大一高数复习资料.docx

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1、大一高数复习资料高等数学期末复习资料 高等数学 第一章 函数与极限 第一节 函数 函数基础 邻域 U(a,d)=x|x-ad 函数f(x)无穷小limf(x)=0 函数f(x)无穷大limf(x)= 无穷小与无穷大的相关定理与推论 假设f(x)为有界函数，g(x)为无穷小，则limf(x)g(x)=0 在自变量的某个变化过程中，若f(x) 为无穷大，则f-1(x)为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)0，则f-1(x)为无穷大 计算：limf(x)g(x) xx0U(a,d)=x|0x-ad 第二节 数列的极限 数列极限的证明 已知数列xn，证明limxn=a xo1f(x)M函数f(

2、x)在x=x0的任一去心邻域U(x0,d)内是有界的； 2limg(x)=0即函数g(x)是xx0时的无穷小； xoe-N语言 1由xn-ag(e)， N=g(e) 2即对e0，$N=g(e)，当nN时，始终有不等式xn-ae成立， limxn=a xxx03由定理可知limf(x)g(x)=0 xx0x已知函数f(x)，证明limf(x)=A xx0第三节 函数的极限 xx0时函数极限的证明 第五节 极限运算法则 极限的四则运算法则 加减法则 乘除法则 关于多项式p(x)、q(x)商式的极限运算 mm-1p(x)=a0x+a1x+am设： nn-1q(x)=b0x+b1x+bnnm0f(x0

3、)g(x0)0gx()0f(x) g(x0)=0,f(x0)0 lim=xx0g(x)0g(x0)=f(x0)=00f(x)0时，通常分xx0g(x)0e-d语言 1由f(x)-Ae化简得0x-x00，$d=g(e)，当0x-x0d时，始终有不等式f(x)-Ae成立， limf(x)=A xx0x时函数极限的证明 已知函数f(x)，证明limf(x)=A xe-X语言 1由f(x)-Ag(e)， X=g(e) 2即对e0，$X=g(e)，当xX时，始终有不等式f(x)-Ae成立， limf(x)=A x第四节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限

4、值，也可以用罗比达法则求解） 第1页 x-3求值lim2 x3x-9解：因为x3，从而可得x3，所以原x-3x-311式=lim2=lim=lim= x3x-9x3(x+3)(x-3)x3x+36x-3其中x=3为函数f(x)=2的可去间断点 x-9倘若运用罗比达法则求解： 解：limx32x+3解：limx2x+1x+12x+1+2=limx2x+12x+12(x+1)22x+1x+12=lim1+2x+12x+12x+12=lim1+2x+12x+12x+12x+122=lim1+2x+12x+1(x+1)2lim(x+1)2x+12x+1(x+1)x-311=lim=lim= 2Lx3x

5、3x-92x6(x2-9)002=lim1+2x+12x+1=e 2x+12x+122x+12x+1lim2=e(x-3)2x+2lim2x+1=e1=e连续函数穿越定理 若函数f(x)是定义域上的连续函数，那j(x)=flimj(x) 么，limfxx0xx0求值：limx3第七节 无穷小量的阶 等价无穷小 UsinUtanUarcsinUarctanUln(1+U)1 U(e-1)2U1-cosU ln(1+x)+xln(1+x)求值：lim 2x0x+3xln(1+x)+xln(1+x)解：因为x0,即x0,所以原式=limx0x2+3x (1+x)ln(1+x)=lim(1+x)x=l

6、imx+1=1=limx0x0x(x+3)x0x+3x(x+3)3第八节 函数的连续性 函数连续的定义 xx0-x-3 2x-9122limx3x-3x-316 =lim=22x3x-9x-966第六节 极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则 第一个重要极限：limx0,sinx=1 x0xsinxpsinxxtanxlim=1 ，x0x2lim1limf(x)=lim+f(x)=f(x0) xx0limx1x0=lim=1 x0sinxx0sinxsinxlimx0xx间断点的分类 跳越间断点第一类间断点可去间断点第二类间断点）无穷间断点 xx0x-x0单调有界收敛准则 1第二个重要极限：li

7、m1+=e xxg(x)xe2xx0设函数f(x)= ，应该怎样选a+xx0择数a，使得f(x)成为在R上的连续函数？ ，其中-f(0-)=e20=e1=e1f0+=a+0+=a ()f(0)=af(x)=limf(x)=f(0)=e 2由连续函数定义lim-+x0x0=limf(x)limg(x)2x+3求值：limx2x+1x+1a=e 第2页 第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理 证明：方程f(x)=g(x)+C至少有一个根介于a与b之间 1函数j(x)=f(x)-g(x)-C在闭区间a,b上连续； 2j(a)j(b)0ax+b处可导，求a，b f(0-)=e0+1=e0+1=20f

8、-(0)=e=11， +f0=b()f+(0)=af(0)=e0+1=2-(e(e1arcsinx2-1+x2+a21=arcsinx2-1+x2+a2arcsineearcsinearcsinx+a)(x2-1+2222x+a1-(x-1)2x22xx2-12x-1+2222-x2x+a(x2-1)22x2-1xx2-12-x2+x2+a2x第四节 高阶导数 f(n)(n-1)(n-1)ndydy） (x)=n(n-1)dxdx(x)=ff-(0)=f+(0)=a=12由函数可导定义 -+f0=f0=f(0)=b=2a=1,b=2 求函数y=ln(1+x)的n阶导数 y=()()1-1=(1

9、+x)， 1+x求y=f(x)在x=a处的切线与法线方程 1y=f(x)，y|x=a=f(a) 2切线方程：y-f(a)=f(a)(x-a) 法线方程：y-f(a)=-1x-a) (f(a)-1-2y=(1+x)=(-1)(1+x)， -2-3y=(-1)(1+x)=(-1)(-2)(1+x) y(n)=(-1)n-1(n-1)！(1+x)-n 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导 试求：方程y=x+e所给定的曲线C：y第二节 函数的和、积与商的求导法则 函数和、积与商的求导法则 1线性组合：(aubv)=au+bv 特别地，当a=b=1时，有(uv)=uv 2函数积的求导法则：

10、(uv)=uv+uv y=y(x)在点(1-e,1)的切线方程与法线方程 由y=x+e两边对x求导 即y=x+ey=y()化简得y=1+eyyy uuv-uv3函数商的求导法则：= 2vv第三节 反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则 11= 1-e11-e1(x-1+e) 1-e切线方程：y-1= 第3页 法线方程：y-1=-(1-e)(x-1+e) 参数方程型函数的求导 x0，函数f(x)在闭区间0,x上连续，在开区x=j(t)dy，求2 dxy=g(t)dydyg(t)d2ydx1.2.2= =j(t)dxj(t)dx2设参数方程1； 1+x2由拉格朗日中值定理可得，$x0,x使得

11、等式间(0,p)上可导，并且f(x)=ln(1+x)-ln(1+0)=化简得ln(1+x)=f(x)=1(x-0)成立， 1+x第六节 变化率问题举例及相关变化率 第七节 函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则 dy=f(x)dx 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 引理 罗尔定理 现假设函数f(x)在0,p上连续，在(0,p) 上可导，试证明：$x(0,p)， 使得f1x，又x0,x， 1+x11，ln(1+x)1时，eex 第二节 罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤 1等价无穷小的替换 2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A属

12、于两大基本不定型令j(x)=f(x)sinx 显然函数j(x)在闭区间0,p上连续，在开区间0,）且满足条件， 0f(x)f(x)则进行运算：lim =limxag(x)xag(x)(0,p)上可导； 2又j(0)=f(0)sin0=0 j(p)=f(p)sinp=0 即j(0)=j(p)=0 3由罗尔定理知 B不属于两大基本不定型 0型 求值：limxlnx x0a 解：limxalnx=limx0$x(0,p)，使得f(x)cosx+f(x)sinx=0成立 拉格朗日中值定理 证明不等式：当x1时，eex 1令函数f(x)=e，则对x1，xxlnx=limx01Lx01aaxx(lnx)1

13、x=limx0axa-1 -2ax1=-limxa=0ax0ax0b显然函数f(x)在闭区间1,x上连续，在开区间-型 求值：lim(1,x)上可导，并且f(x)=ex； 2由拉格朗日中值定理可得，$x1,x使得等式x成立， ex-e1=(x-1)ex11又ee，e-e(x-1)e=ex-e， 11- x0sinxxx1 11x-sinxx-sinx 解：lim-=lim=limx0sinxxx0xsinxx0x2化简得eex，即证得：当x1时，eex 证明不等式：当x0时，ln(1+x)0时，ex+1 1设j(x)=e-x-1， xx1x0xtanx1解：令y=xtanx1,两边取对数得ln

14、y=tanxln,x2j(x)=e-10， xj(x)j(0)=0 3既证：当x0时，ex+1 证明：当x0时，ln(1+x)x 1设j(x)=ln(1+x)-x， x1对lny求x0时的极限，limlny=limtanxlnx0x0x1 (lnx)=-limxlnx=-lim=-lim2x0x01Lx0secx1-2tanxtanxtanxsin2x)(sinx2sinxcosx=lim=lim=lim=0,x0x0xLx0x12001-10， 1+x j(x)0时，ln(1+x)x 连续函数凹凸性 试讨论函数y=1+3x-x的单调性、极值、凹凸性及拐点 23从而可得limy=limelny

15、=ex0x0x0limlny=e0=1运用罗比达法则进行极限运算的基本思路 第5页 2y=-3x+6x=-3x(x-2) 1 y=-6x+6=-6(x-1)x1=0,x2=2y=-3x(x-2)=0 2令解得： x=1y=-6(x-1)=01函数f(x)在其定义域-1,3上连续，且可导 f(x)=-3x2+3 2令f(x)=-3(x-1)(x+1)=0， 解得：x1=-1,x2=1 3 3 x (-,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+) y 0 - - + + 0 y - - + + y (1,3) 5 1 4函数y=1+3x2-x3单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递

16、增区间为(-,0),(2,+)； 函数y=1+3x2-x3的极小值在x=0时取到，为f(0)=1， 极大值在x=2时取到，为f(2)=5； 函数y=1+3x-x在区间(-,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,+)上凸； 函数y=1+3x2-x3的拐点坐标为(1,3) 第五节 函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系 设函数f(x)的定义域为D，如果$xM的某个邻域U(xM)D，使得对xU(xM)，都适合不等式f(x)f(xM)， 我们则称函数f(x)在点xM,f(xM)处有极大值f(xM)； 令xMxM1,xM2,xM3,.,xMn 则函数f(x)在闭区间a,b上的最大值M满

17、足： ox f(x) f(x) -1 (-1,1) + Z 1 (1,3 - Z 0 极小值 0 极大值 4又f(-1)=-2,f(1)=2,f(3)=-18 f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(3)=-18 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率 第八节 方程的近似解 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 原函数的概念： 假设在定义区间I上，可导函数F(x)的导函数为F(x)，即当自变量xI时，有F(x)=f(x)或23dF(x)=f(x)dx成立，则称F(x)为f(x)的一个原函数 原函数存在定理： 如果函数f(x)在定义区间I上连续，则在I上

18、必存在可导函数F(x)使得F(x)=f(x)，也就是说：连续函数一定存在原函数 不定积分的概念 在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项M=maxf(a),xM1,xM2,xM3,.,xMn,f(b)； 设函数f(x)的定义域为D，如果$xm的某个邻域C的原函数称为f(x)在定义区间I上的不定积分，即表示为： 基本积分表 不定积分的线性性质 f(xm)； 令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn 则函数f(x)在闭区间a,b上的最小值m满足： kf(x)+kg(x)dx=kf(x)dx+kg(x)dx 1212第二节 换元积分法 第一类换元法 m=minf(a),xm1,xm2,xm3,.

19、,xmn,f(b)； 求函数f(x)=3x-x在-1,3上的最值 3j(x)j(x)dx=fj(x)dj(x) f 第6页 求 1解：2a+x2dx=1a2+x2dx 1x1+a2第三节 分部积分法 分部积分法 设函数u=f(x)，v=g(x)具有连续导数，则其xx1d=arctan+Caxaa1+a2dx=1a1分部积分公式可表示为：udv=uv-vdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” 运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； 就近凑微分： 使用分部积分公式：udv=uv-vdu 展开尾项vdu=vudx，判断 a若vudx是容易求解

20、的不定积分，则直接计算出答案； b若vudx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C x2求exdx 求1dx 2x+11111解：2x+1dx=22x+1d(2x+1)=22x+1d(2x+1) =2x+1+C 第二类换元法 对于一次根式： t2-b， ax+b：令t=ax+b，于是x=a则原式可化为t 对于根号下平方和的形式： pp， a2+x2：令x=atant22x于是t=arctan，则原式可化为asect； a对于根号下平方差的形式： ppaa2-x2：令x=asint， 2

21、2x于是t=arcsin，则原式可化为acost； apbx2-a2：令x=asect， 2a于是t=arccos，则原式可化为atant； x1dx 求2x+111t=2x+1解：dx2x+1x=12t2-12ttdt=dt=t+C=2x+1+Cdx=tdtx22x2x2xx2解：exdx=xedx=xde=xe-ed(x)=x2ex-2xexdx=x2ex-2xd(ex)=x2ex-2xex+2exdx=x2ex-2xex+2ex+Cx求esinxdx xxxx解：esinxdx=-ed(cosx)=-ecosx+cosxde()=-excosx+excosxdx=-excosx+exd(

22、sinx)=-excosx+exsinx-sinxd(ex)xxxx即：esinxdx=-ecosx+esinx-sinxde() =-excosx+exsinx-exsinxdxesinxdx=x1xe(sinx-cosx)+C 2求 a2-x2dx pp22第四节 有理函数的不定积分 有理函数 a2解：acostdt=a-xdx222x=asint(-t0，则f(x)dx0； abbbkP1(x)(x-a)P2(x)x( 2=AkA1A2+.+ kx-a(x-a)2(x-a)l 若函数f(x)、函数g(x)在积分区间a,b上满+px+q)Mx+N1M2x+N2=21+x+px+q(x2+p

23、x+q)2lf(x)dxg(x)dx； f(x)dxf(x)dx aabbaa足f(x)g(x)，则+.+Mlx+Nl(x2+px+q)积分中值定理 第二节 微积分基本公式 牛顿-莱布尼兹公式 若果函数F(x)是连续函数f(x)在区间MlM1M2 参数A1,A2,.,Ak,由待定系,.,N1N2Nl数法求出 得到分拆式后分项积分即可求解 a,b上的一个原函数，则 f(x)dx=F(b)-F(a) abx2dx 求x+1变限积分的导数公式 dj(x)f(t)dt=fj(x)j(x)-fy(x)y(x) yx()dx求limx0(x+1)x-(x+1)+1dx=x-1+1dxx2dx=x+1x+1

24、x+1 11=xdx-dx+dx=x2-x+ln(x+1)+Cx+12第五节 积分表的使用 1cosxe-tdtx22d1-t2edtedtcosx解：limcosx2=limdx x0Lx0x2x1-t200() 第8页 =limx000e0-e-1-cos2x(-sinx)2xsinxe-cos=limx02x2x偶倍奇零 设f(x)C-a,a，则有以下结论成立： 若f(-x)=f(x)，则a2dsinxe-cosx=limdxLx0(2x)()-cos2x-af(x)dx=2f(x)dx 0aa若f(-x)=-f(x)，则-af(x)dx=0 =limx0cosxe-cos2x+sinx

25、e22sinxcosx第四节 定积分在几何上的应用 第五节 定积分在物理上的应用 第六节 反常积分 1-cos2x=lime(sinx+cosx)2sinxcosxx0211=e-1=22e第三节 定积分的换元法及分部积分法 定积分的换元法 fj(x)j(x)dx=afj(x)dj(x) 21dx 求02x+1bb如：不定积分公式a11+x2dx=arctanx+C的证明。很p多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题： x=tant-t0,x=-4x+2322解：22dxx=0,t=102x+1dx1tx=4,t=313t2+31311=tdt=(t2+3)dt=t3+3x 21t21231522=9-=33 3u(x)v(x)u(x)dv(x)=ababu(x)v(x)dx=u(x)v(x)-v(x)u(x)dxabab-v(x)du(x)ab 第9页