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1、大一高数基础练习题高等数学 1.设y=f(x)的定义域为(0,1，j(x)=1-lnx，则复合函数y=fj(x)的定义域为_；0lnx1,x1,e) 2.已知x0+时，arcta与xnax是等价无穷小，则a=_；cosxarctan3x3=1,a=3； x0axasin2xp13函数y=+cos，则dy=_；2(2cos2x-sin2x)dx； x6xlim4函数y=xe-x-2的拐点为_；y=e(x-2)=0,x=2，(2,2e) -xpsinx,x0时，1+xln(x+1+x2)1+x2 。 证明 f(x)=1+xln(x+1+x2)-1+x2，f(x)=ln(x+1+x2)0,x0， f
2、(x)f(0)=0，则当x0时，1+xln(x+1+x2)1+x2 第 2 页 共 18 页 四、应用题 1要建造一个体积为V=50m3的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？ 解 设圆柱体的半径为r，高h=501002，表面积为,， SS=2pr+2rprS=4pr-100=0，r=2r325p，h=2325p表面积最小。 2求曲线xy=a(a0)，直线x=a，x=2a及x轴所围成的图形绕得到的旋转体体积。 解 Vy=2pa y轴旋转一周所2aadx=2pa2 高等数学 一、 选择题 1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是；D； A、2-x-1(x+)； B、x
3、2sinx(x0) xx2(x0)。 (x)； D、C、3x+1x-2x+1ax2x22、设函数f(x)=在x=2处连续,则a=；A； x0.若F(x)=f(t)dt，则下列说法正确的是；0C； A、F(x)在a,b上单调减少； B、F(x)在a,b上单调增加； C、F(x)在a,b上为凹函数； D、F(x)在a,b上为凸函数。 第 3 页 共 18 页 4、下列不定积分计算正确的是；D； A、x2dx=x3+c； B、11dx=+c； 2xxC、sinxdx=cosx+c； D、cosxdx=sinx+c。 5、设f(x)在a,b上连续，则下列论断不正确的是。A； . B、A、f(x)dx是
4、f(x)的一个原函数；f(t)dt在(a,b)内是f(x)的一个原函数.； aabxC、f(t)dt在(a,b)内是-f(x)的一个原函数； D、f(x)在(a,b)上可积。 xb二、填空题 6、若limf(x)=2,则lim(x+1-x2xx2-1)f(x)= ；2lim1x+1+x-122x=0； 7、曲线y=x2+1在点(3,2)的切线方程为：_ _；y-2=3(x-3)； 28、曲线y=sinx在(0,2p)内的拐点为 ；(p,e)； 9、当p满足条件_时,反常积分 43+1dx收敛； p1； xp10、微分方程(y)+(y)+2y-x=1的阶数是_.2； 三、计算题 11、求下列函数
5、极限(每题6分，共12分)： (1) limx0x+1-11= sin3x6x0(2) limx0sint2dtx3sinx21=lim= x03x231+ln5,求y ； x+1第 4 页 共 18 页 12、求下列函数导数： (1) 设函数y=xetanx+解 y=etanx(1+xsec2x)-1 2(x+1)(2)设函数y=f(x) 由方程 2x-y+lny-4x=0 所确定，求 5y(5,1)； 3y4y=解 +-， 将x=5,y=1代入得 (5,1)5y5x-y1-y13、求下列函数积分： (1) e1x1-x2dx=1-x2+C 12e2-11)=(e2+1) xdx)=(e-2
6、24(2) 1e1xlnxdx=lnxdx2=(x2lnx21225e1-e1(3)1-x2dx= (1-x+xcosx+x)dx=202 -1四、证明题(每小题 8分，共 16 分） 11p14、证明：设ln(x+1)arctanx1+xx0 10 1+x2证明 设f(x)=(x+1)(1+lnx)-arctanxx0，f(x)=(1+lnx)+1-则f(x)f(0)=0，ln(x+1)arctanx1+xx0 15、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，且f(1)=0，求证在(0,1)内至少存在一点x,使得3f(x)+xf(x)=0成立. 证明 设F(x)=xf(x)在0,1上连续
7、，在(0,1)上可导，且F(0)=F(1)=0，y由罗尔23中值定理得 F(x)=3xf(x)+xf(x)=0，即有 3f(x)+xf(x)=0 3五、应用题 16、求曲线y=x与过该曲线上的点(4,2)的切线及y轴所围成的图形的面积S. 解 2yy=1， y(4,2)2=111，切线方程 y-2=(x-4，)y=x+1 444第 5 页 共 18 页 S=6-402xdx=6-x23340=2 3高等数学 一、单项选择题 1、函数y=1；D； ln(2+x)的定义域为x1；C； =x B、B、x0； C、x-2； D、x-2且x0。 A、x0且x-2；2、limxsinxA、； B、不存在；
8、 C、1； D、0。 3、按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是；A； 1(x+) ； B、1+-1 (x)； A、xx4-x+1C、1-2-x (x0) ； D、x2xx (x0)； sinxex,x0,f(x)0，则曲线y=f(x)在(a,b)内A；A、单调上升，向上凸； B、单调下降，向上凸； C、单调上升，向上凹； D、单调下降，向上凹。 第 6 页 共 18 页 6、设f(x)=(x-1)(x2-)(x3)(-4x)-，则方程f(x)=0在实数范围内根的个数是；B； A、4 ； B、3 ； C、2 ； D、1 。 231+x,x07、设f(x)=，则fx(-2)dxx1e,x0
9、2x-4x+5,x2； B；f(x-2)=x-2e,x2111A、e-； B、e+ ； C、 ； D、2e 。 3338、设函数f(x)在a,b上是连续的，下列等式中正确的是；C； A、(f(x)dx)=f(x)； B、(f(x)dx)=f(x)+C； abC、(f(x)dx)=f(x)； D；f(x)dx=f(x)。 ax9、当n时，sin211与k为等价无穷小，则k= ；C； nn1A、； B、1； C、2 ； D；-2。 210、已知f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则10xf(x)dx=B； A、1； B、2； C、3 ； D、4。 二、填空题 x21、设f(x)=2、极限li
10、ma22sint； dt,(0ax),则f(p)= 。2tp(2n-1)(3n-2)(4n-3)= ；4； n6n3-xd2yx3、设y=esin，则2dx2x=0= 。-1； x1x,4、函数f(x)=x-1,1x0连续，f(0)=-10，f(t)为单调递增函数， 又limf(x)=lim(x+x-cosx)=+，由零点定理可知f(t)在f(t)只存在一点在x+x+32x0,x，使在f(x)=0，则方程x3+x=cosx只有一个正根。 理工高等数学 一、填空题 1.函数f(x)=1的连续区间是 (-,-1)2x-1(-1,1)(1,+) x2-ax+b2.若lim=0，a，b均为常数，则a=
11、 ，b= xx+1x2(1-a)x2-(a-b)x+b=0，a=1,b=1； lim-ax+b=limxxx+1x+13.设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y所确定，则曲线y=f(x)在点处的切线方程是 y+xy+4_2=4y3y，y=1，y=x x(1,1)1-4sec2xtanx xlnx4.设y=ln(lnx)-sec(2x)，则y= . 5.设f(x)在x=a可导，则lim2x0f(a-x)-f(a)x-f(a) 二.求下列各题极限 1. limx01+x-1-x12x=lim=1 x0ex-12x1x1xx02. lim(2sinx+cosx)=lim1+(2sinx+cosx
12、-1)=ex0x0lim2sinx+cosx-1x=e2 3. limtanx-sinxx(31+sin2x-1)x0=limtanx(1-cosx)3= x0122xx3第 9 页 共 18 页 (3)n+4n4.limn(3)n+1+4n+13+114 =lim= n343n+44n三计算题 5.设y=xarctan3x，求y. 631-9x23x=， y=arctan3x+y=+3222222(1+9x)1+9x1+9x(1+9x)6.设y=xsinxarcsin(lnx)，求y. y=xsinx(sinxlnx)arcsinx+1x1-(lnx)2=xsinx(cosxlnx+sinx
13、1)arcsinx+ 2xx1-(lnx)x=ln(1+t2)dyd2y7.求由参数方程所确定的函数的导数,2. dxdxy=t-arctant1t22dytdy1+t21+t2=；2= 2t2tdx2dx4t1+t21+t21-1dyd2y,2. 8. 设函数y=y(x)是由方程x-y+siny=0确定的求2dxdx解 方程两边同时求导得 1-y+21= 0y=， cosyy2-cosy2y=-2sinyy4siny= 23(2-cosy)(2-cosy)四综合题 9 .求常数a,b的值，使函数f(x)=ax+bx0在x=0处一阶可导. ln(1+x)x0第 10 页 共 18 页 x0-l
14、imf(x)=lim(ax+b)=b=f(0)，limf(x)=limln(1+x)=0，b=0； -+x0x0x0f-(x)=lim-x0axln(1+x)=a，f+(x)=lim=1,a=1。 x0-xxx-2x2-3x+2所有间断点，并指出其类型. 10.求函数的f(x)=f(x)=x-2(x-2)(x-1)f(x)=1 f(x)=-1，lim，limf(x)=，lim+-x1x2x2x2n-1+ax2+bx11.设f(x)=lim为连续函数，求a,b nx2n+1一、填空题 1、已知f(x)的定义域是0,1，则函数f(lnx)的定义域为_；1,e； 2、设f(x)连续可导,则f(2x)
15、dx=_；1f(2x)+c； 23、积分I1=2 1lnxdx与I2=ln2xdx的大小关系是_；I1I2； 13223)为拐点,则数组(a,b)= .；(-，)； 4、设曲线y=ax+bx以点(1，解 f(x)=6ax+2b又 a+b=3 f(1)=6a+2b=03922a=-1b339a=-,b= 时(1,3) 为曲线 f(x)=ax3+bx2 的拐点。 22第 11 页 共 18 页 7-15、设y=xxx，则dy= . x8dx。 8二、选择题 1、曲线xy+ex+y=1在(0,0)点的切线斜率是；D； A、 1 ； B、e-1 ； C、0 ； D、 -1。 2、设f(x)=2+3-2
16、，则当x0时，有；B； xxA、f(x)与x是等价无穷小； B、f(x)与x是同阶但非等价无穷小； C、f(x)是比x高阶的无穷小； D、f(x)是比x低阶无穷小。 3、设函数f(x)在a，b上具有连续的导函数，且；A； 则xf(x)f(x)dx=abbaf2(x)dx=1，f(a)=f(b)=0，11； B、； C、 0； D、1。 -A、224、下列积分发散的有；A； A、+1+1+dxlnx1-x B、； 、.； 、dx；dxeCD201-x20dx。 01+xx5、设f(x)=cosx,P(x)=1-1214f(x)-P(x)x+x能使极限式lim=0成立，则nx0224x正整数n的最
17、大值是。C。 A. n=6； B、n=4； C、n=5 ； D、n=3； 三、计算下列各题 abx1、已知y=3，求y的导数。 bxaxab第 12 页 共 18 页 bab-aabxy=bxbxaaba3xabx131abxy=3bxaxabbaba-23axab-aaxlnx+(b-a)xb-a-1 bbblim2、计算极限+x00x2x20sintdt (1+cost)ln(1+t)dt解 原式=lim+x02xsinxsinx1=-lim+lim+ x0ln(1+x)x01+cos-2x(1+cosx)ln1(+x)xx=a(t-sint)3、已知参数方程：，求所确定的函数y=y(x)
18、y=a(1-cost)的二阶导数。 dydydtasintsint解： =dxdxa(1-cost)1-costdtddy2dydt(dx)1=- 22dxdxa(1-cost)dt4、(7分）已知y=f(dy3x-2),f(x)=arctanx2,求dx5x+2. x=0 解: 令u=3x-2 , 5x+23(5x+2)-5(3x-2)3x-22dyarct(g),5x+2dx(5x+2)2x=0则 y=uf(u)=4arctan1=p. 5、计算不定积分(arcsinx)2dx. 解：(arcsinx)2dx=x(arcsinx)-22xarcsinx1-x2dx 第 13 页 共 18
19、页 =x(arcsinx)2+2arcsinxd(1-x2)=x(arcsinx)2+21-x2arcsinx-2dx =x(arcsinx)2+21-x2arcsinx-2x+c . 6、计算定积分41dx1+x. 2解：令x=t 则x=t,dx=2tdt, 且 当x=1 时,t=1 当x=4 时t=2 于是 41dx1+x=22tdt1=2(1-d)t=11+t11+t22t-2l+n(1t1=)-92 ln47、求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=p围成的曲边梯形绕x轴旋转所成的旋转体的体积 V=p(1+sinx)dx=p(1+2sinx+sin2x)dx 00p2psin
20、2x323 =px-2cosx-=p+4p 4022四、证明题 1、当0x2x. 222证：令f(x)=sinx+tanx-2x, f(x)=cosx+secx-2cosx+secx-2 =(cosx-secx)20,当0xf(0)=0x(0,)即当0x2x. 222、设函数f(x)和g(x)在a,b上存在二阶导数，且g(x)0, ppf(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明 (1)在(a,b)内g(x)0；在(a,b)内至少存在一f(x)=点x，使. g(x)g(x)证：反证法.设(a，b)内存在一点x1使g(x1)=0，则在a,x1上有g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,
21、x1)内至少存在一点x1，使g(x1)=0，同理在(x1,b)内也至少存在一第 14 页 共 18 页 f(x)点x2使g(x2)=0，则g(x1)=g(x2)=0，由罗尔定理，在(x1,x2)内至少存在一点x3使g(x3)=0，这与g(x)0矛盾，故在(a,b)内g(x)0。 令F(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x) 由题设条件可知，F(x)在a,b上连续，在(a，b) 内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在x(a,b)使得F(x)=0，即f由于g(x)0,g(x)0，故(x)g(x)-f(x)g(x)=0， f(x)g(x)=f(x)。 g(x)一、 填空题 (x+5
22、)ex,xx-1、证明不等式：当x0时，。 22x ，f(0)=0 21x2-1+x=0 当x0时，f(x)=1+x1+x证明：设f(x)=ln(1+x)-x+2、若f(x)在0，1上有二阶导数，且f(1)=f(0)=0,F(x)=x2f(x)， 证明在内至少存在一点x，使得F(x)=0。 xln(1+x)x-f(x)在0,+）上单调增加，f(x)f(0)=0，即，得证。 22证明：f(x)在0，1上有二阶导数，则F(x)=xf(x)在0，1上有二阶导数，2F(1)=F(0)=0，由罗尔定理，在至少存在一点h，使得F(h)=0，F(x)=2xf(x)+x2f(x)，F(0)=0，由罗尔定理，在
23、(0,h)内至少存在一点x，使得F(x)=0。 六、应用题在曲线y=x上某点B处作一切线，使之与曲线、x轴所围平面图形的面积为21，试求：切点B的坐标；由上述所围图形绕x轴旋转一122周所得立体的体积。 解：设切点B的坐标为(a,a)，则过点B的切线斜率为yx=a=2a，于是切线方程为y-a=2a(x-a)，和x轴交点为(,0)，由A=2a2a0a2aa122xdx-=， 21212第 17 页 共 18 页 得a=1，因此切点坐标为(1,1)。切线方程y=2x-1， V=p或 V=p 1010y2dx-p1(2x-1)2dx=px4dx-p2011112(2x-1)2dx=p30x4dx-1p11=p(-)=p 303256第 18 页 共 18 页
