-y2,exy)，则dz=_ dxuu=_,=_ xyu=f(x,xy,xyz)，则 u=_ x2n n=1
6、n12z2.设z=f(xy)+yf(x+y),f具有二阶连续导数，求 xxy2zx3.设z=f(x,),f具有二阶连续偏导数，求2 yxy22z),f，具有二阶连续偏导数，求4.设z=xf(2x,. xxy5.设z=f(sinx,cosy,ex+y2z),f，具有二阶连续偏导数，求2 x22z2z7.设f与g有二阶连续导数，且z=f(x+at)+g(x-at)，证明：2=a tx2习题8-5隐函数的求导公式 1.填空题： 设lnx+y=arctan22ydy=_ ，则dxx设x+2y+z-2xyz=0，则zz=_,=_ xy设xzzz=ln，则=_,=_ xyzyzz =_,=_xy设zx=y
7、z，则2z2.设e=xyz，求 xyz2z3.设z-3xyz=a，求 xy334.设2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z，求22dydzz=x+y, 5.设2，求22dxdxx+2y+3z=20zz+ xy6.设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数，求7.设由方程F(x+dy dxzz,y+)=0确定z=z(x,y)，F具有一阶连续偏导数，证明： yxxzz+y=z-xy xy8.设x=x(y,z),y=y(z,x),z=(x,y)，都是由方程F(x,y,z)=0所确定的有连续偏导数的函数，证明： xyz=-1 yzx习题8-6多元函数的极值及其应用 1
8、.填空题： z=x-y+2xy-4x+gyz驻点为_ f(x,y)=4(x-y)-x-y的极_值为_ f(x,y)=e(x+y+2y)的极_值为_ 2x22222z=xy在适合附加条件x+y=1下的极大值为_ 22u=f(x,y)=x-x2-y2在D=x,yx+y1上的最大值为_，最小值为_ 2.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 班级：姓名：学号： 3.旋转抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离 微积分练习册第八章多元函数微分学 4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x，乙种鱼放养y，收获时两种鱼的收获量分别为(3-ax-by
9、)x,(4-bx-2ay)y,(ab0)，求使产鱼总量最大的放养数 班级：姓名：学号： 5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产ab函数为Q=2x1x2，其中a,b为正常数，且a+b=1，假设两种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？ 微积分练习册第九章二重积分 习题9-1二重积分的概念与性质 1.填空题 当函数f(x,y)在闭区域D上_时，则其在D上的二重积分必定存在 二重积分f(x,y)dd的几何意义是_ D若f(x,y)在有界闭区域D上可积，且DD1D2，当f(x,y)0时，则f(x,y)dd_f
10、(x,y)dd； D1D2当f(x,y)0时，则f(x,y)dd_f(x,y)dd D1D222222d，其中是圆域的面积，x+y4sin(x+y)dd_dDd=16p 2.比较下列积分的大小： (1)I1=23与(x+y)ddI=(x+y)dd其中积分区域D是由x轴，y轴与直线2DDx+y=1所围成 (2)I1=2与ln(x+y)ddI=ln(x+y)2dd，其中 DDD=(x,y)3x5,0y1 3.估计下列积分的值 I= I=2222，其中(x+4y+9)ddD=(x,y)x+y4 Dxy(x+y+1)dd，其中D=(x,y)0x1,0y2 D4求二重积分 x2+y211-x2-y2dd
11、 5.利用二重积分定义证明 kf(x,y)dd=kf(x,y)dd DD习题9-2利用直角坐标计算二重积分 1.填空题 (2)323 0x1,0y1 (x+3xy+y)dd=_其中D：D将二重积分Df(x,y)dd，其中D是由直线y=x,x=2及双曲线y=1(x0)所围x成的闭区域，化为先x后y的积分，应为_ 将二次积分将二次积分 2 1 p dx2x-x2 2-xsinxx2f(x,y)dy改换积分次序，应为_ 0 dx 1 -sinf(x,y)dy改换积分次序，应用_ 将二次积分 e dy-2 2 -lnyf(x,y)dx+ 1+2 1dy 2 (y-1)2f(x,y)dx改换积分次序，应
12、为_ 将二次积分 1 0 dy2y 0f(x,y)dx+dy 1 3 3-y 0f(x,y)dx，改换积分次序，应为_ 2.计算下列二重积分： (1)xxyeD2+y2dd,其中D=(x,y)axb,cyd (2)22(x+y)dd,其中D是由直线y=2,y=x，及y=2x所围成的闭区域. D (3)Dy-x2dxdy,其中D：-1x1,0y2 yx3.计算二次积分 1 0dy 1 yedx a4.交换积分次序，证明：22 0dyem(a-x)f(x)dx=(a-x)em(a-x)f(x)dx 00ya5.求由曲面z=x+2y及z=6-2x-y所围成的立体的体积. 22习题9-3利用极坐标计算
13、二重积分 1.填空题 把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 x2+y22xy; f(x2+y2,arctan)dxdy=_xD=(x,y)1x+y4,yx,22eDx2+y2dxdy=_ 化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 2a 0 1dx1 02ax-x2 0f(x2+y2)dy=_,(a0) 0 2dxf(x2+y2)dy=_; dx 3x x 0yf(arctan)dy=_; x 1 0dxf(x,y)dy=_. 0x22.计算下列二重积分 (1)2222,其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭ln(1+x+y)ddD区域. (2) (3) (4)(2) 3.计算
14、二重积分2222，其中D由不等式yR+x,x+yR,y0确定 4.计算以xoy面上的圆周x+y=ax(a0)围成的区域为底，而以曲面z=x+y为顶的曲顶柱体的体积 2222微积分练习册第十章微分方程与差分方程 习题10-1微分方程的基本概念 1.填空题 方程x2(y)4-3y+ylnx=0称为_阶微分方程 设y=y(x,c1,c2LL,cn)是方程y-xy+2y的通解，则任意常数的个数n=_ 设曲线y=y(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程_ 设曲线y=y(x)上任一点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a，则曲线所满足的微分方程_ 某人以本金p
15、0元进行一项投资，投资的年利率为g，若以连续复利计，t年后资_ 金的总额为p(t)=_方程y=x+kt x 0ydx可化为形如_微分方程 dQ=-0.03Q，问C和K的取值应如何？ dt2.已知Q=ce满足微分方程3.、若可导函数f(x)满足方程f(x)=2 x 0tf(t)dt+1(1)，将式两边求导，得f(x)=2xf(x)LLLLLLLLLLLLLLLLLL(2) 易知f(x)=cex(c为任意常数）是的通解，从而f(x)=cex为的解，对吗？ 4.证明：y=c1x+c2xlnx是微分方程x2y-xy+y=0的通解. 22习题10-2一阶微分方程(一) 1.求下列微分方程的通解： 1-y
16、2y= 1-x2 (2)y+ey2+3xyx=0 x2 (3)3etanydx+(2-e)secydy=0 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： sinycosxdy=cosysinxdx,yx=0=p4xydx-dy=0,y1+y1+xx=0=1 3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过XX年后，只余原始量R0的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系 微积分练习册第十章微分方程与差分方程 习题10-2一阶微分方程 1.填空题 设y是*dy+p(x)y=Q(x)的一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解dxx-1xe是方程xy+y=xex的一个特解，则其通解为x为_
17、y=*y*=x-1xe+_ x2微分方程xy+y-ylnx=0作变换_可化为一阶线性微分方程 (x+y)y+(x-y)=0的通解为_ xyxy(1+2e)dx+2e(1-2.求下列微分方程的通解： (1)xy+y=x+3x+2 2x)dy=0的通解为_ y (2)(x-2xy-y)y+y=0 3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： 22dy+ycotx=5ecosx,ydxx=p2=-4 4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： dy=(x+y)2 dx (2)xy+y=y(lnx+lny) 5.已知一曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2x+y，求该曲
18、线的方程 6.设f(x)可微且满足关系式 2f(t)-1dt=f(x)-1,求f(x) 0 x习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用 1.已知某商品的需求价格弹性为EQ=-P(lnP+1)，且当P=1时，需求量Q=1 EP(1)求商品对价格的需求函数 当P+时，需求量是否趋于稳定？ 2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性h=3P2，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数 3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：Q=其中a0,b0为常数，价格P是时间t的函数，且满足 a,S=bp 2Pdp=kQ(p)-S(p) (k为正常数） dt假设当t=0时，价格为1，试求： (1)
19、需求量等于供给量的均衡价格Pe (2) 价格函数p(t) (3) limp(t) t+4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为1N，在任意时刻t已掌握新技术人数为x(t)，其10变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k0 N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为求x(t) 5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续XX年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。若t以年为单位，写出余额B=f(t)所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B为多少时，才能使XX年后帐户中的余额精确地减至0. 习题10-4可降阶的二
20、阶微分方程 1.填空题 微分方程y=1的通解为_. 21+x微分方程y=1+(y)2的通解为_._ 微分方程y=y+x的通解为_. 微分方程yy+(y)2=y的通解为_. 微分方程y+2(y)2=0的通解为_. 1-y设y1=x2与y2=x2lnx是方程x2y-3xy+4y=0的特解，则其方程的通解为_. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解 d2yy+1=0,y2dx3x=1=1,dydxx=1=0. 3.求下列微分方程满足初始条件的特解： (1)y-ay2=0, yax (2)(1)y=e, yx=0=0,yx=1x=0=-1 x=1=y=0 4.试求y=x的经过点M(0,1)且在此点
21、与直线y=22x+1相切的积分曲线 225.验证y1=ex及y2=xex都是方程y-4xy+(4x-2)y=0的解，并写出该方程的通解. d2ydy+a(x)+b(x)y=f(x)的6.设函数y1(x),y2(x),y3(x)均是非齐次线性方程dxdx2特解，其中a(x),b(x),f(x)为已知函数，而且y2(x)-y1(x)常数，求证 y3(x)-y1(x)y(x)=(1-c1-c2)y1(x)+c1y2(x)+c2y3(x) (c1,c2为任意常数）是该方程的通解. 7.证明函数y=c1e+c2e解. x2x+15xe (c1,c2是任意常数）是方程y-3y+2y=e5x的通12习题10
22、-5二阶常系数线性微分方程 1.填空题 微分方程y-4y=0的通解为_. 微分方程y+4y+4y=0的通解为_. 微分方程y+2y+5y=0的通解为_. 微分方程y+2y+ay=0 (a为常数）的通解为_ _. 设2i为方程y+py+qy=0的特征方程的两根，则其通解为_. 设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为r1=2 ,r2=4，则该二阶常系数齐次线性微分方程为_. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1)y-4y+3y=0, y (2)4y+4y+y=0, yx=0x=0=6, yx=0=10 =2, yx=0=0 =3 (3)y-4y+13y=0, yxxx=0=0, y
23、x=03.求以y1=e,y2=xe为特解的二阶常系数齐次线性微分方程 4.方程4y+9y=0的一条积分曲线经过点(p,-1)且在该点和直线y+1=x-p相切，求这条曲线方程 225.求xy-(y)=0的过点，且在此点与y=x-1相切的积分曲线. 习题10-5常系数线性微分方程 1.填空题： x微分方程y+2y+y=xe的特解可设为型如y*=_. 微分方程y-7y+6y=sinx的特解可设为型如y*=_. 微方程y-2y+5y=exsin2x的特解可设为型如y*=_. (4)微分方程y+y=x+cosx的特解可设为型如y*=_. (5)微分方程y-y=xsin2x的特解可设为型如y*=_. 2.
24、求下列微分方程的通解： y+3y+2y=3xe-x y+y=ex+cosx 3.求微分方程满足所给初始条件的特解： y-y=4xex, yx=0=0, yx=0=1. 4.设函数y=y(x)满足微分方程y-y-2y=3e-x，它的图形在x=0处与直线y=x相切，求该函数 5.设函数j(x)连续，且满足j(x)=e+xx 0tj(t)dt-xj(t)dt，求j(x). 0x6.设函数y(x) (x0)二阶可导，且y(x)0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点p(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为s1，区间0,x上以y=y(x)为曲边的曲边梯形的面
25、积记为s2，恒有2s1-s2=1，求曲线y=y(x)的方程. 习题10-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构 1.填空题 设yx=ex，则Dyx=_ (2)设yx=x2，则Dyx=_ (3)设yx=cos2x，则Dyx=_ (4)差分的运算法则：D(cyx)=_ D(yx+zx)=_ 2.已知yx=ex是方程yx+1+ayx=2ex的一个解，求a. 3.求下列函数的二阶差分 (2)y=2x3-x2 (3)y=logax (a0,a1) 4.给定一阶差分方程yx+1+pyx=Aax，验证： 当p+a0时，yx=Aax是方程的解. p+a当p+a=0时，yx=Axax-1是方程的解 习
26、题107一阶常系数线性差分方程 1.填空题 一阶常系数齐次线性差分方程yx+1-ayx=0 (a0)的通解为_ 2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解： (1)2yx+1-3yx=0 (2)yx+yx-1=0 yx+1-yx=0 习题10-7一阶常系数线性差分方程 1.填空题 若f(x)=pn(x)，则一阶常系数非齐次线性差分方程yx+1-ayx=f(x) *具有形如yx=_的特解. _; 当1不是特征方程的根时，k=_. 当1是特征方程的根时，k=_2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解 (1)2yx+1+5yx=0且y0=3 (2)Dyx=0，且y0=2 3.求下列一阶差分方程的通
27、解 Dyx-4yx=3 (2)yx+1+4yx=2x2+x+1 yt+1-1yt=2t 2 (4)yt+1+yt=t2t 4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解 yx+1+4yx=2x2+x-2且y0=1 (2)yx+1+yx=2x,且y0=2 习题10-9差分方程的经济应用 1. 设St为t年末存款总额，r为年利率，有关系式St+1=St+rSt，且初始存款为S0，求t年末的本利和. 2.设某产品在时期t的价格，总供给与总需求分别为Pt,St与Dt，对于t=0,1,2,L有关系St=2Pt+1式:Dt=-4Pt-1+4 S=Dtt求证：由关系式可推出差分方程Pt+1+2Pt=2; P
28、0已知时，求该方程的解. 3.设yt为t期国民收入，ct为t期消费，I为投资，三者有关系式yt=ct+I,ct=ayt-1+b，其中0a0 已知t=0时，yt=y0,试求yt和ct 4.设某商品在t时期的供给量st与需求量dt都是这一时期该商品价格pt的线性函数， 已知st=3pt-2, dt=4-5pt 且在t时期的价格pt由pt-1及供给量与需求量之差st-1-dt-1按关系式 pt=pt-1-1(st-1-dt-1)确定 16试求商品的价格随时间变化的规律. 习题11-1常数项级数的概念和性质 1.填空题 un=1n收敛，则lim(un-un+3)=_. n2an=1n收敛，且Sn=a1
29、+a2+L+an，则lim(Sn+1+Sn-1-2Sn)=_. n(+)+(12131111+)+(+3)+2232323的和是_ 若un=1nn的和是3，则un=3n的和是_ tnt的和是2，则的和是_ n=1n=12当x0) n+12.判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？ an(-1)(1-cos),(a0) nn=11 lnn2n (2)(-1)nn=23.已知级数an=1和bn=12n都收敛，试证明级数abn=1nn绝对收敛. 习题11-4泰勒级数与幂级数 1.填空题 若幂级数an(n=1x-3n)在x=0处收敛，则在x=5处_. 2cn=2，则幂级数cnx2n的收敛半
30、径为_. 若limn+cn=0n+1(-3)nxn的收敛域_. nn=13+(-1)nnx的收敛域_. n3n=0x2n+1(-1)的收敛域_. nn2n=1n1+n(x-2)n的收敛域_. 2n=01+n2.求下列幂级数的收敛域： 2nn(1)2x n=1n+1 (2)2n-13nx n2n=11n (x-3)nn=1n3 (3)3.若幂级数axnn=1n的收敛域是-9，9，写出axnn=12n的收敛域 4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数 (1)nxn=1n-1,(-1x1) x2n-112)的和. ,(-1x0) (2)ax,(a0且a1) (3)sinx (4)(
31、1+x)ln(1+x) 2.将函数f(x)=21在x0=1处展开成幂级数. (1+x)23.将函数f(x)=1展开成(x-2)的幂级数. 3+x2x+14.将函数f(x)=2展开成(x-2)的幂级数. x+x-25.将函数f(x)=e3x在x=1处展开成幂级数 6.设In=4 0psinxcosxdx,n=0,1,2n，求In=0n. 一、填空题 1.设由方程x+y+z=e确定是x,y的函数，则zz=_. xy12.设f(x,y,z)=z，则df(1,1,1)=_. x3.x2+y211-x2-y2dxdy=_. 4.若级数(un-n=1n)收敛，则limun=_. xn+15.差分方程yx+
32、1-2yx=-8的通解为_ 二、选择题 1.下列命题中，正确的是 A.若(x0,y0)是函数z=f(x,y)的驻点，则z=f(x,y)必在(x0,y0)取得极值 B.若函数z=f(x,y)在(x0,y0)取得极值，则(x0,y0)必是z=f(x,y)的驻点 C.若函数z=f(x,y)在(x0,y0)处可微，则(x0,y0)必是z=f(x,y)连续点 D.若函数z=f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在，则z=f(x,y)在(x0,y0)处必连续 2.设D由x2+y2=1围成，则二重积分I=f(D 1x2+y2)ds= A.4dy 0 1 1-y2 0 1f(x+y)dxB.4 02dq 0r
33、f(1)dr 22 pppC.42dqf(r)drD.2dqrf(1)dr 0 0 0 0 13.若a收敛，则2nn=1an nn=1A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定 4.方程y=x+ x 1ydx可化为形如的微分方程 y-y=1y-y=1x-1A.y-y=1B.y=2e-1C. D.y(0)=0y(1)=15.差分方程的特解可设为 Ab.0x2B.b0x3C.b0x2+b1x+b2D.x(b0x2+b1x+b2) 三、计算题 1.设z=lntanxzz，求,. yxy2.交换积分次序，求I=3.求I= 1 0dy 1 yey/xdx. xD2+y2-1ds，其中D:x2+y24
34、. 2n4.判定级数的敛散性. nn3n=15.求微分方程dyp+ycotx=5ecosx满足y=4的特解. dx2微积分练习册模拟试卷一 2z6.设z=f(x,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求. xy7.求级数nxn=1n的收敛域及和函数. 8.求微分方程y-y=4xex的通解. 四、应用题 1.假设某产品的销售量x(t)是时间t的可导函数，如果商品的销售量对时间的增长速率dxdt与销售量x(t)及销售量接近于饱和水平的程度N-x(t)之积成正比，当t=0时，x=求销售量x(t). 2.设生产某种产品需用原料A和B，它们的单位价格分别是10元和15元，用x单位原料A和y单位原料B可生产20xy-x2-8y2单位的该产品，现要以最低成本产生112单位的该产品，问需要多少原料A和B？ 五、证明题 an+1bn+1设(n=1,2;an0,bn0)，证明：若bn收敛，则an收敛. anbnn=1n=11N. 10微积分模拟试卷二 一、单项选择题 1.二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数存在，是在该点可微的 A.充分条
